שיא
כניסה

תרגול שאלות מעגלים לפסיכומטרי

כמעט כל שאלת מעגל נפתרת ברגע שמצאת את הרדיוס. שים לב במיוחד לשאלות שנותנות היקף או שטח ומבקשות את השני - שם צריך לחזור לרדיוס בדרך.

8 שאלות עם פתרון מלא

שאלות מתוך התרגול עצמו. נסה לפתור לבד, ורק אז פתח את הפתרון.

שאלה 1·גאומטריהקלה מאוד
היקף מעגל הוא 16π ס"מ. קשת שבמעגל נשענת על זווית מרכזית של 45°. מה אורך הקשת (בס"מ)?
  1. א.1π
  2. ב.2πהתשובה הנכונה
  3. ג.4π
  4. ד.8π
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים היקף המעגל וזווית מרכזית של קשת, ומבוקש אורך הקשת. `π` מופיע בתשובות, ולכן זו בעיית מעגלים (קשת כחלק יחסי מההיקף).

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי - אורך הקשת הוא החלק היחסי מההיקף הנתון, לפי הזווית המרכזית חלקי `360°` (כאן אין צורך אפילו לחלץ את הרדיוס, כי ההיקף נתון ישירות).

פתרון אלגברי:

אורך הקשת הוא החלק היחסי מההיקף, לפי הזווית המרכזית מתוך `360°`:
אורך קשת = ההיקף · (הזווית המרכזית / 360)
נציב את ההיקף הנתון ואת הזווית: 16π⋅45360=16π⋅18=2π\displaystyle 16\pi \cdot \dfrac{45}{360} = 16\pi \cdot \dfrac{1}{8} = 2\pi זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 2·גאומטריהקלה
היקף מעגל הוא 20π ס"מ. גזרה שבמעגל נשענת על זווית מרכזית של 90°. מה שטח הגזרה (בסמ"ר)?
  1. א.5π
  2. ב.25πהתשובה הנכונה
  3. ג.50π
  4. ד.100π
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים היקף המעגל וזווית מרכזית של גזרה, ומבוקש שטח הגזרה. `π` מופיע בתשובות, ולכן זו בעיית מעגלים (גזרה כחלק יחסי מהעיגול, אחרי חילוץ הרדיוס מההיקף).

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי - הדרך הישירה: מחלצים את הרדיוס מנוסחת ההיקף, ומחשבים את שטח הגזרה כחלק היחסי לפי הזווית המרכזית חלקי `360°`.

פתרון אלגברי:

נחלץ תחילה את הרדיוס מנוסחת ההיקף 2πr=20π2\pi r = 20\pi: r=20π2π=10\displaystyle r = \dfrac{20\pi}{2\pi} = 10 שטח הגזרה הוא החלק היחסי משטח העיגול, לפי הזווית המרכזית מתוך `360°`:
שטח גזרה = שטח העיגול · (הזווית המרכזית / 360)
נציב את הרדיוס ואת הזווית: πr2⋅90360=π⋅102⋅14=25π\displaystyle \pi r^2 \cdot \dfrac{90}{360} = \pi \cdot 10^2 \cdot \dfrac{1}{4} = 25\pi זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 3·גאומטריהבינונית
במערכת הצירים שלפניכם, הקטע PQPQ הוא קוטר של מעגל, כאשר P(−2,3)P(-2, 3) ו-Q(6,9)Q(6, 9). מהם מרכז המעגל ורדיוסו?
x y P(-2,3) Q(6,9)
  1. א.מרכז (4, 3), רדיוס 5
  2. ב.מרכז (2, 6), רדיוס 5התשובה הנכונה
  3. ג.מרכז (2, 6), רדיוס 10
  4. ד.מרכז (8, 12), רדיוס 5
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים שני קצות של קוטר מעגל בקואורדינטות, ומבקשים את המרכז ואת הרדיוס. לכן זו בעיית גאומטריה אנליטית המשולבת עם מעגלים: מרכז המעגל הוא אמצע הקוטר, והרדיוס הוא חצי אורכו. בתשובות זוגות של מרכז ורדיוס.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי - מרכז המעגל הוא אמצע הקוטר, שמתקבל מממוצע השיעורים של שני הקצוות; אורך הקוטר מתקבל מנוסחת המרחק, והרדיוס הוא חציו.

