תרגול חלוקה ושארית לפסיכומטרי

שאלות חלוקה בודקות אם אתה מכיר את כללי ההתחלקות ואת מושג השארית. הן נראות תיאורטיות אבל כמעט תמיד נפתרות מהר בהצבת מספר קטן שמקיים את התנאי.

8 שאלות עם פתרון מלא

שאלות מתוך התרגול עצמו. נסה לפתור לבד, ורק אז פתח את הפתרון.

שאלה 1·אלגברהקלה מאוד

מהו המספר החיובי הקטן ביותר המתחלק ב-

3

, ב-

4

וב-

5

א.12
ב.20
ג.60התשובה הנכונה
ד.120

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

מבקשים את המספר החיובי הקטן ביותר המתחלק בשלושה מחלקים בו-זמנית. לכן זו בעיית חלוקה (מכנה משותף קטן ביותר). בתשובות מספרים קונקרטיים.

דרכי פתרון אפשריות

פתרון אלגברי - המספר המבוקש הוא המכנה המשותף הקטן ביותר של $3$ , $4$ ו- $5$ . מכיוון ששלושתם זרים זה לזה (אין להם גורם משותף), המכנה המשותף הוא פשוט מכפלתם. הדרך העקרונית.

פתרון אלגברי:

המספר המבוקש חייב להתחלק ב-

3

, ב-

4

וב-

5

. שלושת המספרים זרים זה לזה - אין להם גורם משותף - ולכן המכנה המשותף הקטן ביותר הוא מכפלתם:

\displaystyle 3 \cdot 4 \cdot 5 = 60

60

מתחלק ב-

3

, ב-

4

וב-

5

, ואין מספר קטן ממנו שמתחלק בשלושתם. זו התשובה, וניתן להקיף.

שאלה 2·אלגברהקלה

כמה מחלקים שלמים וחיוביים יש למספר

18

א.4
ב.5
ג.6התשובה הנכונה
ד.9

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

מבקשים את מספר המחלקים החיוביים של המספר הקונקרטי

18

. אין נעלמים, ובתשובות מספרים קטנים. לכן זו בעיית חלוקה (ספירת מחלקים).

דרכי פתרון אפשריות

פירוט שיטתי - רושמים את כל זוגות המחלקים של $18$ עד שהם נפגשים. הדרך הוודאית והנוחה למספר קטן.
פתרון אלגברי (פירוק ראשוני) - מפרקים את $18$ לגורמים ראשוניים וסופרים את המחלקים לפי מספר הבחירות של כל גורם. שימושי כשהמספר גדול מכדי לפרט.

פירוט שיטתי:

נרשום את כל זוגות המחלקים של

18

, מהקטן ולמעלה, עד שהם נפגשים:

\displaystyle 1 \times 18 \qquad 2 \times 9 \qquad 3 \times 6

המחלקים הם

1, 2, 3, 6, 9, 18

- בסך הכול

6

, וניתן להקיף.

פתרון אלגברי (פירוק ראשוני):

נפרק את

18

לגורמים ראשוניים:

18 = 2 \cdot 3^2

. כל מחלק של

18

נבנה מבחירת חזקה של

2

(מבין

2^0, 2^1

- שתי אפשרויות) ומבחירת חזקה של

3

(מבין

3^0, 3^1, 3^2

- שלוש אפשרויות). לכן מספר המחלקים הוא

2 \cdot 3 = 6

, וניתן להקיף.

שאלה 3·אלגברהבינונית

המספר

n

מותיר שארית

4

בחלוקה ב-

7

. מהי השארית בחלוקת

2n

ב-

7

א.1התשובה הנכונה
ב.2
ג.4
ד.6

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון מספר עם שארית ידועה בחלוקה ב-

7

, ומבקשים את השארית בחלוקת כפולתו ב-

2

באותו מחלק. לכן זו בעיית חלוקה (חשבון שאריות). בתשובות מספרים קטנים, ושארית בחלוקה ב-

7

נעה בין

0

ל-

6

דרכי פתרון אפשריות

הצבת מספרים - מציבים במקום $n$ מספר נוח המתחלק ב- $7$ ומוסיפים לו את השארית, מכפילים ב- $2$ ומחשבים את שארית התוצאה בחלוקה ב- $7$ . הדרך המהירה.
פתרון אלגברי - כותבים $n = 7k + 4$ , מכפילים ב- $2$ ומבודדים את החלק שמתחלק ב- $7$ . הדרך העקרונית.

