שיא
התחבר לחשבון

תרגול שאלות מעגלים לפסיכומטרי

כמעט כל שאלת מעגל נפתרת ברגע שמצאת את הרדיוס. שים לב במיוחד לשאלות שנותנות היקף או שטח ומבקשות את השני - שם צריך לחזור לרדיוס בדרך.

8 שאלות עם פתרון מלא

שאלות מתוך התרגול עצמו. נסה לפתור לבד, ורק אז פתח את הפתרון.

שאלה 1·גאומטריהקלה מאוד
נתון חצי-עיגול שקוטרו 1212 ס"מ. מהו היקף חצי-העיגול (כלומר, אורך הקשת יחד עם הקוטר), בס"מ?
12
  1. א.12
  2. ב.6π
  3. ג.6π + 6
  4. ד.6π + 12התשובה הנכונה
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון חצי-עיגול שקוטרו ידוע, ומבוקש היקפו - אורך הקשת יחד עם הקוטר. לכן זו בעיית מעגלים. בתשובות ביטויים, חלקם עם π\pi.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון גיאומטרי - היקף חצי-העיגול מורכב משני חלקים: הקשת, שהיא מחצית מהיקף המעגל השלם, והקוטר עצמו. מחשבים כל חלק ומחברים אותם.

פתרון גיאומטרי:

היקף חצי-העיגול מורכב מאורך הקשת ומהקוטר. הרדיוס הוא מחצית הקוטר, כלומר 66 ס"מ, והיקף מעגל שלם הוא 2πR2\pi R: 2πR=2π⋅6=12π\displaystyle 2\pi R = 2\pi \cdot 6 = 12\pi הקשת היא מחצית מכך: 12π2=6π\displaystyle \dfrac{12\pi}{2} = 6\pi נסמן על השרטוט את שני חלקי ההיקף - הקשת (באדום, 6π6\pi) והקוטר (1212):
12 6π
נחבר את אורך הקשת ואת הקוטר: 6π+12\displaystyle 6\pi + 12 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 2·גאומטריהקלה
גלגל שרדיוסו 3030 ס"מ מתגלגל על מסלול ישר ומשלים 1010 סיבובים שלמים. איזה מרחק עבר הגלגל, בס"מ?
  1. א.60π
  2. ב.300π
  3. ג.600πהתשובה הנכונה
  4. ד.1200π
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון גלגל שרדיוסו ידוע, המתגלגל על מסלול ישר ומשלים מספר סיבובים שלמים, ומבוקש המרחק שעבר. לכן זו בעיית מעגלים. בתשובות ביטויים עם π\pi.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון גיאומטרי - בכל סיבוב שלם הגלגל מתקדם מרחק השווה להיקפו. מחשבים את היקף הגלגל מהרדיוס ומכפילים במספר הסיבובים.

פתרון גיאומטרי:

בסיבוב שלם אחד נוגעת כל נקודה על היקף הגלגל בקרקע פעם אחת, ולכן הגלגל מתקדם בדיוק כאורך היקפו. נחשב את ההיקף מהרדיוס 3030: P=2πr=2π⋅30=60π\displaystyle P = 2\pi r = 2\pi \cdot 30 = 60\pi הגלגל השלים 1010 סיבובים שלמים, ולכן המרחק הכולל הוא פי 1010 מההיקף: 10⋅60π=600π\displaystyle 10 \cdot 60\pi = 600\pi זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 3·גאומטריהבינונית
במערכת הצירים שלפניכם, הקטע PQPQ הוא קוטר של מעגל, כאשר P(−2,3)P(-2, 3) ו-Q(6,9)Q(6, 9). מהם מרכז המעגל ורדיוסו?
x y P(-2,3) Q(6,9)
  1. א.מרכז (4, 3), רדיוס 5
  2. ב.מרכז (2, 6), רדיוס 5התשובה הנכונה
  3. ג.מרכז (2, 6), רדיוס 10
  4. ד.מרכז (8, 12), רדיוס 5
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים שני קצות של קוטר מעגל בקואורדינטות, ומבקשים את המרכז ואת הרדיוס. לכן זו בעיית גאומטריה אנליטית המשולבת עם מעגלים: מרכז המעגל הוא אמצע הקוטר, והרדיוס הוא חצי אורכו. בתשובות זוגות של מרכז ורדיוס.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון גיאומטרי - מרכז המעגל הוא אמצע הקוטר, שמתקבל מממוצע השיעורים של שני הקצוות; אורך הקוטר מתקבל מנוסחת המרחק, והרדיוס הוא חציו.

