שיא
כניסה

תרגול צירופים והסתברות לפסיכומטרי

בצירופים השאלה הראשונה היא תמיד אותה שאלה: האם הסדר משנה? אם כן זו תמורה, אם לא זו קבוצה - וההבחנה הזאת קובעת את כל החישוב.

8 שאלות עם פתרון מלא

שאלות מתוך התרגול עצמו. נסה לפתור לבד, ורק אז פתח את הפתרון.

שאלה 1·בעיות מילוליותקלה מאוד
בלוח מודעות מציגים אות אחת מבין A,B,C,DA, B, C, D ולצידה ספרה אחת מבין 1,2,3,4,51, 2, 3, 4, 5. אין מגבלה על החזרה בין תצוגות שונות. כמה סימנים שונים אפשר להציג?
  1. א.9
  2. ב.14
  3. ג.20התשובה הנכונה
  4. ד.25
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון לנו מספר אפשרויות לכל רכיב של הסימן (אות לצד ספרה), ושואלים כמה סימנים שונים אפשר להציג. לכן זו בעיית צירופים. בתשובות מספרים שלמים קטנים.

דרכי פתרון אפשריות

  • עקרון הכפל - הדרך המתאימה: הסימן נבנה בשני שלבים בלתי-תלויים (בחירת האות ובחירת הספרה), ולכן כופלים את מספר האפשרויות בכל שלב.
  • פירוט שיטתי - מאחר שמספר האפשרויות קטן, אפשר גם לפרוס בפועל את כל הסימנים ולספור אותם.

עקרון הכפל:

הסימן נבנה בשני שלבים: תחילה בוחרים אות, ואז בוחרים ספרה. לאות יש 44 אפשרויות (A,B,C,DA, B, C, D) ולספרה 55 אפשרויות (11 עד 55), והבחירות אינן תלויות זו בזו. לפי עקרון הכפל מספר הסימנים הוא מכפלת מספרי האפשרויות: 4×5=20\displaystyle 4 \times 5 = 20 זו התשובה, וניתן להקיף.

פירוט שיטתי:

נפרוס את הסימנים לפי האות - לכל אות חמש אפשרויות ספרה. עם האות AA: A1,A2,A3,A4,A5A1, A2, A3, A4, A5 (חמישה); וכך גם עם BB, עם CC ועם DD - סך הכול 4×5=204 \times 5 = 20 סימנים. אותה תשובה.
שאלה 2·בעיות מילוליותקלה
מסדרים בשורה את כל אותיות המילה "בננה". המילה מורכבת מהאותיות ב, נ, נ, ה, כלומר האות נ מופיעה פעמיים. כמה סדרות אותיות שונות זו מזו אפשר לקבל?
  1. א.6
  2. ב.12התשובה הנכונה
  3. ג.16
  4. ד.24
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונה לנו מילה שיש לסדר את אותיותיה בשורה, כאשר אחת האותיות חוזרת (שתי אותיות זהות), ושואלים כמה סדרות אותיות שונות אפשר לקבל. לכן זו בעיית צירופים של סידור עם פריטים זהים. בתשובות מספרים שלמים קטנים.

דרכי פתרון אפשריות

  • סידור עם פריטים זהים - הדרך המתאימה: מונים תחילה את כל הסידורים כאילו כל האותיות שונות, ואז מחלקים בסידורים הכפולים שנוצרו מהחלפת שתי האותיות הזהות זו בזו, שכן החלפתן אינה מולידה סדרה חדשה.
  • פירוט שיטתי - מאחר שמספר הסדרות קטן, אפשר גם לפרוס אותן בפועל ולספור.

סידור עם פריטים זהים:

במילה 44 אותיות. אילו כל הארבע היו שונות, מספר הסידורים היה מכפלת מספרי הבחירה לכל מקום: 4!=4×3×2×1=24\displaystyle 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 אך האות נ מופיעה פעמיים, ושתי ההופעות שלה זהות. בכל סדרה, החלפת שתי אותיות ה-נ זו בזו אינה משנה דבר, ולכן כל סדרה נספרה בחישוב הזה פעמיים - פעם לכל סדר של שתי אותיות ה-נ. מספר הסדרים של שתי אותיות ה-נ הוא 2!=22! = 2, ולכן נחלק בו: 4!2!=242=12\displaystyle \frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12 זו התשובה, וניתן להקיף.

