שיא
כניסה

תרגול גאומטריה אנליטית לפסיכומטרי

גאומטריה אנליטית היא גאומטריה על מערכת צירים. שני כלים פותרים את רוב השאלות: שיפוע ומרחק בין שתי נקודות, שהוא פיתגורס בתחפושת.

8 שאלות עם פתרון מלא

שאלות מתוך התרגול עצמו. נסה לפתור לבד, ורק אז פתח את הפתרון.

שאלה 1·גאומטריהקלה מאוד
במערכת הצירים נתונה הנקודה (5,−3)(5, -3). מהי משוואת הישר העובר דרך נקודה זו ומקביל לציר ה-xx?
  1. א.x = -3
  2. ב.x = 5
  3. ג.y = 5
  4. ד.y = -3התשובה הנכונה
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונה נקודה בקואורדינטות, ומבקשים את משוואת הישר העובר דרכה ומקביל לציר ה-xx. לכן זו בעיית גאומטריה אנליטית של ישר אופקי דרך נקודה. בתשובות משוואות ישרים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי - ישר המקביל לציר ה-xx הוא אופקי, ולכן שיעור ה-yy קבוע לכל נקודותיו. משוואתו מהצורה y=cy = c, כאשר cc הוא שיעור ה-yy של הנקודה הנתונה.

פתרון אלגברי:

ישר המקביל לציר ה-xx הוא אופקי: כל נקודותיו בעלות אותו שיעור yy, ולכן משוואתו מהצורה y=cy = c (בלי xx). מכיוון שהישר עובר דרך הנקודה (5,−3)(5, -3) ששיעור ה-yy שלה הוא −3-3, קבוע זה הוא −3-3: y=−3\displaystyle y = -3 (שיעור ה-xx של הנקודה, 55, אינו נכנס למשוואה, שכן הישר משתרע לכל הרוחב.) זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 2·גאומטריהקלה
במערכת הצירים נתונה הנקודה A(7,4)A(7, 4) וישר אנכי שמשוואתו x=2x = 2. מהו המרחק בין הנקודה AA לישר?
  1. א.3
  2. ב.4
  3. ג.5התשובה הנכונה
  4. ד.9
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים נקודה בקואורדינטות וישר אנכי (מהצורה x=cx = c), ומבקשים את המרחק ביניהם. לכן זו בעיית גאומטריה אנליטית של מרחק נקודה מישר המקביל לציר. בתשובות מספרים בודדים (המרחק).

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי - ישר אנכי x=2x = 2 הוא אוסף כל הנקודות ששיעור ה-xx שלהן 22. המרחק הקצר ביותר ממנו לנקודה הוא אופקי, ולכן שווה להפרש שיעורי ה-xx בלבד (שיעור ה-yy אינו משפיע).

פתרון אלגברי:

הישר x=2x = 2 אנכי, ולכן המרחק הקצר ביותר אליו הוא אופקי: הוא ההפרש (בערך מוחלט) בין שיעור ה-xx של הנקודה לבין 22. שיעור ה-yy של הנקודה אינו משפיע, שכן אנו נעים במאונך לישר: d=∣7−2∣=5\displaystyle d = |7 - 2| = 5 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 3·גאומטריהבינונית
במערכת הצירים נתון ישר ששיפועו 33, והוא עובר דרך הנקודה (2,5)(2, 5). מהו שיעור החיתוך של הישר עם ציר ה-yy?
  1. א.-1התשובה הנכונה
  2. ב.2
  3. ג.5
  4. ד.11
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים שיפוע של ישר ונקודה שהוא עובר דרכה, ומבקשים את שיעור החיתוך שלו עם ציר ה-yy. לכן זו בעיית גאומטריה אנליטית של משוואת-ישר מנקודה ושיפוע. בתשובות מספרים בודדים (שיעור ה-yy של החיתוך).

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי - כותבים את משוואת הישר y=mx+by = mx + b, מציבים את השיפוע ואת שיעורי הנקודה, ומחלצים את bb (שיעור החיתוך עם ציר ה-yy, שכן שם x=0x = 0).

