שיא
התחבר לחשבון

תרגול שאלות ממוצע לפסיכומטרי

בשאלות ממוצע כדאי לעבוד עם הסכום ולא עם הממוצע. ממוצע כפול כמות נותן את הסכום, ומשם רוב השאלות נפתרות בשורה אחת.

8 שאלות עם פתרון מלא

שאלות מתוך התרגול עצמו. נסה לפתור לבד, ורק אז פתח את הפתרון.

שאלה 1·בעיות מילוליותקלה מאוד
משקלם הממוצע של שלושה שקים הוא 4040 ק"ג. לערימה נוסף שק רביעי. מה צריך להיות משקלו של השק הרביעי כדי שהמשקל הממוצע של ארבעת השקים יהיה 4545 ק"ג?
  1. א.45 ק"ג
  2. ב.50 ק"ג
  3. ג.55 ק"ג
  4. ד.60 ק"גהתשובה הנכונה
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון לנו ממוצע של קבוצה ומספר איבריה, וכן הממוצע המבוקש אחרי הוספת איבר, ושואלים על ערך האיבר החסר. לכן זו בעיית ממוצע. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון לפי נוסחת הממוצע - כותבים את נוסחת הממוצע (סכום ÷ מספר האיברים) למצב שלפני ושאחרי הוספת השק, גוזרים את שני הסכומים, ומבודדים מההפרש ביניהם את משקל השק הרביעי.
  • הצבת תשובות - הערכים בתשובות נמוכים, ולכן מעשי להציב כל משקל מוצע לשק הרביעי, לחשב את ממוצע הארבעה, ולבדוק אם התקבל 4545; תכונות הממוצע מצמצמות עוד לפני החישוב.

פתרון לפי נוסחת הממוצע:

נתחיל מנוסחת הממוצע:
סכום הערכים ממוצע = ─────────── מספר האיברים
נבודד ממנה את הסכום (סכום = ממוצע × מספר האיברים), ונסדר טבלה שבה שורה למצב שלפני הוספת השק הרביעי ושורה למצב שאחריה:
מצבמספר שקיםממוצע (ק"ג)סכום (ק"ג)
לפני הוספת השק340120
אחרי הוספת השק445180
שורת "לפני": בערימה שלושה שקים שממוצעם 4040, ולכן סכום משקלם: 40×3=120\displaystyle 40 \times 3 = 120 שורת "אחרי": בערימה ארבעה שקים, והממוצע המבוקש הוא 4545, ולכן סכום משקלם צריך להיות: 45×4=180\displaystyle 45 \times 4 = 180 בין שתי השורות נוסף שק אחד בלבד, ולכן משקלו הוא ההפרש בין הסכומים: 180−120=60\displaystyle 180 - 120 = 60 זו התשובה, וניתן להקיף.

הצבת תשובות:

תחילה נצמצם בעזרת תכונות הממוצע. הממוצע המבוקש (4545) גבוה מממוצע שלושת השקים הקיימים (4040), והוספת איבר מושכת את הממוצע לכיוון ערכו: איבר השווה לממוצע אינו משנה אותו, ואיבר קטן ממנו אף מקטין אותו. לכן, כדי שממוצע ארבעת השקים יהיה 4545, השק הרביעי חייב להיות גדול מ-4545 - ואת 4545 אפשר לפסול מיד. נותרו 5050, 5555 ו-6060, ונתחיל מהאמצעי 5555: הסכום הוא 120+55=175120 + 55 = 175 והממוצע 1754=43.75\dfrac{175}{4} = 43.75, עדיין נמוך מ-4545, ולכן דרוש שק כבד יותר. מבין הנותרים, רק 6060 גדול מ-5555, ולכן זו התשובה, בלי צורך לבדוק עוד. ניתן להקיף.
שאלה 2·בעיות מילוליותקלה
נתונה סדרת כל הכפולות של 1010 מ-3030 עד 100100 (כולל). מהו הממוצע של איברי הסדרה?
  1. א.60
  2. ב.65התשובה הנכונה
  3. ג.70
  4. ד.75
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונה סדרה של מספרים המסודרים במרווחים שווים, ומבקשים את הממוצע של איבריה. לכן זו בעיית ממוצע. בתשובות מספרים שלמים קרובים זה לזה.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי - מחשבים את הממוצע ישירות לפי הגדרתו, סכום כל האיברים חלקי מספרם; מעשי כאן מפני שהאיברים מעטים וקל לסכום אותם.
  • פתרון עקרוני - מכיוון שהמספרים מרווחים באופן שווה, אפשר לחשב את הממוצע בקיצור בלי לסכום את כולם: האיברים מצטרפים לזוגות סימטריים שכל אחד ממצע לאותו ערך, ולכן הממוצע שווה לממוצע קצות הסדרה.

