שיא
כניסה

תרגול משוואות לפסיכומטרי

במשוואות בפסיכומטרי כמעט תמיד יש שתי דרכים: לפתור אלגברית, או להציב את התשובות ולראות מה מתאים. כשהמספרים בתשובות קטנים, ההצבה מהירה יותר.

8 שאלות עם פתרון מלא

שאלות מתוך התרגול עצמו. נסה לפתור לבד, ורק אז פתח את הפתרון.

שאלה 1·אלגברהקלה מאוד
בארנקו של דני יש מטבעות של חמישה שקלים ומטבעות של שני שקלים בלבד, ובסך הכול 17 מטבעות. הערך הכולל של המטבעות הוא 61 שקלים. כמה מטבעות של חמישה שקלים יש בארנק?
  1. א.7
  2. ב.8
  3. ג.9התשובה הנכונה
  4. ד.10
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים שני סוגי מטבעות, מספרם הכולל והערך הכולל שלהם, ומבקשים את מספרם של אחד הסוגים. שני התנאים על שני נעלמים מרמזים על בניית מערכת של שתי משוואות, ולכן זו בעיית משוואות. בתשובות מספרים שלמים קטנים, ולכן אפשר גם להציב כל תשובה ולבדוק.

דרכי פתרון אפשריות

  • הצבת תשובות - הערכים בתשובות נמוכים וקרובים, ולכן נציב כל מספר מוצע של מטבעות חמישה-שקלים, נשלים ממנו את מספר מטבעות השני-שקלים לפי סך המטבעות, ונבדוק אם הערך הכולל יוצא 6161.
  • פתרון אלגברי - נבנה שתי משוואות משני התנאים (סך המטבעות וסך הערך) ונפתור לביטול נעלם.

הצבת תשובות:

נתחיל מתשובה (3), 99 מטבעות של חמישה שקלים. סך המטבעות 1717, ולכן מטבעות השני-שקלים הם 17−9=817 - 9 = 8. נחשב את הערך הכולל: 9⋅5+8⋅2=45+16=61\displaystyle 9 \cdot 5 + 8 \cdot 2 = 45 + 16 = 61 התקבל בדיוק 6161 שקלים כנדרש, וזו התשובה. ניתן להקיף.

פתרון אלגברי:

נסמן ב-xx את מספר מטבעות החמישה-שקלים וב-yy את מספר מטבעות השני-שקלים. סך המטבעות 1717 וסך הערך 6161: x+y=17\displaystyle x + y = 17 5x+2y=61\displaystyle 5x + 2y = 61 נבודד מהמשוואה הראשונה y=17−xy = 17 - x ונציב בשנייה: 5x+2(17−x)=61\displaystyle 5x + 2(17 - x) = 61 נפתח סוגריים ונכנס איברים: 5x+34−2x=61\displaystyle 5x + 34 - 2x = 61 3x=27⇒x=9\displaystyle 3x = 27 \quad\Rightarrow\quad x = 9 יש 99 מטבעות של חמישה שקלים. אותה תשובה.
שאלה 2·אלגברהקלה
נתון: 5x+2y=245x + 2y = 24 וגם 3x+4y=203x + 4y = 20. מה ערכו של xx?
  1. א.4התשובה הנכונה
  2. ב.5
  3. ג.6
  4. ד.8
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

זוהי מערכת של שתי משוואות בשני נעלמים, שבה אף נעלם אינו מבודד. מבקשים את ערכו של xx, ובתשובות מספרים שלמים קטנים (4 עד 8).

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי (ביטול) - מכיוון שמבקשים את xx, נבטל את yy: מקדמי ה-yy הם 22 ו-44, ולכן נכפיל את המשוואה הראשונה ב-22 כדי להשוות אותם, ואז נחסר בין המשוואות. זו הדרך הישירה כאן.
  • הצבת תשובות - הערכים בתשובות נמוכים, ולכן אפשר להציב כל ערך מוצע ל-xx, לחלץ ממנו את yy במשוואה אחת, ולוודא שהמשוואה השנייה מתקיימת גם היא.

פתרון אלגברי:

מקדמי ה-yy הם 22 במשוואה הראשונה ו-44 בשנייה. נכפיל את המשוואה הראשונה ב-22 כדי שמקדם ה-yy יהיה 44 בשתיהן: 10x+4y=48\displaystyle 10x + 4y = 48 3x+4y=20\displaystyle 3x + 4y = 20 נחסר את המשוואה השנייה מן הראשונה, וה-yy מתבטל: 7x=28⇒x=4\displaystyle 7x = 28 \quad\Rightarrow\quad x = 4 זו התשובה, וניתן להקיף.