פתרון אלגברי:

משוואת ישר עם שיפוע mm וחיתוך-yy בשם bb היא: y=mx+b\displaystyle y = mx + b נציב את השיפוע m=3m = 3 ואת הנקודה (2,5)(2, 5) שהישר עובר דרכה, ונחלץ את bb: 5=3⋅2+b\displaystyle 5 = 3 \cdot 2 + b 5=6+b\displaystyle 5 = 6 + b b=−1\displaystyle b = -1 שיעור החיתוך עם ציר ה-yy הוא הערך של yy כאשר x=0x = 0, כלומר bb עצמו. לכן החיתוך הוא −1-1. בשרטוט: הישר בשיפוע 33 עובר דרך (2,5)(2, 5), וכשמורידים אותו עד ציר ה-yy מגיעים לנקודה (0,−1)(0, -1) (באדום):
x y (2,5) (0,-1)
זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 4·גאומטריהקשה
במערכת הצירים שלפניכם נתונים שני ישרים: הישר L1L_1 שמשוואתו y=2x−3y = 2x - 3, והישר L2L_2 שמשוואתו y=−x+9y = -x + 9. מהם שיעורי נקודת החיתוך של שני הישרים?
x y P
  1. א.(2, 1)
  2. ב.(4, 5)התשובה הנכונה
  3. ג.(4, 7)
  4. ד.(5, 4)
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונות משוואות של שני ישרים, ומבקשים את שיעורי נקודת החיתוך שלהם. לכן זו בעיית גאומטריה אנליטית של חיתוך שני ישרים. בתשובות זוגות של שיעורים (x,y)(x, y).

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי - נקודת החיתוך נמצאת על שני הישרים גם יחד, ולכן שני ה-yy שווים בה; משווים את הביטויים, מבודדים את xx, ומציבים חזרה כדי למצוא את yy.
  • הצבת תשובות - השיעורים כבר מופיעים בתשובות; מציבים כל זוג בשתי המשוואות ובוחרים את הזוג שמקיים את שתיהן. דרך מהירה כאן, שכן די בהצבה בשתי משוואות פשוטות.

פתרון אלגברי:

בנקודת החיתוך שני הישרים מקבלים את אותו yy עבור אותו xx, ולכן נשווה את שני הביטויים ל-yy: 2x−3=−x+9\displaystyle 2x - 3 = -x + 9 נכנס את אברי ה-xx לאגף אחד ואת המספרים לאגף השני: 2x+x=9+3\displaystyle 2x + x = 9 + 3 3x=12\displaystyle 3x = 12 x=4\displaystyle x = 4 נציב x=4x = 4 באחת המשוואות (נבחר את L1L_1) כדי למצוא את yy: y=2⋅4−3=5\displaystyle y = 2 \cdot 4 - 3 = 5 נקודת החיתוך היא (4,5)(4, 5), המסומנת PP בשרטוט.

הצבת תשובות:

נבדוק כל זוג בשתי המשוואות ונחפש את הזוג שמקיים את שתיהן. הזוג (4,5)(4, 5): ב-L1L_1 מתקבל 2⋅4−3=52 \cdot 4 - 3 = 5, וב-L2L_2 מתקבל −4+9=5-4 + 9 = 5. שתי המשוואות מתקיימות. שאר הזוגות נכשלים לפחות באחת מהמשוואות. זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 5·גאומטריהקשה מאוד
במערכת הצירים נתונות שתי הנקודות A(1,4)A(1, 4) ו-B(7,2)B(7, 2). מבקשים את הנקודה שעל ציר ה-xx הנמצאת במרחק שווה מ-AA ומ-BB. מהם שיעורי נקודה זו?
  1. א.(0, 0)
  2. ב.(4, 0)
  3. ג.(5, 0)
  4. ד.(3, 0)התשובה הנכונה
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונות שתי נקודות בקואורדינטות, ומבקשים את הנקודה שעל ציר ה-xx הנמצאת במרחק שווה משתיהן. לכן זו בעיית גאומטריה אנליטית המשולבת עם פיתגורס: תנאי מרחק-שווה דרך נוסחת המרחק. בתשובות זוגות שיעורים, כולם עם y=0y = 0 (על ציר ה-xx), ולכן ההבדל ביניהם רק בשיעור ה-xx.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי - הנקודה על ציר ה-xx היא מהצורה (x,0)(x, 0). התנאי "מרחק שווה מ-AA ומ-BB" מתורגם למשוואה שבה המרחק (בריבוע) מ-AA שווה למרחק (בריבוע) מ-BB; פותחים את הריבועים, מבטלים את אברי ה-x2x^2, ומקבלים משוואה ליניארית ל-xx.
  • הצבת תשובות - השיעורים כבר בתשובות; מציבים כל נקודה ובודקים בנוסחת המרחק אם שני המרחקים שווים. דרך מעשית כאן, שכן צריך רק לבדוק ארבע נקודות.