פתרון אלגברי:

נחשב את הממוצע לפי הגדרתו, כסכום האיברים חלקי מספרם. איברי הסדרה הם 30,40,50,60,70,80,90,10030, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100 - שמונה איברים. נסכם אותם: 30+40+50+60+70+80+90+100=520\displaystyle 30+40+50+60+70+80+90+100=520 ונחלק במספר האיברים: 5208=65\displaystyle \dfrac{520}{8}=65 זו התשובה, וניתן להקיף.

פתרון עקרוני:

מכיוון שהמספרים מרווחים באופן שווה, אין צורך לסכום את כולם. האיברים מצטרפים לזוגות סימטריים סביב מרכז הסדרה (הקטן ביותר עם הגדול ביותר, השני בקטנם עם השני בגודלם, וכן הלאה), וכל זוג ממצע לאותו ערך - האמצע שבין קצות הסדרה. לכן די בממוצע הקצוות: 30+1002=65\displaystyle \dfrac{30+100}{2}=65 זהו ממוצע כל הסדרה, בלי לסכום את כל האיברים. אותה תשובה.
שאלה 3·בעיות מילוליותבינונית
בקופסה 88 חפצים שמשקלם הממוצע 3030 ק"ג. הוציאו מהקופסה חפץ אחד שמשקלו 1212 ק"ג, והכניסו במקומו חפץ אחר. כעת המשקל הממוצע של החפצים בקופסה הוא 3333 ק"ג. מה משקלו (בק"ג) של החפץ שהוכנס?
  1. א.15 ק"ג
  2. ב.24 ק"ג
  3. ג.33 ק"ג
  4. ד.36 ק"גהתשובה הנכונה
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים מספר החפצים בקופסה והמשקל הממוצע שלהם, ונתון שהוצא חפץ אחד שמשקלו ידוע והוכנס אחר במקומו, וכן המשקל הממוצע החדש, ומבקשים את משקל החפץ שהוכנס. לכן זו בעיית ממוצע. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון עקרוני - מספר החפצים אינו משתנה (הוצא אחד והוכנס אחד), ולכן אפשר לעקוב אחר השינוי בסכום המשקלים: עליית הממוצע פירושה עלייה מסוימת בסכום, וההפרש בין החפץ שהוכנס לזה שהוצא הוא בדיוק עלייה זו.
  • פתרון אלגברי - עוברים מהממוצע לסכום לפני ההחלפה ואחריה, ומעמידים משוואת-סכום שבה משקל החפץ החדש הוא הנעלם.

פתרון עקרוני:

מספר החפצים נשאר 88, ולכן נבחן בכמה השתנה סכום המשקלים. הממוצע עלה מ-3030 ל-3333, כלומר גדל ב-33 עבור כל אחד מ-88 החפצים, וסך העלייה בסכום הוא: 3×8=24\displaystyle 3\times8=24 השינוי היחיד בקופסה היה הוצאת חפץ של 1212 ק"ג והכנסת חפץ אחר, ולכן המשקל שהוכנס גדול מהמשקל שהוצא בדיוק בעלייה זו: 12+24=36\displaystyle 12+24=36 זו התשובה, וניתן להקיף.

