שיא
כניסה

תרגול שאלות שטחים לפסיכומטרי

שאלות שטח בפסיכומטרי כמעט תמיד דורשות לפרק צורה מורכבת לצורות פשוטות, או לחסר צורה אחת מהשנייה. הנוסחאות עצמן קלות; הקושי הוא לראות את הפירוק.

8 שאלות עם פתרון מלא

שאלות מתוך התרגול עצמו. נסה לפתור לבד, ורק אז פתח את הפתרון.

שאלה 1·גאומטריהקלה מאוד
בסרטוט שלפניכם טרפז ישר-זווית. אורך הבסיס התחתון עשר ס"מ, אורך הבסיס העליון שש ס"מ, וגובה הטרפז ארבע ס"מ. מה שטח הטרפז (בסמ"ר)?
10 6 4
  1. א.24
  2. ב.32התשובה הנכונה
  3. ג.48
  4. ד.64
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונה צורת טרפז עם שני בסיסים מקבילים וגובה, ומבוקש שטחה. לכן זו בעיית שטחים של צורה מוכרת, שפותרים בהצבה ישירה בנוסחת שטח הטרפז. התשובות מספרים קטנים ועגולים, וההצבה בנוסחה מובילה ישירות לאחד מהם.

דרכי פתרון אפשריות

  • חישוב גאומטרי ישיר - מציבים את שני הבסיסים והגובה בנוסחת שטח הטרפז. כל הנתונים גלויים, ואין ממד שצריך לחלץ.

הפתרון

שטח הטרפז הוא חצי-סכום הבסיסים כפול הגובה: S=(a+b)2⋅h\displaystyle S = \dfrac{(a + b)}{2} \cdot h נציב את הבסיס התחתון 1010, הבסיס העליון 66, והגובה 44: S=(10+6)2⋅4\displaystyle S = \dfrac{(10 + 6)}{2} \cdot 4 נחשב את חצי-סכום הבסיסים תחילה: 162=8\displaystyle \dfrac{16}{2} = 8 ולבסוף נכפיל בגובה: 8⋅4=32\displaystyle 8 \cdot 4 = 32 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 2·גאומטריהקלה
בסרטוט שלפניכם צורה שהתקבלה ממלבן ברוחב תשע ס"מ ובגובה שבע ס"מ, שממנו הוסר ריבוע בפינה הימנית-העליונה. אורך צלע הריבוע שהוסר שלוש ס"מ. מה שטח הצורה המוצללת (בסמ"ר)?
9 7 3 3
  1. א.54התשובה הנכונה
  2. ב.60
  3. ג.63
  4. ד.72
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

מבוקש שטח מצולע-L שהתקבל ממלבן שנחתך ממנו ריבוע בפינה - שטח "מוזר" שהופכים למוכר על ידי חישוב המלבן החוסם השלם וחיסור ריבוע-הפינה שהוסר. התשובות מספרים קטנים, וההפרש בין המלבן לריבוע נופל על אחד מהם.

דרכי פתרון אפשריות

  • חישוב גאומטרי ישיר - משלימים את הצורה למלבן החוסם השלם (9×79 \times 7), מחשבים את שטחו, ומחסרים את שטח ריבוע-הפינה שהוסר.

הפתרון

נשלים את הצורה למלבן החוסם השלם (המקווקו בכחול בשרטוט), ונחסר ממנו את ריבוע-הפינה שהוסר (המסומן באדום):
9 7 3 3 9
שטח המלבן החוסם הוא רוחבו כפול גובהו: 9⋅7=63\displaystyle 9 \cdot 7 = 63 הריבוע שהוסר אורך צלעו 33, ולכן שטחו הוא צלעו בריבוע: 32=9\displaystyle 3^2 = 9 שטח הצורה המוצללת הוא הפרש שני השטחים: 63−9=54\displaystyle 63 - 9 = 54 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 3·גאומטריהבינונית
במערכת הצירים שלפניכם נתון משולש ABCABC שקדקודיו A(2,1)A(2, 1), B(10,1)B(10, 1) ו-C(5,7)C(5, 7). מהו שטח המשולש?
x y A(2,1) B(10,1) C(5,7)
  1. א.28
  2. ב.48
  3. ג.24התשובה הנכונה
  4. ד.40
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון משולש שקודקודיו נתונים בקואורדינטות, ושתיים מהנקודות בעלות אותו שיעור yy (כלומר צלע אחת אופקית), ומבקשים את שטח המשולש. לכן זו בעיית גאומטריה אנליטית משולבת (עם שטחים), שבה קוראים את הבסיס והגובה מהקואורדינטות. בתשובות ערכים מספריים.