הצבת תשובות:

נתחיל מתשובה (1), x=4x = 4. נציב במשוואה הראשונה ונחלץ את yy: מ-5⋅4+2y=245 \cdot 4 + 2y = 24 נקבל 2y=42y = 4, כלומר y=2y = 2. נציב את שני הערכים במשוואה השנייה לבדיקה: 3⋅4+4⋅2=12+8=20\displaystyle 3 \cdot 4 + 4 \cdot 2 = 12 + 8 = 20 התקבל בדיוק 2020 כנדרש, ולכן זו התשובה. ניתן להקיף.
שאלה 3·אלגברהבינונית
נתון: x+y=8x + y = 8 וגם x⋅y=7x \cdot y = 7. מה ערכו של הביטוי x2+y2x^2 + y^2?
  1. א.15
  2. ב.36
  3. ג.50התשובה הנכונה
  4. ד.64
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים סכום שני נעלמים ומכפלתם, ומבקשים את ערכו של הביטוי x2+y2x^2 + y^2. מבקשים ערך של ביטוי (ולא של נעלם בודד), והצירוף של סכום, מכפלה וסכום-ריבועים מרמז על זהות ריבוע-הסכום. לכן זו בעיית משוואות משולבת בביטויים. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי (זהות ריבוע-הסכום) - הזהות (x+y)2=x2+y2+2xy(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy קושרת בין שלושת הגדלים: סכום, מכפלה וסכום-ריבועים. מכיוון שהסכום והמכפלה נתונים, נבודד מהזהות את הביטוי המבוקש בלי לפתור כלל את הנעלמים בנפרד. זו הדרך הישירה כאן.

פתרון אלגברי (זהות ריבוע-הסכום):

נפתח את ריבוע הסכום לפי נוסחת הכפל המקוצר: (x+y)2=x2+2xy+y2\displaystyle (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 נבודד מכאן את הביטוי המבוקש, על ידי חיסור 2xy2xy משני האגפים: x2+y2=(x+y)2−2xy\displaystyle x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy נציב את הנתונים x+y=8x + y = 8 ו-xy=7xy = 7: x2+y2=82−2⋅7=64−14=50\displaystyle x^2 + y^2 = 8^2 - 2 \cdot 7 = 64 - 14 = 50 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 4·גאומטריה · אלגברהקשה
במעגל, זווית מרכזית וזווית היקפית נשענות על אותה קשת ABAB. ידוע שהזווית המרכזית גדולה מהזווית ההיקפית ב-40°. מה גודל הזווית המרכזית?
  1. א.20°
  2. ב.40°
  3. ג.80°התשובה הנכונה
  4. ד.120°
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

זווית מרכזית וזווית היקפית נשענות על אותה קשת ABAB, נתון ההפרש ביניהן, ומבוקשת הזווית המרכזית. יחס מרכזית-היקפית הוא פי `2`, והנתון הוא ההפרש, ולכן זו בעיית מעגלים המשולבת במשוואה. בתשובות ערכי-זווית, ולכן הצבת-תשובות מעשית.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי - מסמנים את ההיקפית ומבטאים את המרכזית כפעמיים ההיקפית; ההפרש נותן משוואה פשוטה.
  • הצבת תשובות - כל תשובה היא מרכזית מוצעת; ההיקפית המתאימה היא מחציתה, ובודקים אם ההפרש הוא `40°`.

פתרון אלגברי:

נסמן ב-xx את הזווית ההיקפית, ואז הזווית המרכזית היא 2x2x (פי-`2` על אותה קשת). ההפרש נתון: 2x−x=40⇒x=40\displaystyle 2x - x = 40 \quad\Rightarrow\quad x = 40 ההיקפית היא `40°`, ולכן הזווית המרכזית: 2x=2⋅40=80∘\displaystyle 2x = 2 \cdot 40 = 80^\circ בשרטוט-הפתרון מודגשים הזווית ההיקפית ACB=40∘ACB = 40^\circ והזווית המרכזית המבוקשת AOB=80∘AOB = 80^\circ באדום (פי-`2` על אותה קשת, ההפרש ביניהן `40°`):
A B C 80° 40° O
זו התשובה, וניתן להקיף.

