שיא
התחבר לחשבון

תרגול משוואות לפסיכומטרי

במשוואות בפסיכומטרי כמעט תמיד יש שתי דרכים: לפתור אלגברית, או להציב את התשובות ולראות מה מתאים. כשהמספרים בתשובות קטנים, ההצבה מהירה יותר.

8 שאלות עם פתרון מלא

שאלות מתוך התרגול עצמו. נסה לפתור לבד, ורק אז פתח את הפתרון.

שאלה 1·אלגברהקלה מאוד
נתון: x3+x6=5\dfrac{x}{3} + \dfrac{x}{6} = 5. מה ערכו של xx?
  1. א.10התשובה הנכונה
  2. ב.15
  3. ג.18
  4. ד.30
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונה משוואה אחת בנעלם יחיד, שבה הנעלם מופיע בשני מונים מעל מכנים שונים. מבקשים את ערכו של הנעלם, ובתשובות מספרים שלמים קטנים (1010 עד 3030). לכן זו בעיית משוואות.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי - ניקוי המכנים על ידי כפל שני האגפים במכנה המשותף, ואז בידוד הנעלם. זו הדרך הישירה כאן.
  • הצבת תשובות - הערכים בתשובות נמוכים ועגולים, ולכן אפשר להציב כל ערך מוצע ולבדוק אילו מהם מקיים את המשוואה.

הצבת תשובות:

נתחיל מערך אמצעי נוח, x=18x = 18. נציב במשוואה: 183+186=6+3=9\displaystyle \dfrac{18}{3} + \dfrac{18}{6} = 6 + 3 = 9 התקבל 99, גדול מהיעד 55, ולכן הערך המבוקש קטן יותר. נבדוק את x=10x = 10: 103+106=206+106=306=5\displaystyle \dfrac{10}{3} + \dfrac{10}{6} = \dfrac{20}{6} + \dfrac{10}{6} = \dfrac{30}{6} = 5 שני האגפים שווים, וזו התשובה, וניתן להקיף.

פתרון אלגברי:

נכפול את שני האגפים במכנה המשותף 66: 2x+x=30\displaystyle 2x + x = 30 נכנס איברים דומים: 3x=30\displaystyle 3x = 30 נחלק את שני האגפים ב-33: x=10\displaystyle x = 10 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 2·אלגברהקלה
נתון: 2x+y=112x + y = 11 וגם y=x−1y = x - 1. מה ערכו של xx?
  1. א.3
  2. ב.4התשובה הנכונה
  3. ג.5
  4. ד.6
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

זוהי מערכת של שתי משוואות בשני נעלמים, שבה הנעלם yy כבר מבודד במשוואה השנייה. מבקשים את ערכו של xx, ובתשובות מספרים שלמים קטנים (3 עד 6).

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי - מכיוון שמבקשים את xx, נציב את הביטוי ל-yy שכבר מבודד, וכך נישאר עם משוואה ב-xx בלבד. זו הדרך הנוחה כאן.
  • הצבת תשובות - הערכים בתשובות נמוכים, ולכן אפשר להציב כל ערך מוצע ל-xx ולבדוק שהמשוואה הראשונה מתקיימת.

פתרון אלגברי:

מכיוון שמבקשים את xx, נציב את y=x−1y = x - 1 במשוואה הראשונה, וכך נישאר עם xx בלבד: 2x+(x−1)=11\displaystyle 2x + (x - 1) = 11 נכנס איברים דומים: 3x−1=11\displaystyle 3x - 1 = 11 נבודד את xx בפעולות הפוכות - נוסיף 11 לשני האגפים ואז נחלק ב-33: 3x=12⇒x=4\displaystyle 3x = 12 \quad\Rightarrow\quad x = 4 זו התשובה, וניתן להקיף.