פירוט שיטתי:

נפרוס את הסדרות לפי מקומה של האות ב, כאשר יתר המקומות מתמלאים בשתי אותיות ה-נ ובאות ה. עם ב במקום הראשון: בננה, בנהנ, בהננ (שלוש). עם ב במקום השני: נבנה, נבהנ, הבננ (שלוש). עם ב במקום השלישי: ננבה, נהבנ, הנבנ (שלוש). עם ב במקום הרביעי: ננהב, נהנב, הננב (שלוש). בסך הכול 3×4=123 \times 4 = 12 סדרות. אותה תשובה.
שאלה 3·בעיות מילוליותבינונית
66 עובדים יוצאים לנסיעה בשתי מכוניות זהות, שלושה עובדים בכל מכונית. אין חשיבות לסדר הישיבה בתוך המכונית, ושתי המכוניות אינן נבדלות זו מזו. בכמה אופנים שונים אפשר לחלק את העובדים לשתי המכוניות?
  1. א.10התשובה הנכונה
  2. ב.15
  3. ג.20
  4. ד.40
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון לנו אוסף עובדים שיש לחלק לשתי קבוצות שוות בגודלן שאינן נבדלות זו מזו, ושואלים בכמה אופנים אפשר לחלק. לכן זו בעיית צירופים של חלוקה לשתי קבוצות שוות בלתי-מסומנות. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

  • בחירת קבוצה אחת ותיקון הכפילות - הדרך המתאימה: בוחרים את חברי המכונית האחת, והשאר נופלים לשנייה מאליהם. אך מאחר ששתי המכוניות אינן נבדלות, כל חלוקה נספרת פעמיים (פעם כשהשלישייה במכונית האחת ופעם כשהיא בשנייה), ולכן מחלקים ב-22.

בחירת קבוצה אחת ותיקון הכפילות:

כדי לחלק את 66 העובדים לשתי שלישיות, די לבחור מי נוסעים במכונית האחת - שלושת הנותרים נוסעים בשנייה מאליהם. מספר הבחירות של שלישייה מתוך שישה, כשאין חשיבות לסדר הישיבה, הוא: 6×5×43×2×1=1206=20\displaystyle \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = \frac{120}{6} = 20 אך שתי המכוניות זהות ואינן נבדלות זו מזו, ולכן ספירה זו סופרת כל חלוקה פעמיים: פעם אחת כשבחרנו שלישייה מסוימת "למכונית האחת", ופעם שנייה כשבחרנו את השלישייה המשלימה - אף ששתי הבחירות מתארות את אותה חלוקה בדיוק. לכן נחלק ב-22: 202=10\displaystyle \frac{20}{2} = 10 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 4·בעיות מילוליותקשה
מחלקים 1010 סוכריות זהות בין 33 ילדים שונים, כך שכל ילד מקבל סוכרייה אחת לפחות. בכמה אופנים שונים אפשר לחלק את הסוכריות?
  1. א.27
  2. ב.36התשובה הנכונה
  3. ג.45
  4. ד.66
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון לנו אוסף של פריטים זהים שיש לחלק בין נמענים שונים, עם תנאי שכל נמען מקבל לפחות אחד, ושואלים בכמה אופנים אפשר לחלק. הפריטים זהים והנמענים שונים, ומה שקובע חלוקה הוא רק כמה מקבל כל ילד. לכן זו בעיית צירופים של חלוקת פריטים זהים (כוכבים ומחיצות). בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

  • שיטת הכוכבים והמחיצות - הדרך המתאימה: תחילה מנטרלים את התנאי "לפחות אחת" בכך שנותנים סוכרייה אחת לכל ילד מראש, ואז מחלקים את היתרה בחופשיות (כולל 00 לילד). חלוקה של פריטים זהים בין ילדים שקולה לבחירת מיקומי המחיצות המפרידות ביניהם, ולכן סופרים בכמה אופנים אפשר לשבץ את המחיצות.
  • פירוט שיטתי - מונים את החלוקות של היתרה לפי כמות שמקבל הילד הראשון, וסוכמים.