הצבת תשובות:

כל תשובה מציעה זווית מרכזית; ההיקפית היא מחציתה, וההפרש ביניהן צריך להיות `40°`. נבחן את תשובה (3), מרכזית `80°`: ההיקפית היא 802=40∘\dfrac{80}{2} = 40^\circ, וההפרש 80−40=40∘80 - 40 = 40^\circ, בדיוק כנדרש. זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 5·אלגברה · בעיות מילוליותקשה מאוד
רוכב אופניים יצא מנקודה מסוימת ונסע במהירות קבועה של 40 קמ"ש. כעבור שעה יצאה אחריו, מאותה נקודה ובאותו מסלול, מכונית במהירות קבועה של 60 קמ"ש. כמה קילומטרים תעבור המכונית עד שתשיג את רוכב האופניים?
  1. א.80
  2. ב.100
  3. ג.120התשובה הנכונה
  4. ד.150
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונות שתי מהירויות של שני גופים הנעים באותו כיוון מאותה נקודה, ופער-זמן ביציאתם, ושואלים את המרחק שעובר הגוף המהיר עד שהוא משיג את האיטי. הפתרון משלב את נוסחת התנועה (מהירות ×\times זמן == דרך) עם ניסוח משוואת-רדיפה, ולכן זו בעיית משוואות משולבת בתנועה. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

  • טבלת מהירות-זמן-דרך עם מהירות הפער - הדרך הקנונית לבעיית רדיפה: שני הגופים נעים באותו כיוון, ולכן הפער ביניהם נסגר במהירות שהיא הפרש המהירויות. נחשב תחילה את הפער שנפתח בשעת ההשהיה, נמצא בכמה זמן הוא נסגר, ומכאן את המרחק שעברה המכונית.
  • פתרון אלגברי - נבטא את המרחק שעובר כל גוף עד רגע ההשגה ונשווה, שכן ברגע ההשגה שניהם באותו מרחק מנקודת היציאה.

טבלת מהירות-זמן-דרך עם מהירות הפער:

ראשית נחשב כמה התרחק רוכב האופניים בשעה שלפני שהמכונית יצאה. לפי נוסחת התנועה, בזמן ההשהיה הוא עבר 40×1=4040 \times 1 = 40 ק"מ. זהו הפער ההתחלתי שעל המכונית לסגור. שני הגופים נעים באותו כיוון, ולכן הפער ביניהם נסגר במהירות שהיא הפרש המהירויות: 60−40=20\displaystyle 60 - 40 = 20 כלומר הפער נסגר בקצב של 2020 קמ"ש. נסרטט טבלה שבה הגוף הנע הוא "הפער", המהירות שבה הוא נסגר היא 2020 קמ"ש, והדרך שעליו לעבור עד הסגירה היא 4040 ק"מ. נבודד מנוסחת התנועה את הזמן (זמן == דרך חלקי מהירות):
מהירות (קמ"ש)זמן (שעות)דרך (ק"מ)
סגירת הפער20?40
4020=2\displaystyle \frac{40}{20} = 2 המכונית סוגרת את הפער כעבור 22 שעות מיציאתה. נמצא את המרחק שעברה המכונית באותן 22 שעות (במהירותה שלה, 6060 קמ"ש): 60×2=120\displaystyle 60 \times 2 = 120 המכונית עברה 120120 ק"מ עד שהשיגה את רוכב האופניים. זו התשובה, וניתן להקיף.

פתרון אלגברי:

נסמן ב-tt את מספר השעות שחלפו מרגע יציאת המכונית ועד ההשגה. עד אותו רגע נסע רוכב האופניים t+1t + 1 שעות (שעה נוספת שיצא מוקדם יותר), והמכונית נסעה tt שעות. ברגע ההשגה שניהם נמצאים באותו מרחק מנקודת היציאה: 40(t+1)=60t\displaystyle 40(t + 1) = 60t נפתח את הסוגריים ונבודד: 40t+40=60t\displaystyle 40t + 40 = 60t 40=20t⇒t=2\displaystyle 40 = 20t \quad\Rightarrow\quad t = 2 מרחק ההשגה הוא הדרך שעברה המכונית: 60×2=120\displaystyle 60 \times 2 = 120 אותה תשובה.
שאלה 6·אלגברהקלה מאוד
נתון: 3(x+2)=x+143(x + 2) = x + 14. מה ערכו של xx?
  1. א.4התשובה הנכונה
  2. ב.6
  3. ג.8
  4. ד.10
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונה משוואה אחת עם נעלם אחד, שבצדה השמאלי סוגריים, ומבקשים את ערכו של הנעלם. לכן זו בעיית משוואות. בתשובות מספרים שלמים קטנים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פישוט אלגברי - פותחים את הסוגריים ומבודדים את הנעלם בפעולות הפוכות. זו הדרך הישירה כאן, שכן המשוואה פשוטה לבידוד.
  • הצבת תשובות - הערכים בתשובות נמוכים, ולכן אפשר להציב כל ערך מוצע ולבדוק שהמשוואה מתקיימת.

פתרון אלגברי:

נפתח את הסוגריים בצד שמאל (3⋅x+3⋅23 \cdot x + 3 \cdot 2): 3x+6=x+14\displaystyle 3x + 6 = x + 14 נעביר את xx שמאלה ואת 66 ימינה, בסימן הפוך: 3x−x=14−6\displaystyle 3x - x = 14 - 6 נכנס איברים דומים: 2x=8\displaystyle 2x = 8 נחלק את שני האגפים ב-22: x=4\displaystyle x = 4 זו התשובה, וניתן להקיף.

