שיא
כניסה

תרגול ביטויים אלגבריים לפסיכומטרי

בשאלות ביטויים מבקשים לפשט או להשוות. לרוב הצבת מספר פשוט במקום המשתנה מהירה יותר מפישוט אלגברי מלא - במיוחד כשהתשובות הן ביטויים.

8 שאלות עם פתרון מלא

שאלות מתוך התרגול עצמו. נסה לפתור לבד, ורק אז פתח את הפתרון.

שאלה 1·אלגברהקלה מאוד
נתון: x=5x = 5. מהו ערכו של הביטוי (x+3)(x−3)(x+3)(x-3)?
  1. א.16התשובה הנכונה
  2. ב.25
  3. ג.34
  4. ד.64
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון ערך מספרי לנעלם, ומבקשים לחשב מכפלה של שני גורמים שצורתם סכום כפול הפרש של אותם שני איברים. זו תבנית נוסחת הכפל המקוצר של הפרש-ריבועים, ולכן זו בעיית ביטויים (פישוט זהות מקוצרת). בתשובות ערכים מספריים.

דרכי פתרון אפשריות

  • הצבה ישירה - התשובות מספריות ולנעלם ערך נתון, ולכן אפשר להציב ישירות בכל גורם ולהכפיל, בלי נוסחה כלל. פשוט ומהיר כאן.
  • פישוט אלגברי - מזהים את תבנית הפרש-הריבועים, מפשטים ל-x2−9x^2 - 9, ומציבים. שקול בעבודה ומדגיש את המבנה.

הצבה ישירה:

נציב את הערך הנתון x=5x = 5 בכל גורם ונכפול: (5+3)(5−3)=8×2=16\displaystyle (5+3)(5-3) = 8 \times 2 = 16 זו התשובה, וניתן להקיף.

פתרון אלגברי:

נזהה את תבנית הכפל המקוצר (x+a)(x−a)=x2−a2(x+a)(x-a) = x^2 - a^2: (x+3)(x−3)=x2−9\displaystyle (x+3)(x-3) = x^2 - 9 נציב x=5x = 5: 52−9=25−9=16\displaystyle 5^2 - 9 = 25 - 9 = 16 אותה תשובה.
שאלה 2·אלגברהקלה
נתון: x+y=9x + y = 9 וגם xy=4xy = 4. מהו ערכו של הביטוי x2y+xy2x^2 y + x y^2?
  1. א.13
  2. ב.36התשובה הנכונה
  3. ג.45
  4. ד.81
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים הסכום והמכפלה של שני נעלמים, ומבקשים את ערכו של ביטוי סימטרי בשני הנעלמים, x2y+xy2x^2 y + x y^2. לשני האיברים גורם משותף, שמאפשר לבטא את הביטוי דרך המכפלה והסכום, ולכן זו בעיית ביטויים (פישוט בהוצאת גורם משותף). בתשובות ערכים מספריים.

דרכי פתרון אפשריות

  • התשובות מספריות והנעלמים אינם מופיעים בהן, ולכן הצבת-מספרים לתשובות אינה ישימה כאן, ופונים לפישוט אלגברי.
  • פישוט אלגברי - מוציאים את הגורם המשותף xyxy ומקבלים xy(x+y)xy(x+y), ומציבים את שני הנתונים ישירות, בלי לפתור כל נעלם בנפרד.

פתרון אלגברי:

נוציא את הגורם המשותף xyxy משני האיברים: x2y+xy2=xy(x+y)\displaystyle x^2 y + x y^2 = xy(x + y) נציב את הנתונים, xy=4xy = 4 ו-x+y=9x+y = 9: 4×9=36\displaystyle 4 \times 9 = 36 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 3·אלגברהבינונית
נתון: x+y=8x + y = 8 וגם x⋅y=7x \cdot y = 7. מה ערכו של הביטוי x2+y2x^2 + y^2?
  1. א.15
  2. ב.36
  3. ג.50התשובה הנכונה
  4. ד.64
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים סכום שני נעלמים ומכפלתם, ומבקשים את ערכו של הביטוי x2+y2x^2 + y^2. מבקשים ערך של ביטוי (ולא של נעלם בודד), והצירוף של סכום, מכפלה וסכום-ריבועים מרמז על זהות ריבוע-הסכום. לכן זו בעיית משוואות משולבת בביטויים. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי (זהות ריבוע-הסכום) - הזהות (x+y)2=x2+y2+2xy(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy קושרת בין שלושת הגדלים: סכום, מכפלה וסכום-ריבועים. מכיוון שהסכום והמכפלה נתונים, נבודד מהזהות את הביטוי המבוקש בלי לפתור כלל את הנעלמים בנפרד. זו הדרך הישירה כאן.

