שיא
התחבר לחשבון

תרגול חלוקה ושארית לפסיכומטרי

שאלות חלוקה בודקות אם אתה מכיר את כללי ההתחלקות ואת מושג השארית. הן נראות תיאורטיות אבל כמעט תמיד נפתרות מהר בהצבת מספר קטן שמקיים את התנאי.

8 שאלות עם פתרון מלא

שאלות מתוך התרגול עצמו. נסה לפתור לבד, ורק אז פתח את הפתרון.

שאלה 1·אלגברהקלה מאוד
נתון: x<0x < 0. איזה מהביטויים הבאים הוא בהכרח חיובי?
  1. א.x⁴התשובה הנכונה
  2. ב.x⁵
  3. ג.-x²
  4. ד.3x
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון תחום-סימן על הנעלם (xx שלילי), ומבקשים איזה ביטוי הוא בהכרח חיובי, כלומר שאלה על הסימן של ביטוי לפי משפחת הנעלם. לכן זו בעיית התנהגות אלגברית המשולבת בחלוקה. בתשובות ביטויים המכילים את xx (חזקות שלו וכפולה שלו).

דרכי פתרון אפשריות

  • הצבת מספרים מהראש - הדרך המרכזית לשאלת "בהכרח": מתחילים בהצבה קלה ונוחה של נציג שלילי, ובודקים איתה את כל הביטויים בבת אחת - כל ביטוי שיצא שלילי נפסל. כאן הסימן של כל ביטוי אינו תלוי בגודל הנציג אלא רק בהיותו שלילי, ולכן הצבה יחידה מכריעה.
  • פתרון עקרוני - קובעים לכל ביטוי את סימנו לפי כלל-החזקות (חזקה זוגית של שלילי חיובית, אי-זוגית שלילית) והכפל בקבוע. הדרך העקרונית, לצד ההצבה.

הצבת מספרים מהראש:

נתחיל בהצבה קלה ונוחה של נציג שלילי, x=−2x = -2, ונבדוק איתה את ארבעת הביטויים בבת אחת: x4=16x5=−32−x2=−43x=−6\displaystyle x^4 = 16 \qquad x^5 = -32 \qquad -x^2 = -4 \qquad 3x = -6 הביטוי x5=−32x^5 = -32 שלילי, ולכן טענה (2) נפסלת; −x2=−4-x^2 = -4 שלילי, ולכן טענה (3) נפסלת; 3x=−63x = -6 שלילי, ולכן טענה (4) נפסלת. ההצבה הקלה בלבד פסלה שלוש טענות והשאירה את x4=16x^4 = 16 החיובי. זו התשובה, וניתן להקיף.

פתרון עקרוני:

הנעלם xx שלילי, ולכן: x5x^5 הוא חזקה אי-זוגית של שלילי ולכן שלילי; −x2-x^2 הוא ריבוע חיובי עם סימן מינוס לפניו ולכן שלילי תמיד; 3x3x הוא שלילי כפול קבוע חיובי ולכן שלילי. לעומתם x4x^4 הוא חזקה זוגית של שלילי ולכן חיובי תמיד. זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 2·אלגברהקלה
כמה מחלקים שלמים וחיוביים יש למספר 1212?
  1. א.4
  2. ב.5
  3. ג.6התשובה הנכונה
  4. ד.12
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

מבקשים את מספר המחלקים החיוביים של המספר הקונקרטי 1212. אין נעלמים, ובתשובות מספרים קטנים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פירוט שיטתי - רושמים את כל זוגות המחלקים של 1212 עד שהם נפגשים. הדרך הוודאית והנוחה למספר קטן.
  • פתרון עקרוני - מפרקים את 1212 לגורמים ראשוניים וסופרים את המחלקים לפי מספר הבחירות של כל גורם. שימושי כשהמספר גדול מכדי לפרט.

פירוט שיטתי:

נרשום את כל זוגות המחלקים של 1212, מהקטן ולמעלה, עד שהם נפגשים: 1×122×63×4\displaystyle 1 \times 12 \qquad 2 \times 6 \qquad 3 \times 4 המחלקים הם 1,2,3,4,6,121, 2, 3, 4, 6, 12 - בסך הכול 66, וניתן להקיף.