הצבת מספרים:

נציב במקום

n

מספר נוח המתחלק ב-

7

ונוסיף את השארית

4

n = 7 + 4 = 11

. כעת נכפיל ב-

2

ונחשב את השארית בחלוקה ב-

7

\displaystyle 2n = 2 \cdot 11 = 22, \qquad 22 = 7 \cdot 3 + 1

השארית היא

1

, וניתן להקיף.

פתרון אלגברי:

נכתוב

n = 7k + 4

, ונכפיל ב-

2

\displaystyle 2n = 2(7k + 4) = 14k + 8 = 7(2k) + 8

החלק

7(2k)

מתחלק ב-

7

בלי שארית, ונשאר

8

. אך

8 = 7 + 1

, ולכן השארית היא

1

(שארית חייבת להיות קטנה מהמחלק). ניתן להקיף.

שאלה 4·אלגברהקשה

המספר

n

מותיר שארית

2

בחלוקה ב-

5

. מהי השארית בחלוקת

n^2

ב-

5

א.0
ב.2
ג.4התשובה הנכונה
ד.לא ניתן לקבוע

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון מספר עם שארית ידועה בחלוקה ב-

5

, ומבקשים את השארית בחלוקת ריבועו באותו מחלק. לכן זו בעיית חלוקה (חשבון שאריות). בתשובות מספרים קטנים ואפשרות "לא ניתן לקבוע", ולכן חלק מהאתגר הוא לוודא שהשארית אכן נקבעת יחידית.

דרכי פתרון אפשריות

הצבת מספרים - מציבים במקום $n$ שני מספרים נוחים ושונים המקיימים את התנאי, מעלים בריבוע ומחשבים את השארית של כל אחד. אם שני מספרים שונים נותנים אותה שארית, זה מרמז שהשארית קבועה (ולכן אין לבחור "לא ניתן לקבוע"). הדרך המהירה.
פתרון אלגברי - כותבים $n = 5k + 2$ , מעלים בריבוע ומבודדים את החלק שמתחלק ב- $5$ . כך מוכיחים שהשארית נקבעת יחידית משארית $n$ . הדרך העקרונית.

הצבת מספרים:

נציב שני מספרים שונים המותירים שארית

2

בחלוקה ב-

5

, ונבדוק אם שניהם נותנים אותה שארית בריבוע. נציב

n = 2

\displaystyle n^2 = 4, \qquad 4 = 5 \cdot 0 + 4

נציב

n = 7

\displaystyle n^2 = 49, \qquad 49 = 5 \cdot 9 + 4

בשני המקרים השארית היא

4

- קבועה, ולכן היא נקבעת יחידית ואין לבחור "לא ניתן לקבוע". זו התשובה, וניתן להקיף.

פתרון אלגברי:

נכתוב

n = 5k + 2

, ונעלה בריבוע:

\displaystyle n^2 = (5k + 2)^2 = 25k^2 + 20k + 4 = 5(5k^2 + 4k) + 4

החלק

5(5k^2 + 4k)

מתחלק ב-

5

בלי שארית, ונשאר

4

(שקטן מהמחלק). השארית היא

4

ללא תלות בערך

k

, ולכן היא נקבעת יחידית. ניתן להקיף.

שאלה 5·אלגברהקשה מאוד

מהו המספר החיובי הקטן ביותר המותיר שארית

2

בחלוקה ב-

3

ושארית

3

בחלוקה ב-

7

א.11
ב.17התשובה הנכונה
ג.23
ד.38

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

מבקשים את המספר החיובי הקטן ביותר המקיים בו-זמנית שתי דרישות-שארית שונות בשני מחלקים שונים. לכן זו בעיית חלוקה (שתי שאריות). בתשובות מספרים קונקרטיים מסודרים בסדר עולה.

