שיא
כניסה

תרגול שאלות ממוצע לפסיכומטרי

בשאלות ממוצע כדאי לעבוד עם הסכום ולא עם הממוצע. ממוצע כפול כמות נותן את הסכום, ומשם רוב השאלות נפתרות בשורה אחת.

8 שאלות עם פתרון מלא

שאלות מתוך התרגול עצמו. נסה לפתור לבד, ורק אז פתח את הפתרון.

שאלה 1·בעיות מילוליותקלה מאוד
משקלם הממוצע של שלושה שקים הוא 4040 ק"ג. לערימה נוסף שק רביעי. מה צריך להיות משקלו של השק הרביעי כדי שהמשקל הממוצע של ארבעת השקים יהיה 4545 ק"ג?
  1. א.45 ק"ג
  2. ב.50 ק"ג
  3. ג.55 ק"ג
  4. ד.60 ק"גהתשובה הנכונה
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון לנו ממוצע של קבוצה ומספר איבריה, וכן הממוצע המבוקש אחרי הוספת איבר, ושואלים על ערך האיבר החסר. לכן זו בעיית ממוצע. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון לפי נוסחת הממוצע - כותבים את נוסחת הממוצע (סכום ÷ מספר האיברים) למצב שלפני ושאחרי הוספת השק, גוזרים את שני הסכומים, ומבודדים מההפרש ביניהם את משקל השק הרביעי.
  • הצבת תשובות - הערכים בתשובות נמוכים, ולכן מעשי להציב כל משקל מוצע לשק הרביעי, לחשב את ממוצע הארבעה, ולבדוק אם התקבל 4545; תכונות הממוצע מצמצמות עוד לפני החישוב.

פתרון לפי נוסחת הממוצע:

נסמן את משקלי שלושת השקים באותיות א, ב, ג, ואת השק הרביעי ד. לפי נוסחת הממוצע, ממוצע שלושת השקים הוא 4040, ולכן סכומם 120120:
א+ב+ג ───── = 40 3 א+ב+ג = 120
עם השק הרביעי, הממוצע צריך להיות 4545, ולכן סכום ארבעת השקים 180180:
א+ב+ג+ד ─────── = 45 4 א+ב+ג+ד = 180
נציב את הסכום הידוע של שלושת השקים (120120) ונבודד את ד:
120 + ד = 180 ד = 60
זו התשובה, וניתן להקיף.

הצבת תשובות:

תחילה נצמצם בעזרת תכונות הממוצע. הממוצע המבוקש (4545) גבוה מממוצע שלושת השקים הקיימים (4040), והוספת איבר מושכת את הממוצע לכיוון ערכו: איבר השווה לממוצע אינו משנה אותו, ואיבר קטן ממנו אף מקטין אותו. לכן, כדי שממוצע ארבעת השקים יהיה 4545, השק הרביעי חייב להיות גדול מ-4545 - ואת 4545 אפשר לפסול מיד. נותרו 5050, 5555 ו-6060, ונתחיל מהאמצעי 5555: הסכום הוא 120+55=175120 + 55 = 175 והממוצע 1754=43.75\dfrac{175}{4} = 43.75, עדיין נמוך מ-4545, ולכן דרוש שק כבד יותר. מבין הנותרים, רק 6060 גדול מ-5555, ולכן זו התשובה, בלי צורך לבדוק עוד. ניתן להקיף.
שאלה 2·בעיות מילוליותקלה
ממוצעם של שבעה מספרים זוגיים עוקבים הוא 3030. מהו הקטן מבין השבעה?
  1. א.24התשובה הנכונה
  2. ב.26
  3. ג.28
  4. ד.30
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים לנו מספר האיברים בסדרה רציפה של מספרים זוגיים עוקבים והממוצע שלהם, ושואלים על ערך האיבר הקטן. לכן זו בעיית ממוצע. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

  • ממוצע סדרה רציפה - הדרך המתאימה: גם בסדרה של מספרים זוגיים עוקבים (מרווח קבוע של 22) הערכים סימטריים סביב האמצע, ולכן הממוצע שווה לאיבר האמצעי; מזהים את המיקום האמצעי, ויורדים ממנו את מספר הצעדים עד לאיבר הקטן.

ממוצע סדרה רציפה:

בסדרה של מספרים זוגיים עוקבים המרווח בין איברים סמוכים הוא 22, והערכים מפוזרים סימטרית סביב האמצע, ולכן הממוצע שווה לאיבר האמצעי. יש שבעה מספרים, והאמצעי הוא הרביעי - הוא שווה לממוצע, 3030:
_ , _ , _ , 30 , _ , _ , _
מהאמצעי אל הקטן ביותר יש שלושה צעדים של 22 כל אחד, כלומר ירידה של 66, ולכן הקטן הוא: 30−6=24\displaystyle 30 - 6 = 24 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 3·בעיות מילוליותבינונית
ל-4040 נבחנים ממוצע ציונים של 7575. ל-1616 מהם, שהם הטובים ביותר, ממוצע ציונים של 9090. מה ממוצע הציונים של יתר 2424 הנבחנים?
  1. א.55
  2. ב.60
  3. ג.65התשובה הנכונה
  4. ד.70
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים לנו ממוצע של קבוצה שלמה וממוצע של תת-קבוצה מתוכה, ושואלים על הממוצע של יתר האיברים. לכן זו בעיית ממוצע. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