פתרון עקרוני:

נפרק את 1212 לגורמים ראשוניים: 12=22⋅312 = 2^2 \cdot 3. כל מחלק של 1212 נבנה מבחירת חזקה של 22 (מבין 20,21,222^0, 2^1, 2^2 - שלוש אפשרויות) ומבחירת חזקה של 33 (מבין 30,313^0, 3^1 - שתי אפשרויות). לכן מספר המחלקים הוא 3⋅2=63 \cdot 2 = 6, וניתן להקיף.
שאלה 3·אלגברהבינונית
המספר nn מתחלק ב-55 ומשאיר שארית 33. מה השארית בחלוקת 3n3n ב-55?
  1. א.4התשובה הנכונה
  2. ב.9
  3. ג.3
  4. ד.0
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון מספר עם שארית ידועה בחלוקה ב-55, ומבקשים את השארית בחלוקת מכפלתו ב-33 באותו מחלק. בתשובות מספרים קטנים, ושארית בחלוקה ב-55 נעה בין 00 ל-44.

דרכי פתרון אפשריות

  • הצבת מספרים - מציבים במקום nn מספר נוח המתחלק ב-55 ומוסיפים לו את השארית, מכפילים ב-33 ומחשבים את שארית התוצאה. הדרך המהירה.
  • פתרון אלגברי - כותבים n=5k+3n = 5k + 3, מכפילים ב-33 ומבודדים את החלק שמתחלק ב-55. הדרך העקרונית.

הצבת מספרים:

נציב במקום nn מספר נוח המתחלק ב-55 ונוסיף את השארית 33: n=5+3=8n = 5 + 3 = 8. כעת נכפיל ב-33 ונחשב את השארית בחלוקה ב-55: 3n=3⋅8=24,24=5⋅4+4\displaystyle 3n = 3 \cdot 8 = 24, \qquad 24 = 5 \cdot 4 + 4 השארית היא 44, וניתן להקיף.

פתרון אלגברי:

נכתוב n=5k+3n = 5k + 3, ונכפיל ב-33: 3n=3(5k+3)=15k+9=5(3k)+9\displaystyle 3n = 3(5k + 3) = 15k + 9 = 5(3k) + 9 החלק 5(3k)5(3k) מתחלק ב-55 בלי שארית, ונשאר 99. אך 9=5+49 = 5 + 4, ולכן השארית היא 44 (שארית חייבת להיות קטנה מהמחלק). ניתן להקיף.
שאלה 4·אלגברהקשה
נתון ש-aa ו-bb הם מספרים שלמים, וידוע שהמכפלה a⋅ba \cdot b מתחלקת ב-1212. איזו מהטענות הבאות נכונה בהכרח?
  1. א.a + b מתחלק ב-12
  2. ב.a מתחלק ב-12
  3. ג.a וגם b זוגיים
  4. ד.a או b מתחלק ב-3התשובה הנכונה
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון שמכפלת שני מספרים שלמים מתחלקת ב-1212, ושואלים איזו מהטענות נכונה בהכרח. בתשובות טענות שונות לגבי aa, bb, או שניהם.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי - מאחר שמדובר בטענה הנכונה בהכרח, די בדוגמה נגדית אחת כדי לפסול טענה. עוברים תשובה-תשובה לפי הסדר: לכל טענה מנסים למצוא דוגמה שמפריכה אותה, ואת הטענה שאי אפשר להפריך מאשרים בעזרת פירוק 1212 לגורמים ראשוניים. הדרך הישירה.

פתרון אלגברי:

נעבור על הטענות לפי הסדר ונחפש לכל אחת דוגמה נגדית. נשתמש לאורך הדרך בדוגמה a=4a = 4, b=3b = 3, שבה a⋅b=12a \cdot b = 12 מתחלק ב-1212 כנדרש: תשובה (1), a+ba + b מתחלק ב-1212: בדוגמה a+b=7a + b = 7, שאינו מתחלק ב-1212. נפסל. תשובה (2), aa מתחלק ב-1212: בדוגמה a=4a = 4, שאינו מתחלק ב-1212. נפסל. תשובה (3), aa וגם bb זוגיים: בדוגמה b=3b = 3 אי-זוגי. נפסל. פסלנו את שלוש הראשונות, ולכן התשובה היא (4). למי שרוצה להבין מדוע (4) נכונה בהכרח: נפרק 12=22⋅312 = 2^2 \cdot 3, וכדי ש-a⋅ba \cdot b יתחלק ב-1212 המכפלה חייבת להכיל את הגורם הראשוני 33. מספר ראשוני שמחלק מכפלה חייב לחלק לפחות אחד מהגורמים, ולכן 33 מחלק את aa או את bb. ניתן להקיף.
שאלה 5·אלגברהקשה מאוד
בחלוקת המספרים 4444 ו-6868 במספר שלם חיובי מסוים מתקבלת בשני המקרים אותה שארית. מהו המספר הגדול ביותר שעבורו הדבר מתקיים?
  1. א.20
  2. ב.22
  3. ג.24התשובה הנכונה
  4. ד.112
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים שני מספרים המותירים אותה שארית בחלוקה במספר מסוים, ומבקשים את המחלק הגדול ביותר האפשרי. בתשובות מספרים קונקרטיים. לכן זו בעיית חלוקה.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון עקרוני - מכיוון שמבקשים את המספר הגדול ביותר, עוברים על המועמדים מהגדול לקטן, ולכל אחד בודקים אם 4444 ו-6868 מותירים בחלוקה בו אותה שארית.