פתרון גיאומטרי:

מרכז המעגל הוא אמצע הקוטר PQPQ, ושיעוריו הם ממוצע השיעורים של שני הקצוות: (−2+62,3+92)=(2,6)\displaystyle \left( \dfrac{-2 + 6}{2}, \dfrac{3 + 9}{2} \right) = (2, 6) אורך הקוטר מתקבל מנוסחת המרחק בין P(−2,3)P(-2, 3) ל-Q(6,9)Q(6, 9): PQ=(6−(−2))2+(9−3)2\displaystyle PQ = \sqrt{(6 - (-2))^2 + (9 - 3)^2} PQ=82+62=64+36=100=10\displaystyle PQ = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 הרדיוס הוא חצי הקוטר: r=102=5\displaystyle r = \dfrac{10}{2} = 5 בשרטוט הבא מסומנים המרכז שנמצא והרדיוס שנגזר (באדום), שהוא מחצית הקוטר:
x y (2,6) 5 P(-2,3) Q(6,9)
המרכז (2,6)(2, 6) והרדיוס 55. זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 4·גאומטריהקשה
בסרטוט שלפניכם מלבן ברוחב עשר ס"מ ובגובה שמונה ס"מ, שממנו הוסר חצי-עיגול. הקוטר של חצי-העיגול מונח על הצלע הימנית של המלבן וחופף לה, וחצי-העיגול בולט פנימה אל תוך המלבן. מה שטח החלק המוצלל (בסמ"ר)?
10 8
  1. א.80 − 16π
  2. ב.80 − 8πהתשובה הנכונה
  3. ג.80 − 4π
  4. ד.80 − 2π
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

מבוקש שטח מלבן שהוסר ממנו חצי-עיגול שקוטרו מונח על צלעו הימנית. הרדיוס אינו נתון ישירות ויש לחלצו. לכן זו בעיית שטחים המשולבת במעגלים. התשובות ביטויים המכילים את π\pi.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון גיאומטרי - מחשבים את שטח המלבן, מחלצים את רדיוס חצי-העיגול (מחצית הגובה שעליו מונח הקוטר), מחשבים את שטח חצי-העיגול (πr22\dfrac{\pi r^2}{2}), ומחסרים. משאירים את π\pi סמלי כדי להתאים לצורת התשובות.
שטח החלק המוצלל הוא שטח המלבן פחות שטח חצי-העיגול. שטח המלבן הוא רוחבו כפול גובהו: 10⋅8=80\displaystyle 10 \cdot 8 = 80 הקוטר של חצי-העיגול מונח על הצלע הימנית וחופף לה, ולכן אורך הקוטר שווה לגובה המלבן, 88. הרדיוס הוא מחצית הקוטר: r=82=4\displaystyle r = \dfrac{8}{2} = 4
10 8 4
הקוטר (ירוק) הוא הצלע הימנית, והרדיוס הנגזר (אדום) הוא מחציתו. שטח חצי-העיגול הוא מחצית שטח עיגול שלם: π⋅422=16π2=8π\displaystyle \dfrac{\pi \cdot 4^2}{2} = \dfrac{16\pi}{2} = 8\pi שטח החלק המוצלל הוא ההפרש: 80−8π\displaystyle 80 - 8\pi זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 5·גאומטריהקשה מאוד
בסרטוט שלפניכם שני עיגולים קונצנטריים (בעלי אותו מרכז). רדיוס העיגול החיצוני תשע ס"מ, ורדיוס העיגול הפנימי שש ס"מ. הטבעת המוצללת היא החלק שבין שני העיגולים. מה שטח הטבעת המוצללת (בסמ"ר)?
9 6
  1. א.9π
  2. ב.15π
  3. ג.45πהתשובה הנכונה
  4. ד.81π
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

מבוקש שטח טבעת - הרצועה בין שני עיגולים בעלי מרכז משותף. לכן זו בעיית שטחים המשולבת במעגלים. התשובות ביטויים המכילים את π\pi.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון גיאומטרי - שטח הטבעת הוא שטח העיגול החיצוני פחות שטח העיגול הפנימי. כל שטח מחושב בנוסחת שטח העיגול, πr2\pi r^2, כשמעלים כל רדיוס בריבוע בנפרד לפני החיסור. משאירים את π\pi סמלי כדי להתאים לצורת התשובות.
נסמן את הרדיוס החיצוני (אדום) ואת הרדיוס הפנימי (ירוק), שני גדלים נפרדים המניבים שני שטחים נפרדים:
9 6
שטח הטבעת הוא ההפרש בין שטח העיגול החיצוני לשטח העיגול הפנימי. נכתוב את נוסחת ההפרש: S=πR2−πr2\displaystyle S = \pi R^2 - \pi r^2 נציב את הרדיוס החיצוני R=9R = 9 ואת הרדיוס הפנימי r=6r = 6, כשמעלים כל רדיוס בריבוע בנפרד: π⋅92−π⋅62=81π−36π\displaystyle \pi \cdot 9^2 - \pi \cdot 6^2 = 81\pi - 36\pi נחשב את ההפרש: 81π−36π=45π\displaystyle 81\pi - 36\pi = 45\pi זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 6·גאומטריהקלה מאוד
היקף מעגל הוא 16π16\pi ס"מ. קשת שבמעגל נשענת על זווית מרכזית של 45°45°. מה אורך הקשת (בס"מ)?
45° O
  1. א.1π
  2. ב.2πהתשובה הנכונה
  3. ג.4π
  4. ד.8π
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים היקף המעגל וזווית מרכזית של קשת, ומבוקש אורך הקשת. π מופיע בתשובות, ולכן זו בעיית מעגלים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון גיאומטרי - אורך הקשת הוא החלק היחסי מההיקף הנתון, לפי הזווית המרכזית חלקי 360° (כאן אין צורך אפילו לחלץ את הרדיוס, כי ההיקף נתון ישירות).