שיטת הכוכבים והמחיצות:

תחילה ננטרל את התנאי "כל ילד מקבל אחת לפחות": ניתן מראש סוכרייה אחת לכל אחד משלושת הילדים. חילקנו כך 33 סוכריות, ונותרו 10−3=710 - 3 = 7 סוכריות לחלוקה חופשית בין שלושת הילדים - וכעת מותר גם שילד לא יקבל דבר מהיתרה (כי כבר יש לו אחת). נחלק את 77 הסוכריות הזהות בין 33 ילדים. נדמיין את שבע הסוכריות בשורה כ-77 כוכבים, ונציב ביניהם 22 מחיצות שיחלקו אותן לשלוש מנות - מה שמשמאל למחיצה הראשונה לילד הראשון, שבין המחיצות לשני, ומימין לשנייה לשלישי:
* * * | * * | * *
כל חלוקה נקבעת כליל על ידי מיקומי שתי המחיצות. יש 77 כוכבים ו-22 מחיצות, סך הכול 99 אובייקטים בשורה, ויש לבחור אילו 22 מתוך 99 המקומות יהיו מחיצות (השאר כוכבים). זו בחירה בלי חשיבות לסדר: 9×82=722=36\displaystyle \frac{9 \times 8}{2} = \frac{72}{2} = 36 זו התשובה, וניתן להקיף.

פירוט שיטתי:

נמנה את חלוקות 77 הסוכריות הנותרות לפי כמה מהן מקבל הילד הראשון. אם הראשון מקבל 00, נותרו 77 לחלוקה בין השני לשלישי, ולשני יש 88 אפשרויות (00 עד 77, והשלישי משלים) - שמונה. אם הראשון מקבל 11, נותרו 66 לשניים, וזה נותן שבע אפשרויות. וכן הלאה, בכל צעד אפשרות אחת פחות: 8+7+6+5+4+3+2+1=36\displaystyle 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36 אותה תשובה.
שאלה 5·בעיות מילוליותקשה מאוד
חיפושית מהלכת על רשת רחובות מן הפינה הדרומית-מערבית אל הפינה הצפונית-מזרחית. בכל צעד היא מתקדמת רחוב אחד מזרחה או רחוב אחד צפונה בלבד, ועליה להתקדם בסך הכול 44 רחובות מזרחה ו-33 רחובות צפונה. פינת רחוב מסוימת חסומה: היא מצויה 22 רחובות ממזרח לנקודת ההתחלה ורחוב 11 מצפון לה, ואי אפשר לעבור דרכה. בכמה מסלולים שונים אפשר להגיע מן ההתחלה אל הסיום מבלי לעבור דרך הפינה החסומה?
  1. א.17התשובה הנכונה
  2. ב.18
  3. ג.21
  4. ד.35
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונה לנו הליכה על רשת רחובות, כשבכל צעד מתקדמים מזרחה או צפונה, עם דרישה להימנע ממעבר דרך פינה חסומה מסוימת. שואלים כמה מסלולים שונים קיימים. הניסוח "מבלי לעבור דרך" הוא דגל לספירה משלימה. לכן זו בעיית צירופים של ספירת מסלולים ברשת עם הימנעות מנקודה. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

  • ספירה משלימה - הדרך הנוחה: קל יותר לספור את המסלולים האסורים (העוברים דרך הפינה החסומה) מאשר את המותרים ישירות. סופרים את כל המסלולים מההתחלה לסיום, מחסירים את אלה שעוברים דרך הפינה החסומה, והנותר הוא מספר המסלולים המותרים. את מספר המסלולים בכל קטע סופרים כבחירת הצעדים שהולכים צפונה מתוך כלל צעדי הקטע (השאר מזרחה).
  • פירוט שיטתי - מספר המסלולים בכל קטע קטן, ואפשר לוודא בפריסה מסודרת של רצפי הצעדים.

ספירה משלימה:

נשרטט את הרשת, נסמן את נקודות ההתחלה, החסימה והסיום, ומסלול לדוגמה מן הפינה החסומה:
התחלה סיום חסום
תחילה נספור את כל המסלולים מן ההתחלה לסיום, בלי אילוץ. כל מסלול מורכב מ-44 צעדים מזרחה ו-33 צעדים צפונה, סך הכול 77 צעדים, והוא נקבע כליל ברגע שבוחרים אילו 33 מתוך 77 הצעדים יהיו צפונה (השאר מזרחה): (73)=7×6×53×2×1=2106=35\displaystyle \binom{7}{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = \frac{210}{6} = 35 כעת נספור את המסלולים האסורים - אלה העוברים דרך הפינה החסומה, המצויה 22 רחובות ממזרח ורחוב 11 מצפון להתחלה. פינה זו שוברת מסלול אסור לשני קטעים בלתי-תלויים, ומספר המסלולים דרכה הוא מכפלת המסלולים בכל קטע. בקטע מן ההתחלה אל הפינה החסומה יש להתקדם 22 מזרחה ורחוב 11 צפונה - 33 צעדים, שמהם בוחרים איזה יהיה צפונה: (31)=3\displaystyle \binom{3}{1} = 3 בקטע מן הפינה החסומה אל הסיום נותרו 22 מזרחה (44 פחות 22) ו-22 צפונה (33 פחות 11) - 44 צעדים, שמהם בוחרים אילו 22 יהיו צפונה: (42)=4×32=6\displaystyle \binom{4}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6 מספר המסלולים דרך הפינה החסומה הוא מכפלת שני הקטעים: 3×6=18\displaystyle 3 \times 6 = 18 מספר המסלולים המותרים הוא כל המסלולים פחות האסורים: 35−18=17\displaystyle 35 - 18 = 17 זו התשובה, וניתן להקיף.

פירוט שיטתי:

נסמן צעד מזרחה באות מ וצעד צפונה באות צ, ונמנה את המסלולים דרך הפינה החסומה לפי שני הקטעים. בקטע הראשון (22 מזרחה, 11 צפונה) הרצפים הם מ-מ-צ, מ-צ-מ, צ-מ-מ - שלושה. בקטע השני (22 מזרחה, 22 צפונה) הרצפים הם מ-מ-צ-צ, מ-צ-מ-צ, מ-צ-צ-מ, צ-מ-מ-צ, צ-מ-צ-מ, צ-צ-מ-מ - שישה. כל צירוף של רצף מן הקטע הראשון עם רצף מן השני נותן מסלול אסור, ובסך הכול 3×6=183 \times 6 = 18 מסלולים חסומים. נחסיר אותם מ-3535 כלל המסלולים ונקבל 35−18=1735 - 18 = 17. אותה תשובה.
שאלה 6·בעיות מילוליותקלה מאוד
בחנות פרחים מוכרים זר, המורכב מפרח מרכזי אחד מתוך 66 סוגי פרחים, ומעטפת נייר אחת מתוך 33 צבעים. כמה זרים שונים זה מזה אפשר להרכיב?
  1. א.9
  2. ב.12
  3. ג.15
  4. ד.18התשובה הנכונה
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון לנו מספר אפשרויות לכל רכיב של הזר (פרח מרכזי ומעטפת נייר), ושואלים כמה זרים שונים אפשר להרכיב. לכן זו בעיית צירופים. בתשובות מספרים שלמים קטנים.

דרכי פתרון אפשריות

  • עקרון הכפל - הדרך המתאימה: הזר נבנה בשני שלבים בלתי-תלויים (בחירת פרח מרכזי ובחירת מעטפת), ולכן כופלים את מספר האפשרויות בכל שלב.
  • פירוט שיטתי - מאחר שמספר האפשרויות קטן, אפשר גם לפרוס בפועל את כל הזרים ולספור אותם.

עקרון הכפל:

הזר נבנה בשני שלבים: תחילה בוחרים פרח מרכזי, ואז בוחרים מעטפת. לפרח יש 66 אפשרויות ולמעטפת 33 אפשרויות, והבחירות אינן תלויות זו בזו. לפי עקרון הכפל מספר הזרים הוא מכפלת מספרי האפשרויות: 6×3=18\displaystyle 6 \times 3 = 18 זו התשובה, וניתן להקיף.

פירוט שיטתי:

נפרוס את הזרים לפי הפרח המרכזי - לכל פרח שלוש אפשרויות מעטפת. עם הפרח הראשון: שלושה זרים (מעטפת ראשונה, שנייה, שלישית); וכך גם לכל אחד מששת הפרחים - סך הכול 6×3=186 \times 3 = 18 זרים. אותה תשובה.
שאלה 7·בעיות מילוליותקלה
בכיתה יש 88 תלמידים, ומחלקים אותם לשלוש קבוצות שונות זו מזו: קבוצת ספורט בת 44 תלמידים, קבוצת מוזיקה בת 33 תלמידים, וקבוצת אמנות בת תלמיד יחיד. כל תלמיד משובץ לקבוצה אחת בדיוק. בכמה אופנים שונים אפשר לחלק את התלמידים לשלוש הקבוצות?
  1. א.70
  2. ב.210
  3. ג.280התשובה הנכונה
  4. ד.336
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון לנו אוסף של תלמידים שיש לחלק לשלוש קבוצות שונות זו מזו בגדלים נתונים, כשכל תלמיד לקבוצה אחת, ושואלים בכמה אופנים אפשר לחלק. לכן זו בעיית צירופים של חלוקה לקבוצות מסומנות. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