הצבת תשובות:

נתחיל מהערך הקטן ביותר, x=4x = 4. נציב אותו בשני אגפי המשוואה ונבדוק אם הם שווים - צד שמאל 3(4+2)=3⋅6=183(4 + 2) = 3 \cdot 6 = 18, וצד ימין 4+14=184 + 14 = 18. שני האגפים שווים, וזו התשובה. ניתן להקיף.
שאלה 7·אלגברהקלה
נתונה מערכת המשוואות: kx+3y=7kx + 3y = 7 וגם 4x+6y=54x + 6y = 5. עבור איזה ערך של kk אין למערכת אף פתרון?
  1. א.2התשובה הנכונה
  2. ב.3
  3. ג.6
  4. ד.8
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונה מערכת של שתי משוואות שבאחת מהן מקדם ה-xx הוא פרמטר kk, ומבקשים את ערך הפרמטר שעבורו למערכת אין אף פתרון. לכן זו בעיית משוואות (מערכת עם פרמטר). בתשובות מספרים שלמים קטנים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי - למערכת של שתי משוואות ליניאריות אין פתרון כאשר הישרים מקבילים: יחס המקדמים של xx שווה ליחס המקדמים של yy, אך שונה מיחס האגפים החופשיים. נשווה את יחס המקדמים כדי לחלץ את kk.

פתרון אלגברי:

למערכת אין פתרון כאשר שני הישרים מקבילים, כלומר כאשר מקדמי הנעלמים פרופורציוניים בין שתי המשוואות אך האגפים החופשיים אינם. נדרוש שיחס מקדמי ה-xx יהיה שווה ליחס מקדמי ה-yy: k4=36\displaystyle \frac{k}{4} = \frac{3}{6} נצמצם את האגף הימני ל-12\dfrac{1}{2} ונחלץ את kk: k4=12⇒k=2\displaystyle \frac{k}{4} = \frac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad k = 2 נוודא שהאגפים החופשיים אינם באותו יחס: 75≠12\dfrac{7}{5} \ne \dfrac{1}{2}, ולכן הישרים מקבילים ולא חופפים, ולמערכת באמת אין פתרון. הערך המבוקש הוא k=2k = 2. זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 8·אלגברהבינונית
נתונה מערכת המשוואות: 2x+ky=62x + ky = 6 וגם 4x+10y=124x + 10y = 12. עבור איזה ערך של kk יש למערכת אינסוף פתרונות?
  1. א.2
  2. ב.3
  3. ג.5התשובה הנכונה
  4. ד.10
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונה מערכת של שתי משוואות שבאחת מהן מקדם ה-yy הוא פרמטר kk, ומבקשים את ערך הפרמטר שעבורו למערכת יש אינסוף פתרונות. לכן זו בעיית משוואות (מערכת עם פרמטר). בתשובות מספרים שלמים קטנים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי - למערכת של שתי משוואות ליניאריות יש אינסוף פתרונות כאשר שתי המשוואות מייצגות את אותו ישר, כלומר האחת היא כפולה של האחרת (כל המקדמים והאגף החופשי באותו יחס). נמצא את היחס בין המשוואות ונדרוש שגם מקדמי ה-yy יקיימו אותו.

פתרון אלגברי:

נשווה בין שתי המשוואות. מקדמי ה-xx הם 22 ו-44, והאגפים החופשיים 66 ו-1212 - שניהם ביחס 1:21 : 2. כדי שהמשוואות תהיינה כפולה זו של זו (ואז יש אינסוף פתרונות), גם מקדמי ה-yy חייבים להיות באותו יחס: k10=24=12\displaystyle \frac{k}{10} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} נבודד את kk: k=102=5\displaystyle k = \frac{10}{2} = 5 נאמת: עבור k=5k = 5 המשוואה הראשונה היא 2x+5y=62x + 5y = 6, וכפולה שלה ב-22 נותנת 4x+10y=124x + 10y = 12 - בדיוק המשוואה השנייה. שתי המשוואות זהות, ולכן יש אינסוף פתרונות. הערך המבוקש הוא k=5k = 5. זו התשובה, וניתן להקיף.

כל השאלות, התשובות וההסברים נכתבו ונבדקו על ידי צוות מומחים שחי ונושם פסיכומטרי. כל פריט עובר בקרת איכות לפני שהוא מתפרסם ומתעדכן באופן שוטף, כדי שהתרגול ישקף את רמת הקושי, הסגנון וההיגיון של המבחן האמיתי.