פתרון גיאומטרי:

נסמן תחילה באדום את הקשת המבוקשת, זו שהזווית המרכזית נשענת עליה:
45° O
הקשת היא חלק מההיקף, ואורכה הוא החלק היחסי ממנו לפי הזווית המרכזית מתוך 360°:
אורך קשת = ההיקף · (הזווית המרכזית / 360)
נציב את ההיקף הנתון ואת הזווית: 16π⋅45360=16π⋅18=2π\displaystyle 16\pi \cdot \dfrac{45}{360} = 16\pi \cdot \dfrac{1}{8} = 2\pi זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 7·גאומטריהקלה
היחס בין ההיקפים של שני מעגלים הוא 2:52{:}5. מהו היחס בין השטחים שלהם?
  1. א.2:5
  2. ב.4:25התשובה הנכונה
  3. ג.8:125
  4. ד.16:625
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון היחס בין ההיקפים של שני מעגלים, ומבוקש היחס בין שטחיהם. לכן זו בעיית מעגלים. בתשובות יחסים מספריים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון עקרוני - ההיקף תלוי ברדיוס באופן לינארי, ולכן יחס ההיקפים שווה ליחס הרדיוסים; השטח תלוי ברדיוס בריבוע, ולכן יחס השטחים הוא יחס הרדיוסים בריבוע. גוזרים את יחס השטחים מיחס ההיקפים דרך הרדיוסים.

פתרון עקרוני:

היקף מעגל הוא 2πr2\pi r, כלומר תלוי ברדיוס באופן לינארי. לכן יחס ההיקפים שווה בדיוק ליחס הרדיוסים: r1:r2=2:5\displaystyle r_1 : r_2 = 2 : 5 שטח מעגל הוא πr2\pi r^2, כלומר תלוי ברדיוס בריבוע. לכן יחס השטחים הוא יחס הרדיוסים בריבוע: r12:r22=22:52=4:25\displaystyle r_1^2 : r_2^2 = 2^2 : 5^2 = 4 : 25 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 8·גאומטריהבינונית
במערכת הצירים נתון מעגל שמרכזו (1,2)(1, 2) ורדיוסו 55. איזו מבין הנקודות הבאות נמצאת על היקף המעגל?
  1. א.(4, 6)התשובה הנכונה
  2. ב.(5, 6)
  3. ג.(4, 7)
  4. ד.(2, 7)
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים מרכז מעגל ורדיוסו, ומבקשים איזו מבין ארבע נקודות נמצאת על היקפו. לכן זו בעיית גאומטריה אנליטית המשולבת במעגלים. בתשובות ארבע נקודות מועמדות.

דרכי פתרון אפשריות

  • הצבת תשובות - המועמדות כבר בתשובות; בודקים לכל נקודה אם מרחקה מהמרכז שווה לרדיוס (בנוסחת המרחק, או בבדיקת סכום ריבועי ההפרשים מול r2r^2). דרך מתאימה כאן, שכן צריך רק לבדוק ארבע נקודות.

הצבת תשובות:

נקודה נמצאת על המעגל אם מרחקה מהמרכז (1,2)(1, 2) שווה לרדיוס 55, כלומר אם סכום ריבועי הפרשי השיעורים שווה ל-r2=25r^2 = 25: (x−1)2+(y−2)2=25\displaystyle (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25 נבדוק כל תשובה. תשובה (1), הנקודה (4,6)(4, 6): (4−1)2+(6−2)2=32+42=9+16=25\displaystyle (4 - 1)^2 + (6 - 2)^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 הסכום שווה בדיוק ל-2525, ולכן הנקודה על המעגל. נוודא שהשאר אינן: תשובה (2), (5,6)(5, 6), נותנת 42+42=324^2 + 4^2 = 32; תשובה (3), (4,7)(4, 7), נותנת 32+52=343^2 + 5^2 = 34; תשובה (4), (2,7)(2, 7), נותנת 12+52=261^2 + 5^2 = 26. אף אחת מהן אינה 2525. זו התשובה, וניתן להקיף.

כל השאלות, התשובות וההסברים נכתבו ונבדקו על ידי צוות מומחים שחי ונושם פסיכומטרי ואמירנט. כל פריט עובר בקרת איכות לפני שהוא מתפרסם ומתעדכן באופן שוטף, כדי שהתרגול ישקף את רמת הקושי, הסגנון וההיגיון של המבחן האמיתי.

שיא

© 2026 · שיא. סימולטור פסיכומטרי ואמירנט