פתרון אלגברי:

הנקודה המבוקשת נמצאת על ציר ה-xx, ולכן היא מהצורה (x,0)(x, 0). התובנה הפותרת: אם מרחקה מ-AA שווה למרחקה מ-BB, אז גם ריבועי המרחקים שווים; בעבודה עם הריבועים נפטרים מהשורשים של נוסחת המרחק. נכתוב אפוא ש-AP2=BP2AP^2 = BP^2, כאשר P=(x,0)P = (x, 0): (x−1)2+(0−4)2=(x−7)2+(0−2)2\displaystyle (x - 1)^2 + (0 - 4)^2 = (x - 7)^2 + (0 - 2)^2 נפתח את הריבועים בשני האגפים: x2−2x+1+16=x2−14x+49+4\displaystyle x^2 - 2x + 1 + 16 = x^2 - 14x + 49 + 4 אבר ה-x2x^2 מופיע בשני האגפים ומתבטל, ונשארת משוואה ליניארית: −2x+17=−14x+53\displaystyle -2x + 17 = -14x + 53 נכנס את אברי ה-xx לאגף אחד ואת המספרים לשני: −2x+14x=53−17\displaystyle -2x + 14x = 53 - 17 12x=36\displaystyle 12x = 36 x=3\displaystyle x = 3 הנקודה המבוקשת היא (3,0)(3, 0). בשרטוט רואים שהמרחקים ממנה ל-AA ול-BB (מקווקווים בירוק) אכן שווים:
x y A(1,4) B(7,2) (3,0)
לאימות: המרחק מ-(3,0)(3,0) ל-A(1,4)A(1,4) הוא (3−1)2+(0−4)2=4+16=20\sqrt{(3-1)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}, והמרחק ל-B(7,2)B(7,2) הוא (3−7)2+(0−2)2=16+4=20\sqrt{(3-7)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}. המרחקים שווים. זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 6·גאומטריהקלה מאוד
במערכת הצירים נתונה הנקודה A(4,−3)A(4, -3). מהם שיעורי הנקודה המתקבלת משיקוף AA ביחס לציר ה-xx?
  1. א.(-4, -3)
  2. ב.(-4, 3)
  3. ג.(3, 4)
  4. ד.(4, 3)התשובה הנכונה
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונה נקודה בקואורדינטות, ומבקשים את הנקודה המתקבלת משיקופה ביחס לציר ה-xx. לכן זו בעיית גאומטריה אנליטית של שיקוף ביחס לציר. בתשובות זוגות שיעורים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי - בשיקוף ביחס לציר ה-xx הנקודה עוברת מעל הציר או מתחתיו למרחק זהה: שיעור ה-xx נשמר, ושיעור ה-yy מחליף סימן.

פתרון אלגברי:

בשיקוף ביחס לציר ה-xx המרחק האופקי מציר ה-yy אינו משתנה, ולכן שיעור ה-xx נשמר; רק הצד ביחס לציר ה-xx מתחלף, ולכן שיעור ה-yy מחליף סימן:
(x, y) → (x, -y)
נציב את הנקודה A(4,−3)A(4, -3): שיעור ה-xx נשאר 44, ושיעור ה-yy מתהפך מ-−3-3 ל-33. הנקודה המשוקפת היא (4,3)(4, 3). זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 7·גאומטריהקלה
במערכת הצירים נתון ישר העובר דרך הנקודות (3,7)(3, 7) ו-(6,13)(6, 13). מהי נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה-yy?
  1. א.(0, -1)
  2. ב.(0, 1)התשובה הנכונה
  3. ג.(0, 4)
  4. ד.(0, 7)
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונות שתי נקודות שהישר עובר דרכן, ומבקשים את נקודת החיתוך שלו עם ציר ה-yy. לכן זו בעיית גאומטריה אנליטית של חיתוך-yy מתוך שתי נקודות. בתשובות זוגות שיעורים, כולם עם x=0x = 0 (על ציר ה-yy), ולכן ההבדל ביניהם רק בשיעור ה-yy.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי - מחשבים את שיפוע הישר מהפרשי השיעורים של שתי הנקודות, ואז מוצאים את חיתוך-yy (הערך של yy כאשר x=0x = 0) על-ידי הצבת אחת הנקודות.