פתרון אלגברי:

נעבור מהממוצע לסכום. לפני ההחלפה סכום המשקלים הוא 30×8=24030\times8=240. נסמן ב-xx את משקל החפץ שהוכנס; לאחר שהוצא חפץ של 1212 והוכנס xx, הסכום הוא 240−12+x240-12+x. הממוצע החדש הוא 3333, ולכן הסכום החדש הוא 33×8=26433\times8=264: 240−12+x=264\displaystyle 240-12+x=264 228+x=264\displaystyle 228+x=264 x=36\displaystyle x=36 אותה תשובה.
שאלה 4·בעיות מילוליותקשה
בכיתה, מחצית מהתלמידים ניגשו למסלול א' וממוצע ציוניהם 9090, שליש מהתלמידים ניגשו למסלול ב' וממוצע ציוניהם 7575, ושאר התלמידים ניגשו למסלול ג' וממוצע ציוניהם 6060. מהו ממוצע הציונים של כל תלמידי הכיתה?
  1. א.70
  2. ב.75
  3. ג.80התשובה הנכונה
  4. ד.90
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים חלקים שונים של הכיתה (מחצית, שליש, והשאר), ולכל חלק ממוצע ציונים משלו, ומבקשים את ממוצע הציונים של כל הכיתה. לכן זו בעיית ממוצע. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון עקרוני - ממוצע הכיתה הוא ממוצע משוקלל לפי גודל החלקים. תחילה גוזרים את החלק החסר, ואז מציבים מספר-תלמידים נוח (כפולה של המכנים) המתרגם את החלקים לכמויות שלמות, ומחשבים סכום חלקי מספר.
  • פתרון אלגברי - משקללים כל ממוצע ישירות לפי החלק שהוא מייצג: 12\dfrac{1}{2} מהציון 9090, 13\dfrac{1}{3} מהציון 7575, ו-16\dfrac{1}{6} מהציון 6060.

פתרון עקרוני:

תחילה נגזור את החלק שניגש למסלול ג'. מחצית ושליש כבר ניגשו, ולכן נותרו: 1−12−13=66−36−26=16\displaystyle 1-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{6}{6}-\dfrac{3}{6}-\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{6} כדי לעבוד במספרים שלמים נניח שבכיתה 66 תלמידים (מספר המתחלק בכל המכנים). אז במסלול א' יש 33 תלמידים, במסלול ב' 22, ובמסלול ג' 11. נמצא את סכום הציונים בכל מסלול (ממוצע כפול מספר תלמידים): 3×90=270\displaystyle 3\times90=270 2×75=150\displaystyle 2\times75=150 1×60=60\displaystyle 1\times60=60 סכום כל הציונים הוא 270+150+60=480270+150+60=480, על פני 66 תלמידים, ולכן ממוצע הכיתה: 4806=80\displaystyle \dfrac{480}{6}=80 זו התשובה, וניתן להקיף.

פתרון אלגברי:

נשקלל כל ממוצע לפי החלק שהוא מייצג מהכיתה, כאשר החלק החסר הוא 16\dfrac{1}{6}: מחצית מ-9090 היא 4545, שליש מ-7575 הוא 2525, ושישית מ-6060 היא 1010. סכומם הוא ממוצע הכיתה: 45+25+10=80\displaystyle 45+25+10=80 אותה תשובה.
שאלה 5·בעיות מילוליותקשה מאוד
נתונים חמישה מספרים שלמים חיוביים השונים זה מזה, וממוצעם 1212. מהו הערך הגדול ביותר שיכול לקבל הגדול מבין החמישה?
  1. א.46
  2. ב.48
  3. ג.50התשובה הנכונה
  4. ד.56
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים חמישה מספרים שלמים חיוביים השונים זה מזה, שממוצעם ידוע, ומבקשים את הערך הגדול ביותר שיכול לקבל הגדול שבהם. לכן זו בעיית ממוצע המשולבת בטווחים. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון עקרוני - הממוצע קובע את סכום חמשת המספרים ומקבע אותו; זהו האילוץ שקושר את המספרים זה לזה, ולפיו הגדלת אחד מחייבת הקטנת האחרים.
  • מצבי קיצון - כשהסכום קבוע, ממקסמים איבר יחיד על ידי מזעור שאר האיברים; האילוץ שהמספרים שלמים חיוביים ושונים זה מזה קובע עד כמה אפשר להקטין אותם.