  • ממוצע המשלים דרך הסכומים - הדרך המתאימה: מבודדים את סכום הציונים של כלל הנבחנים ואת סכום הציונים של תת-הקבוצה (ממוצע כפול מספר האיברים), מחסרים כדי לקבל את סכום היתר, ומחלקים במספרם. לא ניתן לחסר ממוצעים ישירות, כי הקבוצות שונות בגודלן. המבוקש הוא ממוצע ולא מספר-איברים, ולכן הצבת התשובות אינה חוסכת כאן, והדרך היעילה היא המעבר דרך הסכומים.

ממוצע המשלים דרך הסכומים:

נתחיל מנוסחת הממוצע, ונבודד ממנה את הסכום (סכום = ממוצע × מספר האיברים). סכום ציוני כל 4040 הנבחנים: 75×40=3000\displaystyle 75 \times 40 = 3000 סכום ציוני 1616 הטובים: 90×16=1440\displaystyle 90 \times 16 = 1440 סכום ציוני יתר 2424 הנבחנים הוא ההפרש בין הסכומים: 3000−1440=1560\displaystyle 3000 - 1440 = 1560 נציב בנוסחת הממוצע את סכום היתר ואת מספרם (2424): 156024=65\displaystyle \frac{1560}{24} = 65 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 4·בעיות מילוליותקשה
לאורך 2020 ימים היה ממוצע מספר המבקרים היומי באתר 4545. ב-88 מהימים, ימי-סוף-שבוע, היה ממוצע המבקרים 6060. מה ממוצע המבקרים ביתר 1212 הימים?
  1. א.25
  2. ב.30
  3. ג.32
  4. ד.35התשובה הנכונה
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים לנו ממוצע של קבוצה שלמה וממוצע של תת-קבוצה מתוכה, ושואלים על הממוצע של יתר האיברים. לכן זו בעיית ממוצע. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

  • ממוצע המשלים דרך הסכומים - הדרך המתאימה: מבודדים את סכום המבקרים של כלל הימים ואת סכום המבקרים של תת-הקבוצה (ממוצע כפול מספר האיברים), מחסרים כדי לקבל את סכום היתר, ומחלקים במספר הימים הנותרים. המבוקש הוא ממוצע ולא מספר-איברים, ולכן הצבת התשובות אינה חוסכת כאן. הנקודה הרגישה: את סכום היתר מחלקים במספר ימי-היתר (1212) ולא במספר הימים הכולל (2020).

ממוצע המשלים דרך הסכומים:

נתחיל מנוסחת הממוצע, ונבודד ממנה את הסכום (סכום = ממוצע × מספר האיברים). סכום המבקרים בכל 2020 הימים: 45×20=900\displaystyle 45 \times 20 = 900 סכום המבקרים ב-88 ימי-סוף-השבוע: 60×8=480\displaystyle 60 \times 8 = 480 סכום המבקרים ביתר 1212 הימים הוא ההפרש בין הסכומים: 900−480=420\displaystyle 900 - 480 = 420 נציב בנוסחת הממוצע את סכום היתר ואת מספר הימים (1212): 42012=35\displaystyle \frac{420}{12} = 35 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 5·בעיות מילוליותקשה מאוד
ממוצעם של שלושה מספרים הוא 2020. הצטרפו לרשימה שני מספרים נוספים, וכעת ממוצע כל חמשת המספרים הוא 3030. מהו הממוצע של שני המספרים שהצטרפו?
  1. א.40
  2. ב.45התשובה הנכונה
  3. ג.50
  4. ד.55
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים לנו ממוצע של קבוצה ראשונה, וממוצע של הקבוצה המורחבת לאחר שהצטרפו אליה איברים, ושואלים על הממוצע של האיברים שהצטרפו בלבד. לכן זו בעיית ממוצע. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

  • ממוצע קבוצת-משנה דרך הסכומים - הדרך המתאימה: גוזרים את סכום הקבוצה הישנה ואת סכום הקבוצה המורחבת (ממוצע כפול מספר האיברים), מחסרים כדי לחלץ את סכום המצטרפים, ומחלקים במספרם. שני שלבי-סכום ואז חילוץ.