דרכי פתרון אפשריות

  • בסיס-אופקי-וגובה מהקואורדינטות - הצלע ABAB אופקית (אותו שיעור yy), ולכן אורכה נקרא כהפרש שיעורי ה-xx ומשמש בסיס, והגובה אליה הוא הפרש שיעורי ה-yy בין CC לבסיס. משם מציבים בנוסחת שטח המשולש. זו הדרך הישירה לנושא.

בסיס-אופקי-וגובה מהקואורדינטות:

הצלע ABAB אופקית (שתי הנקודות בשיעור y=1y = 1), ולכן נבחר בה כבסיס. אורכה הוא הפרש שיעורי ה-xx: AB=∣10−2∣=8\displaystyle AB = |10 - 2| = 8 הגובה אל בסיס זה הוא המרחק האנכי מהקודקוד CC אל הישר y=1y = 1, כלומר הפרש שיעורי ה-yy: h=∣7−1∣=6\displaystyle h = |7 - 1| = 6 נציב את הבסיס והגובה בשרטוט (הבסיס 88 בירוק, הגובה 66 באדום מקווקו):
x y A(2,1) B(10,1) C(5,7) 8 6
נציב את הבסיס 88 והגובה 66 בנוסחת שטח המשולש:
בסיס × גובה שטח המשולש = ─────────── 2
נחשב: S=8⋅62=482=24\displaystyle S = \frac{8 \cdot 6}{2} = \frac{48}{2} = 24 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 4·גאומטריהקשה
בסרטוט שלפניכם מלבן ברוחב עשר ס"מ ובגובה שמונה ס"מ, שממנו הוסר חצי-עיגול. הקוטר של חצי-העיגול מונח על הצלע הימנית של המלבן וחופף לה, וחצי-העיגול בולט פנימה אל תוך המלבן. מה שטח החלק המוצלל (בסמ"ר)?
10 8
  1. א.80 − 16π
  2. ב.80 − 8πהתשובה הנכונה
  3. ג.80 − 4π
  4. ד.80 − 2π
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

מבוקש שטח מלבן שהוסר ממנו חצי-עיגול שקוטרו מונח על צלעו הימנית - שטח "מוזר" שהופכים למוכר על ידי חיסור שטח חצי-העיגול משטח המלבן. התשובות ביטויים המכילים את π\pi, ולכן משאירים את π\pi סמלי. הרדיוס אינו נתון ישירות: הקוטר מונח על צלע-הגובה, ולכן יש לחלץ אותו כמחצית הגובה.

דרכי פתרון אפשריות

  • חישוב גאומטרי ישיר - מחשבים את שטח המלבן, מחלצים את רדיוס חצי-העיגול (מחצית הגובה שעליו מונח הקוטר), מחשבים את שטח חצי-העיגול (πr22\dfrac{\pi r^2}{2}), ומחסרים. משאירים את π\pi סמלי כדי להתאים לצורת התשובות.