הצבת תשובות:

נתחיל מערך אמצעי נוח, x=4x = 4. מהמשוואה השנייה y=4−1=3y = 4 - 1 = 3, ובמשוואה הראשונה 2⋅4+3=112 \cdot 4 + 3 = 11. שני האגפים שווים, ולכן זו התשובה וניתן להקיף.
שאלה 3·אלגברהבינונית
נתון: (a−b)(a+b)+9=a2(a - b)(a + b) + 9 = a^2. איזו מהטענות הבאות לגבי bb נכונה בהכרח?
  1. א.b = 3
  2. ב.b > 0
  3. ג.b יכול להיות כל מספר
  4. ד.|b| = 3התשובה הנכונה
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

זוהי משוואה אחת עם שני נעלמים, שבה ניתן לזהות בצד שמאל נוסחת כפל מקוצר. מבקשים מה נכון בהכרח לגבי bb, ובתשובות יש טענות על bb ביחס למספר 33 - ערכו, סימנו, וערכו המוחלט.

דרכי פתרון אפשריות

  • מבקשים מה נכון בהכרח, ואין בתשובות מספרים להציב. לכן, לפחות בשלב הראשון, לא נוכל להשתמש בדרכי פתרון פסיכומטריות, ונפנה לפתרון אלגברי של פישוט המשוואה: נפתח את הסוגריים לפי נוסחאות הכפל המקוצר.

פתרון אלגברי:

נפתח את הסוגריים לפי נוסחת הכפל המקוצר (a−b)(a+b)=a2−b2(a - b)(a + b) = a^2 - b^2: a2−b2+9=a2\displaystyle a^2 - b^2 + 9 = a^2 נחסר a2a^2 משני האגפים, וה-aa נעלם: −b2+9=0⇒b2=9\displaystyle -b^2 + 9 = 0 \quad\Rightarrow\quad b^2 = 9 מכאן b=3b = 3 או b=−3b = -3, כלומר ∣b∣=3|b| = 3. גזרנו בעצמנו ש-∣b∣=3|b| = 3, ונחפש את התשובה התואמת: זו תשובה (4). ניתן להקיף.
שאלה 4·אלגברהקשה
נתון: x+1x=4x + \dfrac{1}{x} = 4. מה ערכו של x2+1x2x^2 + \dfrac{1}{x^2}? תחום ההגדרה: x≠0x \neq 0.
  1. א.8
  2. ב.12
  3. ג.14התשובה הנכונה
  4. ד.16
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון לנו ערכו של הביטוי x+1xx + \tfrac{1}{x}, ומבקשים את ערכו של הביטוי x2+1x2x^2 + \tfrac{1}{x^2}. בתשובות מספרים שלמים קטנים, וניתן לזהות שהביטוי המבוקש קשור לנתון דרך העלאה בריבוע.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי - נעלה את הנתון בריבוע. ההעלאה בריבוע יוצרת בדיוק את האיברים x2x^2 ו-1x2\tfrac{1}{x^2} המבוקשים, בתוספת איבר אמצעי קבוע. זו הדרך הישירה, ואין צורך למצוא את xx עצמו.
  • (אין כאן דרך פסיכומטרית נוחה: הערך xx שמקיים את הנתון אינו שלם, ולכן הצבת מספרים או הצבת תשובות אינן מעשיות.)

פתרון אלגברי:

נעלה את שני האגפים של הנתון בריבוע: (x+1x)2=42\displaystyle \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = 4^2 נפתח את הריבוע לפי נוסחת הכפל המקוצר: x2+2⋅x⋅1x+1x2=16\displaystyle x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 16 האיבר האמצעי מצטמצם ל-22 (שכן x⋅1x=1x \cdot \tfrac{1}{x} = 1): x2+2+1x2=16\displaystyle x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 16 נחסר 22 משני האגפים, ונקבל בדיוק את הביטוי המבוקש: x2+1x2=14\displaystyle x^2 + \frac{1}{x^2} = 14 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 5·אלגברהקשה מאוד
נתון: x+y=5x + y = 5 ו-x3+y3=35x^3 + y^3 = 35. מה ערכו של xyxy?
  1. א.6התשובה הנכונה
  2. ב.18
  3. ג.25
  4. ד.30
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונות שתי משוואות סימטריות ב-xx וב-yy, האחת על הסכום והאחרת על סכום החזקות השלישיות, ומבקשים את המכפלה. לכן זו בעיית משוואות. בתשובות ארבעה מספרים שלמים מרווחים, מ-66 ועד 3030.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי - פתירת המערכת עצמה מובילה למשוואה ריבועית מכוערת, ואין בה צורך: הזהות (x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)(x+y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x+y) קושרת בדיוק את שלושת הגדלים שמופיעים בשאלה, שניים מהם נתונים והשלישי הוא המבוקש. מציבים ומבודדים.