פתרון עקרוני:

מכיוון שמבקשים את המספר הגדול ביותר, נעבור על התשובות מהגדולה לקטנה ונבדוק לכל אחת אם 4444 ו-6868 מותירים בחלוקה בה אותה שארית: תשובה (4), 112112: החלוקה נותנת 44=112⋅0+4444 = 112 \cdot 0 + 44 (שארית 4444) ו-68=112⋅0+6868 = 112 \cdot 0 + 68 (שארית 6868). השאריות שונות. נפסלת. תשובה (3), 2424: החלוקה נותנת 44=24⋅1+2044 = 24 \cdot 1 + 20 (שארית 2020) ו-68=24⋅2+2068 = 24 \cdot 2 + 20 (שארית 2020). השאריות שוות, וזהו המספר הגדול ביותר המקיים זאת (המועמד היחיד הגדול ממנו, 112112, כבר נפסל). זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 6·אלגברהקלה מאוד
מהו המספר השלם הגדול ביותר המחלק את 2424 ואת 3636 ללא שארית?
  1. א.6
  2. ב.8
  3. ג.12התשובה הנכונה
  4. ד.72
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

מבקשים את המספר השלם הגדול ביותר המחלק שני מספרים נתונים בו-זמנית. אין נעלמים, ובתשובות מספרים קונקרטיים. לכן זו בעיית חלוקה.

דרכי פתרון אפשריות

  • הצבת תשובות - בודקים כל אחת מהתשובות המוצעות כמועמדת למחלק המשותף: האם היא מחלקת את 2424 וגם את 3636, ובוחרים את הגדולה מבין המקיימות. דרך פסיכומטרית ישירה כשהמועמדים הם התשובות עצמן.
  • פירוט שיטתי - רושמים את מחלקי כל אחד משני המספרים ומאתרים את הגדול המשותף לשתי הרשימות. הדרך הוודאית והנוחה למספרים קטנים.
  • פתרון עקרוני - מפרקים כל מספר לגורמים ראשוניים; המחלק המשותף הגדול ביותר מורכב מהחזקה הנמוכה ביותר של כל גורם ראשוני המשותף לשניהם. שימושי כשהמספרים גדולים מכדי לפרט את מחלקיהם.

הצבת תשובות:

מכיוון שמבקשים את המחלק הגדול ביותר, נעבור על המועמדים מהגדול לקטן, ולכל אחד נבדוק אם הוא מחלק את 2424 וגם את 3636: תשובה (4), 7272: גדולה מ-2424, ולכן אינה מחלקת אותו כלל. נפסלת. תשובה (3), 1212: מחלקת את 2424 (24=12⋅224 = 12 \cdot 2) וגם את 3636 (36=12⋅336 = 12 \cdot 3), ולכן היא מחלק משותף. מכיוון שהיא גדולה מיתר המועמדים שנותרו (88 ו-66), זהו המחלק המשותף הגדול ביותר. זו התשובה, וניתן להקיף.

פירוט שיטתי:

נרשום את מחלקי כל אחד מהמספרים ונאתר את המשותפים להם: מחלקי 2424 הם 1,2,3,4,6,8,12,241, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. מחלקי 3636 הם 1,2,3,4,6,9,12,18,361, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. המחלקים המשותפים הם 1,2,3,4,6,121, 2, 3, 4, 6, 12, והגדול שבהם הוא 1212. זו התשובה, וניתן להקיף.