דרכי פתרון אפשריות

הצבת תשובות - המועמדים כבר בתשובות ומסודרים בסדר עולה, ולכן נעבור עליהם מהקטן ולמעלה ונבחר את הראשון המקיים את שתי דרישות-השארית יחד. חשוב לבדוק את שני התנאים לכל מועמד: כאן חלק מהמסיחים מקיימים תנאי אחד בלבד. דרך פסיכומטרית ישירה.
פירוט שיטתי - רושמים את המספרים המותירים שארית $2$ בחלוקה ב- $3$ , ובנפרד את המותירים שארית $3$ בחלוקה ב- $7$ , ומוצאים את הקטן ביותר המשותף לשתי הרשימות. שימושי כשאין מועמדים מוכנים.
פתרון אלגברי - כותבים מספר המקיים את הדרישה השנייה (המחלק הגדול) בצורה $7k + 3$ , ומחפשים את הערך הקטן ביותר שגם מותיר שארית $2$ בחלוקה ב- $3$ . הדרך העקרונית.

הצבת תשובות:

נעבור על התשובות מהקטן ולמעלה ונדרוש שכל מועמד יקיים את שני התנאים - שארית

2

בחלוקה ב-

3

וגם שארית

3

בחלוקה ב-

7

: תשובה (1),

11

: בחלוקה ב-

3

מתקבל

11 = 3 \cdot 3 + 2

- שארית

2

; אך בחלוקה ב-

7

מתקבל

11 = 7 \cdot 1 + 4

- שארית

4

, ולא

3

. נמשיך. תשובה (2),

17

: בחלוקה ב-

3

מתקבל

17 = 3 \cdot 5 + 2

- שארית

2

כנדרש; בחלוקה ב-

7

מתקבל

17 = 7 \cdot 2 + 3

- שארית

3

כנדרש. שני התנאים מתקיימים, וזהו הראשון בסדר העולה. זו התשובה, וניתן להקיף.

פירוט שיטתי:

נרשום את המספרים המותירים שארית

2

בחלוקה ב-

3

2, 5, 8, 11, 14, 17, \ldots

נרשום את המספרים המותירים שארית

3

בחלוקה ב-

7

3, 10, 17, 24, \ldots

המספר הקטן ביותר המשותף לשתי הרשימות הוא

17

, וניתן להקיף.

פתרון אלגברי:

נתחיל מהמחלק הגדול, שרשימת המועמדים שלו קצרה יותר. מספר המותיר שארית

3

בחלוקה ב-

7

נכתב בצורה

7k + 3

(עבור

k = 0, 1, 2, \ldots

), כלומר

3, 10, 17, \ldots

. נבדוק מי מהם מותיר שארית

2

בחלוקה ב-

3

: עבור

k = 0

מתקבל

3 = 3 \cdot 1 + 0

, כלומר שארית

0

- אינו מתאים. עבור

k = 1

מתקבל

10 = 3 \cdot 3 + 1

, כלומר שארית

1

- אינו מתאים. עבור

k = 2

מתקבל

17 = 3 \cdot 5 + 2

, כלומר שארית

2

- מתאים. הערך הקטן ביותר המקיים את שני התנאים הוא

17

, וניתן להקיף.

שאלה 6·אלגברהקלה מאוד

מהו המספר החיובי הקטן ביותר המתחלק ב-

6

, ב-

8

וב-

9

א.48
ב.54
ג.72התשובה הנכונה
ד.144

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

דרכי פתרון אפשריות

פתרון אלגברי - המספר המבוקש הוא המכנה המשותף הקטן ביותר של $6$ , $8$ ו- $9$ . כאן למחלקים יש גורמים משותפים, ולכן מכפלה פשוטה תיתן מספר גדול מדי; נפרק לגורמים ראשוניים ונרכיב את החזקה הגבוהה ביותר של כל גורם. הדרך העקרונית.

פתרון אלגברי:

נפרק כל מחלק לגורמים ראשוניים:

\displaystyle 6 = 2 \cdot 3, \qquad 8 = 2^3, \qquad 9 = 3^2

המכנה המשותף הקטן ביותר מורכב מהחזקה הגבוהה ביותר של כל גורם ראשוני שמופיע:

2^3

(מ-

8

) ו-

3^2

(מ-

9

\displaystyle 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72

72

מתחלק ב-

6

, ב-

8

וב-

9

, ואין מספר קטן ממנו שמתחלק בשלושתם. זו התשובה, וניתן להקיף.