פתרון אלגברי:

נפתח את הזהות של סכום בחזקה שלישית: (x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3\displaystyle (x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 נוציא גורם משותף משני האיברים האמצעיים: (x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)\displaystyle (x+y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x+y) הזהות הזאת קושרת שלושה גדלים בלבד: הסכום, סכום החזקות השלישיות, והמכפלה. שניים מהם נתונים. נציב x+y=5x + y = 5 ו-x3+y3=35x^3 + y^3 = 35: 53=35+3xy⋅5\displaystyle 5^3 = 35 + 3xy \cdot 5 125=35+15xy\displaystyle 125 = 35 + 15xy נחסר 3535 משני האגפים: 15xy=90\displaystyle 15xy = 90 xy=6\displaystyle xy = 6 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 6·אלגברהקלה מאוד
נתון: 3(x+2)=x+143(x + 2) = x + 14. מה ערכו של xx?
  1. א.4התשובה הנכונה
  2. ב.6
  3. ג.8
  4. ד.10
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונה משוואה אחת עם נעלם אחד, שבצדה השמאלי סוגריים, ומבקשים את ערכו של הנעלם. לכן זו בעיית משוואות. בתשובות מספרים שלמים קטנים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי - פותחים את הסוגריים ומבודדים את הנעלם בפעולות הפוכות. זו הדרך הישירה כאן, שכן המשוואה פשוטה לבידוד.
  • הצבת תשובות - הערכים בתשובות נמוכים, ולכן אפשר להציב כל ערך מוצע ולבדוק שהמשוואה מתקיימת.

פתרון אלגברי:

נפתח את הסוגריים בצד שמאל (3⋅x+3⋅23 \cdot x + 3 \cdot 2): 3x+6=x+14\displaystyle 3x + 6 = x + 14 נעביר את xx שמאלה ואת 66 ימינה, בסימן הפוך: 3x−x=14−6\displaystyle 3x - x = 14 - 6 נכנס איברים דומים: 2x=8\displaystyle 2x = 8 נחלק את שני האגפים ב-22: x=4\displaystyle x = 4 זו התשובה, וניתן להקיף.

הצבת תשובות:

נציב מועמד בשני אגפי המשוואה ונבדוק אם הם שווים. נתחיל מערך אמצעי נוח, x=6x = 6 - צד שמאל 3(6+2)=243(6 + 2) = 24, וצד ימין 6+14=206 + 14 = 20. הצד השמאלי גדול מהימני. הצד השמאלי גדל מהר יותר עם xx, ולכן הערך המבוקש קטן יותר, ונבדוק את x=4x = 4 - צד שמאל 3(4+2)=183(4 + 2) = 18, וצד ימין 4+14=184 + 14 = 18. שני האגפים שווים, וזו התשובה. ניתן להקיף.
שאלה 7·אלגברהקלה
נתון: 5x+2y=245x + 2y = 24 וגם 3x+4y=203x + 4y = 20. מה ערכו של xx?
  1. א.4התשובה הנכונה
  2. ב.5
  3. ג.6
  4. ד.8
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

זוהי מערכת של שתי משוואות בשני נעלמים, שבה אף נעלם אינו מבודד. לכן זו בעיית משוואות. מבקשים את ערכו של xx, ובתשובות מספרים שלמים קטנים (4 עד 8).

דרכי פתרון אפשריות

  • הצבת תשובות - הערכים בתשובות נמוכים, ולכן אפשר להציב כל ערך מוצע ל-xx, לחלץ ממנו את yy במשוואה אחת, ולוודא שהמשוואה השנייה מתקיימת גם היא. דרך פסיכומטרית נוחה כאן, שכן היא חוסכת את שלב-השכפול שמצריך הפתרון האלגברי.
  • פתרון אלגברי - מכיוון שמבקשים את xx, נבטל את yy: מקדמי ה-yy הם 22 ו-44, ולכן נכפיל את המשוואה הראשונה ב-22 כדי להשוות אותם, ואז נחסר בין המשוואות.