ממוצע קבוצת-משנה דרך הסכומים:

נתחיל מהסכומים. ממוצע שלושת המספרים הראשונים הוא 2020, ולכן סכומם: 20×3=60\displaystyle 20 \times 3 = 60 לאחר שהצטרפו שני מספרים יש חמישה מספרים בממוצע 3030, ולכן סכומם: 30×5=150\displaystyle 30 \times 5 = 150 סכום שני המספרים שהצטרפו הוא ההפרש בין הסכומים: 150−60=90\displaystyle 150 - 60 = 90 ממוצע שני המצטרפים הוא סכומם חלקי מספרם (22): 902=45\displaystyle \frac{90}{2} = 45 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 6·בעיות מילוליותקלה מאוד
ממוצעם של חמישה מספרים שלמים עוקבים הוא 2424. מהו הגדול מבין החמישה?
  1. א.24
  2. ב.25
  3. ג.26התשובה הנכונה
  4. ד.28
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים לנו מספר האיברים בסדרה רציפה של מספרים עוקבים והממוצע שלהם, ושואלים על ערך האיבר הגדול. לכן זו בעיית ממוצע. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

  • ממוצע סדרה רציפה - הדרך המתאימה: בסדרה של מספרים עוקבים המפוזרים באופן סימטרי, הממוצע שווה בדיוק לאיבר האמצעי; מזהים את המיקום האמצעי, ומוסיפים לו את מספר הצעדים עד לאיבר הגדול.

ממוצע סדרה רציפה:

בסדרה של מספרים עוקבים הערכים מפוזרים במרווחים שווים סביב האמצע, ולכן הממוצע שווה לאיבר האמצעי. יש חמישה מספרים, והאמצעי הוא השלישי - הוא שווה לממוצע, 2424:
_ , _ , 24 , _ , _
מהאמצעי אל הגדול ביותר יש שני צעדים של 11 כל אחד (עוקבים), ולכן הגדול הוא: 24+2=26\displaystyle 24 + 2 = 26 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 7·בעיות מילוליותקלה
ממוצעם של aa ו-bb הוא 2020, וממוצעם של aa ו-cc הוא 2626. בכמה גדול cc מ-bb?
  1. א.6
  2. ב.8
  3. ג.10
  4. ד.12התשובה הנכונה
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים לנו שני ממוצעים של זוגות מספרים שיש להם איבר משותף, ושואלים על ההפרש בין שני המספרים הלא-משותפים. לכן זו בעיית ממוצע. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

  • מעבר לסכומים - הדרך המתאימה: מכל ממוצע גוזרים את סכום הזוג (ממוצע כפול 22), ומחסרים את הסכומים כדי לבטל את האיבר המשותף ולקבל ישירות את ההפרש המבוקש.

מעבר לסכומים:

מהממוצע של aa ו-bb נגזור את סכומם (ממוצע כפול 22): a+b=20×2=40\displaystyle a + b = 20 \times 2 = 40 מהממוצע של aa ו-cc: a+c=26×2=52\displaystyle a + c = 26 \times 2 = 52 נחסר את הסכום הראשון מהשני; האיבר המשותף aa מתבטל, ונשאר ההפרש המבוקש: (a+c)−(a+b)=52−40⇒c−b=12\displaystyle (a + c) - (a + b) = 52 - 40 \quad\Rightarrow\quad c - b = 12 זו התשובה, וניתן להקיף. (ההפרש בין הסכומים הוא כפול מהפרש הממוצעים, ולכן 1212 ולא 66.)
שאלה 8·בעיות מילוליותבינונית
ל-4040 פריטים במלאי ממוצע מחיר של 6060 שקלים. ל-2525 מהם ממוצע מחיר של 7272 שקלים. מה ממוצע המחיר של יתר 1515 הפריטים (בשקלים)?
  1. א.40התשובה הנכונה
  2. ב.48
  3. ג.52
  4. ד.60
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים לנו ממוצע של קבוצה שלמה וממוצע של תת-קבוצה מתוכה, ושואלים על הממוצע של יתר האיברים. לכן זו בעיית ממוצע. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

  • ממוצע המשלים דרך הסכומים - הדרך המתאימה: מבודדים את סכום המחירים של כלל הפריטים ואת סכום המחירים של תת-הקבוצה (ממוצע כפול מספר האיברים), מחסרים כדי לקבל את סכום היתר, ומחלקים במספרם. לא ניתן לחסר ממוצעים ישירות, כי הקבוצות שונות בגודלן. המבוקש הוא ממוצע ולא מספר-איברים, ולכן הצבת התשובות אינה חוסכת כאן, והדרך היעילה היא המעבר דרך הסכומים.

ממוצע המשלים דרך הסכומים:

נתחיל מנוסחת הממוצע, ונבודד ממנה את הסכום (סכום = ממוצע × מספר האיברים). סכום מחירי כל 4040 הפריטים: 60×40=2400\displaystyle 60 \times 40 = 2400 סכום מחירי 2525 הפריטים: 72×25=1800\displaystyle 72 \times 25 = 1800 סכום מחירי יתר 1515 הפריטים הוא ההפרש בין הסכומים: 2400−1800=600\displaystyle 2400 - 1800 = 600 נציב בנוסחת הממוצע את סכום היתר ואת מספרם (1515): 60015=40\displaystyle \frac{600}{15} = 40 זו התשובה, וניתן להקיף.

כל השאלות, התשובות וההסברים נכתבו ונבדקו על ידי צוות מומחים שחי ונושם פסיכומטרי. כל פריט עובר בקרת איכות לפני שהוא מתפרסם ומתעדכן באופן שוטף, כדי שהתרגול ישקף את רמת הקושי, הסגנון וההיגיון של המבחן האמיתי.