שאלה 7·אלגברהקלה

כמה מחלקים שלמים וחיוביים יש למספר

45

א.3
ב.4
ג.5
ד.6התשובה הנכונה

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

מבקשים את מספר המחלקים החיוביים של המספר הקונקרטי

45

. אין נעלמים, ובתשובות מספרים קטנים. לכן זו בעיית חלוקה (ספירת מחלקים).

דרכי פתרון אפשריות

פירוט שיטתי - רושמים את כל זוגות המחלקים של $45$ עד שהם נפגשים. הדרך הוודאית והנוחה למספר קטן.
פתרון אלגברי (פירוק ראשוני) - מפרקים את $45$ לגורמים ראשוניים וסופרים את המחלקים לפי מספר הבחירות של כל גורם. שימושי כשהמספר גדול מכדי לפרט.

פירוט שיטתי:

נרשום את כל זוגות המחלקים של

45

, מהקטן ולמעלה, עד שהם נפגשים:

\displaystyle 1 \times 45 \qquad 3 \times 15 \qquad 5 \times 9

המחלקים הם

1, 3, 5, 9, 15, 45

- בסך הכול

6

, וניתן להקיף.

פתרון אלגברי (פירוק ראשוני):

נפרק את

45

לגורמים ראשוניים:

45 = 3^2 \cdot 5

. כל מחלק של

45

נבנה מבחירת חזקה של

3

(מבין

3^0, 3^1, 3^2

- שלוש אפשרויות) ומבחירת חזקה של

5

(מבין

5^0, 5^1

- שתי אפשרויות). לכן מספר המחלקים הוא

3 \cdot 2 = 6

, וניתן להקיף.

שאלה 8·אלגברהבינונית

המספר

n

מותיר שארית

5

בחלוקה ב-

9

. מהי השארית בחלוקת

n+7

ב-

9

א.3התשובה הנכונה
ב.5
ג.7
ד.12

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון מספר עם שארית ידועה בחלוקה ב-

9

, ומבקשים את השארית בחלוקת המספר לאחר תוספת קבועה באותו מחלק. לכן זו בעיית חלוקה (חשבון שאריות). בתשובות מספרים קטנים, ושארית בחלוקה ב-

9

נעה בין

0

ל-

8

דרכי פתרון אפשריות

הצבת מספרים - מציבים במקום $n$ מספר נוח המתחלק ב- $9$ ומוסיפים לו את השארית, מוסיפים $7$ ומחשבים את שארית התוצאה בחלוקה ב- $9$ . הדרך המהירה.
פתרון אלגברי - כותבים $n = 9k + 5$ , מוסיפים $7$ ומבודדים את החלק שמתחלק ב- $9$ . הדרך העקרונית.

הצבת מספרים:

נציב במקום

n

מספר נוח המתחלק ב-

9

ונוסיף את השארית

5

n = 9 + 5 = 14

. כעת נוסיף

7

ונחשב את השארית בחלוקה ב-

9

\displaystyle n + 7 = 14 + 7 = 21, \qquad 21 = 9 \cdot 2 + 3

השארית היא

3

, וניתן להקיף.

פתרון אלגברי:

נכתוב

n = 9k + 5

, ונוסיף

7

\displaystyle n + 7 = 9k + 5 + 7 = 9k + 12 = 9(k + 1) + 3

החלק

9(k + 1)

מתחלק ב-

9

בלי שארית, ונשאר

3

(שקטן מהמחלק). לכן השארית היא

3

, וניתן להקיף.

כל השאלות, התשובות וההסברים נכתבו ונבדקו על ידי צוות מומחים שחי ונושם פסיכומטרי. כל פריט עובר בקרת איכות לפני שהוא מתפרסם ומתעדכן באופן שוטף, כדי שהתרגול ישקף את רמת הקושי, הסגנון וההיגיון של המבחן האמיתי.