פתרון עקרוני:

נפרק כל מספר לגורמים ראשוניים: 24=23⋅3,36=22⋅32\displaystyle 24 = 2^3 \cdot 3, \qquad 36 = 2^2 \cdot 3^2 המחלק המשותף הגדול ביותר מורכב מהחזקה הנמוכה ביותר של כל גורם ראשוני המשותף לשניהם. הגורם 22 מופיע ב-2424 בחזקה שלישית וב-3636 בחזקה שנייה, ולכן ניקח 222^2; הגורם 33 מופיע ב-2424 בחזקה ראשונה וב-3636 בחזקה שנייה, ולכן ניקח 313^1. לכן המחלק המשותף הגדול ביותר הוא 22⋅3=122^2 \cdot 3 = 12. זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 7·אלגברהקלה
איזה מהמספרים הבאים מתחלק ב-99?
  1. א.189התשובה הנכונה
  2. ב.246
  3. ג.415
  4. ד.730
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

מבקשים איזה מבין ארבעה מספרים נתונים מתחלק ב-99. בתשובות מספרים קונקרטיים. לכן זו בעיית חלוקה.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון עקרוני - נשענים על הכלל שמספר מתחלק ב-99 אם ורק אם סכום ספרותיו מתחלק ב-99; מחשבים לכל אחד מהמספרים את סכום ספרותיו ומאתרים את זה שסכומו כפולה של 99.

פתרון עקרוני:

נעבור על התשובות ונחשב לכל אחת את סכום ספרותיה, הקובע את החלוקה ב-99: תשובה (1), 189189: סכום הספרות 1+8+9=181 + 8 + 9 = 18, המתחלק ב-99. המספר מתחלק ב-99. תשובה (2), 246246: סכום הספרות 2+4+6=122 + 4 + 6 = 12, שאינו מתחלק ב-99 (מתחלק ב-33 בלבד). נפסל. תשובה (3), 415415: סכום הספרות 4+1+5=104 + 1 + 5 = 10, שאינו מתחלק ב-99. נפסל. תשובה (4), 730730: סכום הספרות 7+3+0=107 + 3 + 0 = 10, שאינו מתחלק ב-99. נפסל. רק תשובה (1) מקיימת את התנאי, וניתן להקיף.
שאלה 8·אלגברהבינונית
מכפלת שלושה מספרים שלמים חיוביים עוקבים מתחלקת בהכרח באיזה מהמספרים הבאים?
  1. א.6התשובה הנכונה
  2. ב.8
  3. ג.9
  4. ד.12
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונה מכפלת שלושה מספרים שלמים חיוביים עוקבים, ומבקשים באיזה מספר היא מתחלקת בהכרח. בתשובות מספרים קונקרטיים. לכן זו בעיית חלוקה.

דרכי פתרון אפשריות

  • הצבת מספרים - מציבים שלשה עוקבת נוחה, מחשבים את מכפלתה ובודקים אותה מול ארבע התשובות בבת אחת. דרך פסיכומטרית ישירה לשאלת "בהכרח"; השלשה הקטנה ביותר נותנת את המכפלה הקטנה ביותר ופוסלת בבת אחת כל מספר גדול ממנה.
  • פתרון עקרוני - בוחנים אילו גורמים ראשוניים מובטחים במכפלת שלושה מספרים עוקבים, ומהם נגזר המספר המחלק בהכרח. הדרך המאשרת מדוע התשובה נכונה.

הצבת מספרים:

נבחר את השלשה הקטנה ביותר, 1,2,31, 2, 3, ונחשב את מכפלתה: 1⋅2⋅3=6\displaystyle 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6 נבדוק את המכפלה מול ארבע התשובות: תשובה (1), 66: 66 מתחלק ב-66. נשארת. תשובה (2), 88: 66 אינו מתחלק ב-88. נפסלת. תשובה (3), 99: 66 אינו מתחלק ב-99. נפסלת. תשובה (4), 1212: 66 אינו מתחלק ב-1212. נפסלת. הצבה אחת פסלה שלוש טענות: מאחר שהמכפלה יכולה להיות קטנה כמו 66, אף מספר גדול מ-66 אינו יכול לחלק אותה בהכרח. נשארה תשובה (1), וניתן להקיף.

פתרון עקרוני:

מבין שלושה מספרים עוקבים, לפחות אחד זוגי, ולכן המכפלה מכילה את הגורם 22; ובדיוק אחד מהם מתחלק ב-33, ולכן המכפלה מכילה גם את הגורם 33. לכן המכפלה מתחלקת תמיד ב-2⋅3=62 \cdot 3 = 6, ללא תלות בשלשה שנבחרה. זו התשובה, וניתן להקיף.

כל השאלות, התשובות וההסברים נכתבו ונבדקו על ידי צוות מומחים שחי ונושם פסיכומטרי ואמירנט. כל פריט עובר בקרת איכות לפני שהוא מתפרסם ומתעדכן באופן שוטף, כדי שהתרגול ישקף את רמת הקושי, הסגנון וההיגיון של המבחן האמיתי.

שיא

© 2026 · שיא. סימולטור פסיכומטרי ואמירנט