פתרון אלגברי:

מרכז המעגל הוא אמצע הקוטר PQPQ, ושיעוריו הם ממוצע השיעורים של שני הקצוות: (−2+62,3+92)=(2,6)\displaystyle \left( \dfrac{-2 + 6}{2}, \dfrac{3 + 9}{2} \right) = (2, 6) אורך הקוטר מתקבל מנוסחת המרחק בין P(−2,3)P(-2, 3) ל-Q(6,9)Q(6, 9): PQ=(6−(−2))2+(9−3)2\displaystyle PQ = \sqrt{(6 - (-2))^2 + (9 - 3)^2} PQ=82+62=64+36=100=10\displaystyle PQ = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 הרדיוס הוא חצי הקוטר: r=102=5\displaystyle r = \dfrac{10}{2} = 5 המרכז (2,6)(2, 6) והרדיוס 55. זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 4·גאומטריהקשה
בסרטוט שלפניכם מלבן ברוחב עשר ס"מ ובגובה שמונה ס"מ, שממנו הוסר חצי-עיגול. הקוטר של חצי-העיגול מונח על הצלע הימנית של המלבן וחופף לה, וחצי-העיגול בולט פנימה אל תוך המלבן. מה שטח החלק המוצלל (בסמ"ר)?
10 8
  1. א.80 − 16π
  2. ב.80 − 8πהתשובה הנכונה
  3. ג.80 − 4π
  4. ד.80 − 2π
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

מבוקש שטח מלבן שהוסר ממנו חצי-עיגול שקוטרו מונח על צלעו הימנית - שטח "מוזר" שהופכים למוכר על ידי חיסור שטח חצי-העיגול משטח המלבן. התשובות ביטויים המכילים את π\pi, ולכן משאירים את π\pi סמלי. הרדיוס אינו נתון ישירות: הקוטר מונח על צלע-הגובה, ולכן יש לחלץ אותו כמחצית הגובה.

דרכי פתרון אפשריות

  • חישוב גאומטרי ישיר - מחשבים את שטח המלבן, מחלצים את רדיוס חצי-העיגול (מחצית הגובה שעליו מונח הקוטר), מחשבים את שטח חצי-העיגול (πr22\dfrac{\pi r^2}{2}), ומחסרים. משאירים את π\pi סמלי כדי להתאים לצורת התשובות.

הפתרון

שטח החלק המוצלל הוא שטח המלבן פחות שטח חצי-העיגול. שטח המלבן הוא רוחבו כפול גובהו: 10⋅8=80\displaystyle 10 \cdot 8 = 80 הקוטר של חצי-העיגול מונח על הצלע הימנית וחופף לה, ולכן אורך הקוטר שווה לגובה המלבן, 88. הרדיוס הוא מחצית הקוטר: r=82=4\displaystyle r = \dfrac{8}{2} = 4 שטח חצי-העיגול הוא מחצית שטח עיגול שלם: π⋅422=16π2=8π\displaystyle \dfrac{\pi \cdot 4^2}{2} = \dfrac{16\pi}{2} = 8\pi שטח החלק המוצלל הוא ההפרש: 80−8π\displaystyle 80 - 8\pi זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 5·גאומטריהקשה מאוד
בסרטוט שלפניכם שני עיגולים קונצנטריים (בעלי אותו מרכז). רדיוס העיגול החיצוני תשע ס"מ, ורדיוס העיגול הפנימי שש ס"מ. הטבעת המוצללת היא החלק שבין שני העיגולים. מה שטח הטבעת המוצללת (בסמ"ר)?
9 6
  1. א.9π
  2. ב.15π
  3. ג.45πהתשובה הנכונה
  4. ד.81π
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

מבוקש שטח טבעת - הרצועה בין שני עיגולים בעלי מרכז משותף - שטח "מוזר" שמחשבים כהפרש שטחי שני העיגולים (החיצוני פחות הפנימי). התשובות ביטויים המכילים את π\pi, ולכן משאירים את π\pi סמלי. החיסור כאן הוא בין הרדיוסים בריבוע, ולא בין הרדיוסים עצמם.

דרכי פתרון אפשריות

  • חישוב גאומטרי ישיר - שטח הטבעת הוא שטח העיגול החיצוני פחות שטח העיגול הפנימי. כל שטח מחושב בנוסחת שטח העיגול, πr2\pi r^2, כשמעלים כל רדיוס בריבוע בנפרד לפני החיסור. משאירים את π\pi סמלי כדי להתאים לצורת התשובות.

הפתרון

שטח הטבעת הוא ההפרש בין שטח העיגול החיצוני לשטח העיגול הפנימי. נכתוב את נוסחת ההפרש: S=πR2−πr2\displaystyle S = \pi R^2 - \pi r^2 נציב את הרדיוס החיצוני R=9R = 9 ואת הרדיוס הפנימי r=6r = 6, כשמעלים כל רדיוס בריבוע בנפרד: π⋅92−π⋅62=81π−36π\displaystyle \pi \cdot 9^2 - \pi \cdot 6^2 = 81\pi - 36\pi נחשב את ההפרש: 81π−36π=45π\displaystyle 81\pi - 36\pi = 45\pi זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 6·גאומטריהקלה מאוד
בסרטוט שלפניכם מעגל שמרכזו OO. הנקודות AA, BB, CC על המעגל, והזווית ההיקפית ACBACB שווה 28°. מה גודל הזווית המרכזית AOBAOB הנשענת על אותה קשת ABAB?
28° A B C O
  1. א.28°
  2. ב.56°התשובה הנכונה
  3. ג.112°
  4. ד.124°
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונה זווית היקפית הנשענת על קשת ABAB, ומבוקשת הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת. זווית מרכזית = פעמיים הזווית ההיקפית על אותה קשת, ולכן זו בעיית מעגלים (יחס מרכזית-היקפית).