הצבת תשובות:

נציב מועמד ל-xx, נחלץ ממנו את yy מהמשוואה הראשונה, ונבדוק אם המשוואה השנייה מתקיימת. נתחיל מערך אמצעי נוח, x=6x = 6; מהמשוואה הראשונה 5⋅6+2y=245 \cdot 6 + 2y = 24, כלומר 2y=−62y = -6 ו-y=−3y = -3. נבדוק במשוואה השנייה - 3⋅6+4⋅(−3)=18−12=63 \cdot 6 + 4 \cdot (-3) = 18 - 12 = 6, קטן מהיעד 2020. ככל ש-xx קטֵן, ערך המשוואה השנייה גדל, ולכן נבדוק ערך קטן יותר, x=4x = 4; מ-5⋅4+2y=245 \cdot 4 + 2y = 24 נקבל y=2y = 2, ובמשוואה השנייה: 3⋅4+4⋅2=12+8=20\displaystyle 3 \cdot 4 + 4 \cdot 2 = 12 + 8 = 20 התקבל בדיוק 2020 כנדרש, ולכן זו התשובה. ניתן להקיף.

פתרון אלגברי:

מקדמי ה-yy הם 22 במשוואה הראשונה ו-44 בשנייה. נכפיל את המשוואה הראשונה ב-22 כדי שמקדם ה-yy יהיה 44 בשתיהן: 10x+4y=48\displaystyle 10x + 4y = 48 3x+4y=20\displaystyle 3x + 4y = 20 נחסר את המשוואה השנייה מן הראשונה, וה-yy מתבטל: 7x=28⇒x=4\displaystyle 7x = 28 \quad\Rightarrow\quad x = 4 אותה תשובה.
שאלה 8·אלגברהבינונית
הממוצע של שני מספרים aa ו-bb הוא 99, וההפרש ביניהם הוא 44. מהו הפרש הריבועים a2−b2a^2 - b^2?
  1. א.18
  2. ב.36
  3. ג.72התשובה הנכונה
  4. ד.144
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים שני משפטים על שני נעלמים, aa ו-bb, ומבקשים את ערכו של ביטוי המכיל את שניהם, a2−b2a^2 - b^2. לכן זו בעיית משוואות המשולבת בביטויים אלגבריים. בתשובות ערכים מספריים.

דרכי פתרון אפשריות

  • בתשובות ערכים מספריים (לא ביטויים), ולכן הצבת מספרים אינה רלוונטית. לא שואלים על ערכו של נעלם מסוים אלא על ביטוי, ולכן הצבת תשובות אינה אפשרית. נותרה הדרך האלגברית: הביטוי המבוקש הוא הפרש ריבועים, a2−b2a^2 - b^2, וזה רמז לנוסחת הכפל המקוצר a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b); לפיה די לבנות משני המשפטים את הסכום a+ba+b ואת ההפרש a−ba-b ולכפול אותם, בלי לפתור כלל את הנעלמים בנפרד.
נתרגם כל משפט למשוואה. הממוצע הוא 99: a+b2=9\displaystyle \frac{a+b}{2} = 9 נכפול את שני האגפים ב-22 ונקבל a+b=18a + b = 18. ההפרש הוא 44: a−b=4\displaystyle a - b = 4 נציב את שני הגורמים בנוסחת הכפל המקוצר: a2−b2=(a+b)(a−b)=18⋅4=72\displaystyle a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) = 18 \cdot 4 = 72

כל השאלות, התשובות וההסברים נכתבו ונבדקו על ידי צוות מומחים שחי ונושם פסיכומטרי ואמירנט. כל פריט עובר בקרת איכות לפני שהוא מתפרסם ומתעדכן באופן שוטף, כדי שהתרגול ישקף את רמת הקושי, הסגנון וההיגיון של המבחן האמיתי.

שיא

© 2026 · שיא. סימולטור פסיכומטרי ואמירנט