  • עקרון הכפל דרך בחירות עוקבות - הדרך המתאימה: בונים את החלוקה קבוצה אחר קבוצה. בוחרים תחילה את חברי קבוצת הספורט, אחר כך את חברי קבוצת המוזיקה מבין הנותרים, והאחרון נופל לקבוצת האמנות. בכל שלב בוחרים בלי חשיבות לסדר, וכופלים את מספרי הבחירות.

עקרון הכפל דרך בחירות עוקבות:

נבנה את החלוקה בשלושה שלבים. בשלב הראשון בוחרים לקבוצת הספורט 44 תלמידים מתוך 88, בלי חשיבות לסדר. מספר הבחירות של רביעייה מתוך שמונה הוא הסידורים המסודרים מחולקים בסידורי הרביעייה: 8×7×6×54×3×2×1=168024=70\displaystyle \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{1680}{24} = 70 בשלב השני נותרו 44 תלמידים, ומהם בוחרים 33 לקבוצת המוזיקה. בחירת שלישייה מתוך ארבעה שקולה להשארת אחד בחוץ, ולכן יש לה 44 אפשרויות. בשלב השלישי נותר תלמיד אחד בלבד, והוא משובץ לקבוצת האמנות - אפשרות אחת. לפי עקרון הכפל, מספר החלוקות הוא מכפלת מספרי הבחירות בשלושת השלבים: 70×4×1=280\displaystyle 70 \times 4 \times 1 = 280 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 8·בעיות מילוליותבינונית
בין המספרים השלמים מ-100100 עד 999999 (כולל), כמה מספרים מתחלקים ב-55 בדיוק?
  1. א.179
  2. ב.180התשובה הנכונה
  3. ג.200
  4. ד.250
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון לנו טווח מספרים שלמים, ושואלים כמה מהם מקיימים תכונת התחלקות, כלומר כמה כפולות של 55 נמצאות בטווח. לכן זו בעיית צירופים של ספירת איברים בטווח לפי תכונה (בעיית "גדר"). בתשובות מספרים שלמים סמוכים זה לזה, ולכן חשוב לספור בזהירות את שני הקצוות.

דרכי פתרון אפשריות

  • מציאת הקצוות וספירת הכפולות - הדרך המתאימה: מזהים את הכפולה הקטנה ביותר ואת הגדולה ביותר של 55 בתוך הטווח, ומודדים כמה כפולות יש ביניהן. מספר האיברים ברצף חשבוני הוא הפרש הקצוות מחולק בקפיצה, ועוד 11 - כדי לספור את האיברים עצמם ולא את המרווחים שביניהם.

מציאת הקצוות וספירת הכפולות:

הכפולה הקטנה ביותר של 55 בטווח היא 100100 עצמו (100=5×20100 = 5 \times 20), והכפולה הגדולה ביותר שאינה עוברת את 999999 היא 995995 (995=5×199995 = 5 \times 199). הכפולות הן אפוא: 100, 105, 110, …, 995\displaystyle 100, \ 105, \ 110, \ \ldots, \ 995 זהו רצף שקופץ ב-55 בכל צעד. כדי לספור את מספר האיברים בו, נחשב את הפרש הקצוות, נחלק בקפיצה, ונוסיף 11 (האיבר הראשון עצמו): 995−1005+1=8955+1=179+1=180\displaystyle \frac{995 - 100}{5} + 1 = \frac{895}{5} + 1 = 179 + 1 = 180 תוספת ה-11 חיונית: החלוקה 8955=179\dfrac{895}{5}=179 סופרת את מספר הקפיצות (המרווחים) בין 100100 ל-995995, ומספר האיברים גדול ממנו באחד. 180\displaystyle 180 זו התשובה, וניתן להקיף.

כל השאלות, התשובות וההסברים נכתבו ונבדקו על ידי צוות מומחים שחי ונושם פסיכומטרי. כל פריט עובר בקרת איכות לפני שהוא מתפרסם ומתעדכן באופן שוטף, כדי שהתרגול ישקף את רמת הקושי, הסגנון וההיגיון של המבחן האמיתי.