פתרון עקרוני:

נעבור מהממוצע לסכום: חמישה מספרים בממוצע 1212, ולכן סכומם קבוע: 12×5=60\displaystyle 12\times5=60 הסכום קבוע ב-6060, ולכן חמשת המספרים חולקים "תקציב" קבוע: כדי להגדיל את הגדול שבהם, יש לצמצם את האחרים.

מצבי קיצון:

כדי שהמספר הגדול יקבל כמה שיותר מתוך 6060, נמזער את ארבעת האחרים. הם שלמים חיוביים ושונים זה מזה, ולכן הקטנים ביותר האפשריים עבורם הם 1,2,3,41, 2, 3, 4, שסכומם: 1+2+3+4=10\displaystyle 1+2+3+4=10 הגדול מבין החמישה מקבל את היתרה: 60−10=50\displaystyle 60-10=50 נוודא: המספרים 1,2,3,4,501, 2, 3, 4, 50 שונים זה מזה, כולם שלמים חיוביים, וממוצעם 605=12\dfrac{60}{5}=12 - כנדרש. זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 6·בעיות מילוליותקלה מאוד
ממוצעם של חמישה מספרים שלמים עוקבים הוא 2424. מהו הגדול מבין החמישה?
  1. א.24
  2. ב.25
  3. ג.26התשובה הנכונה
  4. ד.28
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים לנו מספר האיברים בסדרה רציפה של מספרים עוקבים והממוצע שלהם, ושואלים על ערך האיבר הגדול. לכן זו בעיית ממוצע. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון עקרוני - הדרך המתאימה: בסדרה של מספרים עוקבים הערכים מפוזרים במרווחים שווים סביב האמצע, ולכן אין צורך לחשב סכומים כלל; מזהים את המיקום האמצעי, שערכו הוא הממוצע, וסופרים ממנו את הצעדים עד לאיבר הגדול.

פתרון עקרוני:

בסדרה של מספרים עוקבים כל איבר גדול ב-11 מקודמו, ולכן הערכים מפוזרים במרווחים שווים סביב האיבר האמצעי: מה שמוסיפים האיברים שמעליו שווה בדיוק למה שגורעים האיברים שמתחתיו, והממוצע יוצא האיבר האמצעי עצמו. יש חמישה מספרים, ולכן האמצעי הוא השלישי, וערכו הוא הממוצע הנתון. נסדר את חמשת המיקומים בטבלה ונמקם בה את האמצעי:
מיקוםראשוןשנישלישי (אמצעי)רביעיחמישי (הגדול)
ערך??24??
מהאיבר האמצעי אל הגדול ביותר יש שני צעדים של 11 כל אחד (המספרים עוקבים), ולכן הגדול הוא: 24+2=26\displaystyle 24 + 2 = 26 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 7·בעיות מילוליותקלה
ממוצעם של שבעה מספרים זוגיים עוקבים הוא 3030. מהו הקטן מבין השבעה?
  1. א.24התשובה הנכונה
  2. ב.26
  3. ג.28
  4. ד.30
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים לנו מספר האיברים בסדרה רציפה של מספרים זוגיים עוקבים והממוצע שלהם, ושואלים על ערך האיבר הקטן. לכן זו בעיית ממוצע. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון עקרוני - הדרך המתאימה: גם בסדרה של מספרים זוגיים עוקבים המרווחים בין האיברים קבועים, ולכן הערכים סימטריים סביב האמצע ואין צורך לחשב סכומים; מזהים את המיקום האמצעי, שערכו הוא הממוצע, וסופרים ממנו את הצעדים עד לאיבר הקטן.