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי - הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת גדולה פי `2` מהזווית ההיקפית; מכפילים.

פתרון אלגברי:

הזווית המרכזית AOBAOB והזווית ההיקפית ACBACB נשענות על אותה קשת ABAB, והמרכזית שווה לפעמיים ההיקפית: AOB=2⋅ACB=2⋅28∘=56∘\displaystyle AOB = 2 \cdot ACB = 2 \cdot 28^\circ = 56^\circ בשרטוט-הפתרון מודגשת באדום הזווית המרכזית הנגזרת AOB=56∘AOB = 56^\circ לצד הזווית ההיקפית הנתונה `28°`:
28° 56° A B C O
זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 7·גאומטריהקלה
בשני מעגלים בעלי מרכז משותף, שטח הטבעת שביניהם שווה לשטח העיגול הפנימי. הרדיוס הפנימי הוא r=5 ס"מ. מה שטח העיגול החיצוני (הגדול) כולו (בסמ"ר)?
  1. א.25π
  2. ב.50πהתשובה הנכונה
  3. ג.75π
  4. ד.100π
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

שני מעגלים בעלי מרכז משותף, שטח הטבעת שווה לשטח העיגול הפנימי, נתון הרדיוס הפנימי ומבוקש שטח העיגול החיצוני כולו. שוויון-השטחים קובע שהעיגול החיצוני הוא פעמיים העיגול הפנימי. זו בעיית מעגלים. `π` מופיע בתשובות.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי - מחשבים את שטח העיגול הפנימי מהרדיוס הנתון; העיגול החיצוני מורכב מהטבעת ומהעיגול הפנימי, שני חלקים שווים, ולכן שטחו כפול.

פתרון אלגברי:

שטח העיגול הפנימי: πr2=π⋅52=25π\displaystyle \pi r^2 = \pi \cdot 5^2 = 25\pi שטח הטבעת שווה לו, ולכן שטח העיגול החיצוני כולו הוא סכום השניים: 25π+25π=50π\displaystyle 25\pi + 25\pi = 50\pi זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 8·גאומטריהבינונית
במערכת הצירים נתון מעגל שמרכזו (1,2)(1, 2) ורדיוסו 55. איזו מבין הנקודות הבאות נמצאת על היקף המעגל?
  1. א.(4, 6)התשובה הנכונה
  2. ב.(5, 6)
  3. ג.(4, 7)
  4. ד.(2, 7)
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים מרכז מעגל ורדיוסו, ומבקשים איזו מבין ארבע נקודות נמצאת על היקפו. לכן זו בעיית גאומטריה אנליטית המשולבת עם מעגלים: נקודה נמצאת על המעגל אם ורק אם מרחקה מהמרכז שווה לרדיוס. בתשובות ארבע נקודות מועמדות.

דרכי פתרון אפשריות

  • הצבת תשובות - המועמדות כבר בתשובות; בודקים לכל נקודה אם מרחקה מהמרכז שווה לרדיוס (בנוסחת המרחק, או בבדיקת סכום ריבועי ההפרשים מול r2r^2). דרך מתאימה כאן, שכן צריך רק לבדוק ארבע נקודות.

הצבת תשובות:

נקודה נמצאת על המעגל אם מרחקה מהמרכז (1,2)(1, 2) שווה לרדיוס 55, כלומר אם סכום ריבועי הפרשי השיעורים שווה ל-r2=25r^2 = 25: (x−1)2+(y−2)2=25\displaystyle (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25 נבדוק כל תשובה. תשובה (1), הנקודה (4,6)(4, 6): (4−1)2+(6−2)2=32+42=9+16=25\displaystyle (4 - 1)^2 + (6 - 2)^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 הסכום שווה בדיוק ל-2525, ולכן הנקודה על המעגל. נוודא שהשאר אינן: תשובה (2), (5,6)(5, 6), נותנת 42+42=324^2 + 4^2 = 32; תשובה (3), (4,7)(4, 7), נותנת 32+52=343^2 + 5^2 = 34; תשובה (4), (2,7)(2, 7), נותנת 12+52=261^2 + 5^2 = 26. אף אחת מהן אינה 2525. זו התשובה, וניתן להקיף.

כל השאלות, התשובות וההסברים נכתבו ונבדקו על ידי צוות מומחים שחי ונושם פסיכומטרי. כל פריט עובר בקרת איכות לפני שהוא מתפרסם ומתעדכן באופן שוטף, כדי שהתרגול ישקף את רמת הקושי, הסגנון וההיגיון של המבחן האמיתי.