פתרון אלגברי:

השיפוע הוא היחס בין הפרש שיעורי ה-yy להפרש שיעורי ה-xx של שתי הנקודות: m=13−76−3=63=2\displaystyle m = \dfrac{13 - 7}{6 - 3} = \dfrac{6}{3} = 2 נכתוב את משוואת הישר y=2x+by = 2x + b ונציב את הנקודה (3,7)(3, 7) כדי לחלץ את bb: 7=2⋅3+b\displaystyle 7 = 2 \cdot 3 + b 7=6+b\displaystyle 7 = 6 + b b=1\displaystyle b = 1 חיתוך-yy הוא הנקודה שבה x=0x = 0, כלומר (0,1)(0, 1). זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 8·גאומטריהבינונית
במערכת הצירים נתונות שתי הנקודות (1,3)(1, 3) ו-(5,11)(5, 11). איזו מבין הנקודות הבאות נמצאת על הישר העובר דרך שתי הנקודות הנתונות?
  1. א.(2, 4)
  2. ב.(3, 6)
  3. ג.(4, 8)
  4. ד.(4, 9)התשובה הנכונה
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונות שתי נקודות המגדירות ישר, ומבקשים איזו מבין ארבע נקודות נמצאת על אותו ישר. לכן זו בעיית גאומטריה אנליטית של קוֹליניאריות (נקודה על ישר). בתשובות ארבע נקודות מועמדות.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי - מוצאים את משוואת הישר משתי הנקודות הנתונות, ובודקים איזו מהמועמדות מקיימת אותה.
  • הצבת תשובות - המועמדות כבר בתשובות; מציבים כל נקודה במשוואת הישר ובוחרים את זו שמקיימת אותה. דרך מהירה כאן, שכן די בהצבה בארבע נקודות.

פתרון אלגברי:

נמצא את משוואת הישר משתי הנקודות (1,3)(1, 3) ו-(5,11)(5, 11). השיפוע: m=11−35−1=84=2\displaystyle m = \dfrac{11 - 3}{5 - 1} = \dfrac{8}{4} = 2 נכתוב y=2x+by = 2x + b ונציב את הנקודה (1,3)(1, 3) כדי לחלץ את bb: 3=2⋅1+b\displaystyle 3 = 2 \cdot 1 + b b=1\displaystyle b = 1 משוואת הישר היא y=2x+1y = 2x + 1.

הצבת תשובות:

נציב את שיעור ה-xx של כל מועמדת ב-y=2x+1y = 2x + 1 ונבדוק אם מתקבל שיעור ה-yy שלה. תשובה (4), (4,9)(4, 9): מתקבל 2⋅4+1=92 \cdot 4 + 1 = 9, ותואם. נוודא שהשאר אינן על הישר: תשובה (1), (2,4)(2, 4), נותנת 2⋅2+1=5≠42 \cdot 2 + 1 = 5 \neq 4; תשובה (2), (3,6)(3, 6), נותנת 2⋅3+1=7≠62 \cdot 3 + 1 = 7 \neq 6; תשובה (3), (4,8)(4, 8), נותנת 9≠89 \neq 8. הנקודה (4,9)(4, 9) על הישר, כפי שרואים בשרטוט (באדום, בין שתי הנקודות הנתונות):
x y (1,3) (5,11) (4,9)
זו התשובה, וניתן להקיף.

כל השאלות, התשובות וההסברים נכתבו ונבדקו על ידי צוות מומחים שחי ונושם פסיכומטרי. כל פריט עובר בקרת איכות לפני שהוא מתפרסם ומתעדכן באופן שוטף, כדי שהתרגול ישקף את רמת הקושי, הסגנון וההיגיון של המבחן האמיתי.