הפתרון

שטח החלק המוצלל הוא שטח המלבן פחות שטח חצי-העיגול. שטח המלבן הוא רוחבו כפול גובהו: 10⋅8=80\displaystyle 10 \cdot 8 = 80 הקוטר של חצי-העיגול מונח על הצלע הימנית וחופף לה, ולכן אורך הקוטר שווה לגובה המלבן, 88. הרדיוס הוא מחצית הקוטר: r=82=4\displaystyle r = \dfrac{8}{2} = 4 שטח חצי-העיגול הוא מחצית שטח עיגול שלם: π⋅422=16π2=8π\displaystyle \dfrac{\pi \cdot 4^2}{2} = \dfrac{16\pi}{2} = 8\pi שטח החלק המוצלל הוא ההפרש: 80−8π\displaystyle 80 - 8\pi זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 5·גאומטריהקשה מאוד
בסרטוט שלפניכם שני עיגולים קונצנטריים (בעלי אותו מרכז). רדיוס העיגול החיצוני תשע ס"מ, ורדיוס העיגול הפנימי שש ס"מ. הטבעת המוצללת היא החלק שבין שני העיגולים. מה שטח הטבעת המוצללת (בסמ"ר)?
9 6
  1. א.9π
  2. ב.15π
  3. ג.45πהתשובה הנכונה
  4. ד.81π
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

מבוקש שטח טבעת - הרצועה בין שני עיגולים בעלי מרכז משותף - שטח "מוזר" שמחשבים כהפרש שטחי שני העיגולים (החיצוני פחות הפנימי). התשובות ביטויים המכילים את π\pi, ולכן משאירים את π\pi סמלי. החיסור כאן הוא בין הרדיוסים בריבוע, ולא בין הרדיוסים עצמם.

דרכי פתרון אפשריות

  • חישוב גאומטרי ישיר - שטח הטבעת הוא שטח העיגול החיצוני פחות שטח העיגול הפנימי. כל שטח מחושב בנוסחת שטח העיגול, πr2\pi r^2, כשמעלים כל רדיוס בריבוע בנפרד לפני החיסור. משאירים את π\pi סמלי כדי להתאים לצורת התשובות.

הפתרון

שטח הטבעת הוא ההפרש בין שטח העיגול החיצוני לשטח העיגול הפנימי. נכתוב את נוסחת ההפרש: S=πR2−πr2\displaystyle S = \pi R^2 - \pi r^2 נציב את הרדיוס החיצוני R=9R = 9 ואת הרדיוס הפנימי r=6r = 6, כשמעלים כל רדיוס בריבוע בנפרד: π⋅92−π⋅62=81π−36π\displaystyle \pi \cdot 9^2 - \pi \cdot 6^2 = 81\pi - 36\pi נחשב את ההפרש: 81π−36π=45π\displaystyle 81\pi - 36\pi = 45\pi זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 6·גאומטריהקלה מאוד
בסרטוט שלפניכם מעוין. אורך האלכסון האופקי שש-עשרה ס"מ, ואורך האלכסון האנכי עשר ס"מ. מה שטח המעוין (בסמ"ר)?
16 10
  1. א.40
  2. ב.60
  3. ג.72
  4. ד.80התשובה הנכונה
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון מעוין ושני אלכסוניו, ומבוקש שטחו. לכן זו בעיית שטחים של צורה מוכרת: שטח המעוין הוא מחצית מכפלת אלכסוניו, ופותרים בהצבה ישירה. התשובות מספרים קטנים, וההצבה מובילה לאחד מהם.

דרכי פתרון אפשריות

  • חישוב גאומטרי ישיר - מציבים את שני האלכסונים בנוסחת שטח המעוין (מחצית מכפלת האלכסונים). שני האלכסונים נתונים במלואם, ואין ממד שצריך לחלץ.