פתרון עקרוני:

בסדרה של מספרים זוגיים עוקבים המרווח בין איברים סמוכים הוא 22, ולכן הערכים מפוזרים במרווחים שווים סביב האיבר האמצעי: מה שמוסיפים האיברים שמעליו שווה בדיוק למה שגורעים האיברים שמתחתיו, והממוצע יוצא האיבר האמצעי עצמו. יש שבעה מספרים, ולכן האמצעי הוא הרביעי, וערכו הוא הממוצע הנתון. נסדר את שבעת המיקומים בטבלה ונמקם בה את האמצעי:
מיקוםראשון (הקטן)שנישלישירביעי (אמצעי)חמישישישישביעי
ערך???30???
מהאיבר האמצעי אל הקטן ביותר יש שלושה צעדים של 22 כל אחד, כלומר ירידה של 66, ולכן הקטן הוא: 30−6=24\displaystyle 30 - 6 = 24 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 8·בעיות מילוליותבינונית
הגובה הממוצע של שישה שחקנים הוא 180180 ס"מ. גובהם של חמישה מהם הוא 184184, 176176, 183183, 178178 ו-185185 ס"מ. מה גובהו (בס"מ) של השחקן השישי?
  1. א.174 ס"מהתשובה הנכונה
  2. ב.179 ס"מ
  3. ג.180 ס"מ
  4. ד.186 ס"מ
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים הגובה הממוצע של קבוצת שחקנים ומספרם, וכן גובהם של כל השחקנים למעט אחד, ומבקשים את גובהו של החסר. לכן זו בעיית ממוצע. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון עקרוני - סכום הסטיות של כל האיברים מהממוצע שווה תמיד לאפס. בוחנים בכמה כל גובה נתון סוטה מהממוצע, ומשלימים בסטייה שתאזן את הסכום לאפס.
  • פתרון אלגברי - עוברים מהממוצע לסכום הדרוש (ממוצע כפול מספר האיברים), ומחסרים ממנו את סכום הגבהים הידועים.

פתרון עקרוני:

נבחן בכמה כל גובה סוטה מהממוצע 180180:
  • הגובה 184184: סטייה של +4+4.
  • הגובה 176176: סטייה של −4-4.
  • הגובה 183183: סטייה של +3+3.
  • הגובה 178178: סטייה של −2-2.
  • הגובה 185185: סטייה של +5+5.
סכום חמש הסטיות הוא +4−4+3−2+5=+6+4-4+3-2+5=+6. כדי שסכום כל שש הסטיות יתאפס, סטיית השחקן השישי חייבת להיות −6-6, כלומר גובהו נמוך ב-66 מהממוצע: 180−6=174\displaystyle 180-6=174 זו התשובה, וניתן להקיף.

פתרון אלגברי:

נעבור מהממוצע לסכום הדרוש: לשישה שחקנים בממוצע 180180, סכום הגבהים הוא 180×6=1080180\times6=1080. סכום חמשת הגבהים הידועים: 184+176+183+178+185=906\displaystyle 184+176+183+178+185=906 גובה השחקן השישי הוא ההפרש בין הסכום הדרוש לסכום הידוע: 1080−906=174\displaystyle 1080-906=174 אותה תשובה.

כל השאלות, התשובות וההסברים נכתבו ונבדקו על ידי צוות מומחים שחי ונושם פסיכומטרי ואמירנט. כל פריט עובר בקרת איכות לפני שהוא מתפרסם ומתעדכן באופן שוטף, כדי שהתרגול ישקף את רמת הקושי, הסגנון וההיגיון של המבחן האמיתי.

שיא

© 2026 · שיא. סימולטור פסיכומטרי ואמירנט