הפתרון

שטח המעוין הוא מכפלת האלכסונים לחלק ל-22: S=d1⋅d22\displaystyle S = \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2} נציב את האלכסון האופקי 1616 ואת האלכסון האנכי 1010: S=16⋅102\displaystyle S = \dfrac{16 \cdot 10}{2} נחשב את המכפלה תחילה: 16⋅10=160\displaystyle 16 \cdot 10 = 160 ולבסוף נחלק ב-22: 1602=80\displaystyle \dfrac{160}{2} = 80 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 7·גאומטריהקלה
בסרטוט שלפניכם טרפז שווה-שוקיים. אורך הבסיס התחתון שתים-עשרה ס"מ, אורך הבסיס העליון שמונה ס"מ, וגובה הטרפז חמש ס"מ. מה שטח הטרפז (בסמ"ר)?
12 8 5
  1. א.30
  2. ב.40
  3. ג.50התשובה הנכונה
  4. ד.100
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון טרפז שווה-שוקיים עם שני בסיסים וגובה, ומבוקש שטחו. לכן זו בעיית שטחים של צורה מוכרת, שפותרים בהצבה ישירה בנוסחת שטח הטרפז. הגובה נתון במפורש, כך שאין ממד לחלץ, והתשובות מספרים קטנים שההצבה מובילה לאחד מהם.

דרכי פתרון אפשריות

  • חישוב גאומטרי ישיר - מציבים את שני הבסיסים והגובה בנוסחת שטח הטרפז. היות שהגובה נתון, ההצבה מיידית (השוקיים אינם נדרשים לחישוב השטח).

הפתרון

שטח הטרפז הוא חצי-סכום הבסיסים כפול הגובה: S=(a+b)2⋅h\displaystyle S = \dfrac{(a + b)}{2} \cdot h נציב את הבסיס התחתון 1212, הבסיס העליון 88, והגובה 55: S=(12+8)2⋅5\displaystyle S = \dfrac{(12 + 8)}{2} \cdot 5 נחשב את חצי-סכום הבסיסים תחילה: 202=10\displaystyle \dfrac{20}{2} = 10 ולבסוף נכפיל בגובה: 10⋅5=50\displaystyle 10 \cdot 5 = 50 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 8·גאומטריהבינונית
בסרטוט שלפניכם צורת "פלוס" סימטרית, המורכבת ממוט אנכי וממוט אופקי החופפים במרכזם. אורך כל מוט תשע ס"מ, ורוחב כל מוט שלוש ס"מ. מה שטח הצורה (בסמ"ר)?
9 9 3 3
  1. א.27
  2. ב.36
  3. ג.45התשובה הנכונה
  4. ד.54
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

מבוקש שטח צורת "פלוס" המורכבת ממוט אנכי ומוט אופקי החופפים במרכזם - שטח "מוזר" שהופכים למוכר על ידי חיבור שני המוטות המלבניים וחיסור ריבוע-החפיפה המרכזי הנספר פעמיים. התשובות מספרים קטנים, וההרכבה נופלת על אחד מהם.

דרכי פתרון אפשריות

  • חישוב גאומטרי ישיר - מחשבים את שטח כל אחד משני המוטות המלבניים בנפרד, מחברים, ומחסרים פעם אחת את ריבוע-החפיפה המרכזי (הנספר בשני המוטות).

הפתרון

נחשב את שטח שני המוטות ונחסר את ריבוע-החפיפה המרכזי (המסומן באדום בשרטוט), הנספר פעם בכל מוט:
9 9 3 3
כל מוט הוא מלבן שאורכו 99 ורוחבו 33, ולכן שטח כל מוט: 9⋅3=27\displaystyle 9 \cdot 3 = 27 ריבוע-החפיפה המרכזי הוא המקום שבו שני המוטות מצטלבים, וצלעו כרוחב המוט, 33. שטחו הוא צלעו בריבוע: 32=9\displaystyle 3^2 = 9 שטח הצורה הוא סכום שני המוטות פחות ריבוע-החפיפה שנספר פעמיים: 27+27−9=45\displaystyle 27 + 27 - 9 = 45 זו התשובה, וניתן להקיף.

כל השאלות, התשובות וההסברים נכתבו ונבדקו על ידי צוות מומחים שחי ונושם פסיכומטרי. כל פריט עובר בקרת איכות לפני שהוא מתפרסם ומתעדכן באופן שוטף, כדי שהתרגול ישקף את רמת הקושי, הסגנון וההיגיון של המבחן האמיתי.