פתרון אלגברי (זהות ריבוע-הסכום):

נפתח את ריבוע הסכום לפי נוסחת הכפל המקוצר: (x+y)2=x2+2xy+y2\displaystyle (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 נבודד מכאן את הביטוי המבוקש, על ידי חיסור 2xy2xy משני האגפים: x2+y2=(x+y)2−2xy\displaystyle x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy נציב את הנתונים x+y=8x + y = 8 ו-xy=7xy = 7: x2+y2=82−2⋅7=64−14=50\displaystyle x^2 + y^2 = 8^2 - 2 \cdot 7 = 64 - 14 = 50 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 4·אלגברהקשה
נתונים שני מספרים aa ו-bb השונים מאפס, שסכומם a+b=6a + b = 6 ומכפלתם ab=8ab = 8. מהו ערכו של הביטוי a2b+b2a\dfrac{a^2}{b} + \dfrac{b^2}{a}?
  1. א.9התשובה הנכונה
  2. ב.27
  3. ג.54
  4. ד.72
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים הסכום והמכפלה של שני נעלמים, ומבקשים את ערכו של סכום שני שברים, a2b+b2a\dfrac{a^2}{b} + \dfrac{b^2}{a}. איחוד השברים למכנה משותף יוצר את סכום-הקוביות במונה, שאינו נתון ישירות ויש לגזרו מהסכום והמכפלה, ולכן זו בעיית ביטויים רב-שלבית (פישוט שברים אלגבריים עם זהות מקוצרת). בתשובות ערכים מספריים.

דרכי פתרון אפשריות

  • התשובות מספריות והנעלמים אינם מופיעים בהן, ולכן הצבת-מספרים אינה ישימה כאן, ופונים לפישוט אלגברי.
  • פישוט אלגברי - שרשרת בת שלושה שלבים: מאחדים את השברים למכנה abab (מקבלים a3+b3ab\dfrac{a^3+b^3}{ab}); גוזרים את סכום-הקוביות מהסכום והמכפלה בעזרת הזהות a3+b3=(a+b)3−3ab(a+b)a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b); ומחלקים במכפלה.

פתרון אלגברי:

נאחד תחילה את שני השברים למכנה המשותף abab: a2b+b2a=a3+b3ab\displaystyle \dfrac{a^2}{b} + \dfrac{b^2}{a} = \dfrac{a^3 + b^3}{ab} סכום-הקוביות אינו נתון, ולכן נגזור אותו מהסכום והמכפלה. לפי זהות סכום-הקוביות: a3+b3=(a+b)3−3ab(a+b)\displaystyle a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b) נציב a+b=6a+b = 6 ו-ab=8ab = 8: a3+b3=63−3×8×6=216−144=72\displaystyle a^3 + b^3 = 6^3 - 3 \times 8 \times 6 = 216 - 144 = 72 כעת נחלק במכפלה ab=8ab = 8: 728=9\displaystyle \dfrac{72}{8} = 9 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 5·אלגברהקשה מאוד
נתונים שני מספרים חיוביים xx ו-yy שעבורם x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 וגם xy=12xy = 12. מהו ערכו של הביטוי x3+y3x^3 + y^3?
  1. א.13
  2. ב.49
  3. ג.91התשובה הנכונה
  4. ד.175
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים סכום-הריבועים והמכפלה של שני מספרים חיוביים, ומבקשים את סכום-הקוביות x3+y3x^3 + y^3. זהות סכום-הקוביות דורשת את הסכום x+yx+y, שאינו נתון ישירות ויש לגזור אותו מריבוע-הסכום. בתשובות ערכים מספריים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פישוט אלגברי - שרשרת בת שני שלבים: תחילה גוזרים את הסכום x+yx+y מריבוע-הסכום (x+y)2=x2+2xy+y2(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 (שכל אגפיו נתונים), ואז מציבים בזהות סכום-הקוביות x3+y3=(x+y)(x2−xy+y2)x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2).

פתרון אלגברי:

תחילה נגזור את הסכום. לפי ריבוע-הסכום, (x+y)2=x2+y2+2xy(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy, ונציב את הנתונים: (x+y)2=25+2×12=25+24=49\displaystyle (x+y)^2 = 25 + 2 \times 12 = 25 + 24 = 49 מכיוון שהמספרים חיוביים, x+y=49=7x + y = \sqrt{49} = 7. כעת נציב בזהות סכום-הקוביות: x3+y3=(x+y)(x2−xy+y2)\displaystyle x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) הגורם השני הוא סכום-הריבועים פחות המכפלה, x2+y2−xy=25−12=13x^2 + y^2 - xy = 25 - 12 = 13: x3+y3=7×13=91\displaystyle x^3 + y^3 = 7 \times 13 = 91 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 6·אלגברהקלה מאוד
נתון: x=6x = 6. מהו ערכו של הביטוי (x−4)(x+4)(x-4)(x+4)?
  1. א.4
  2. ב.20התשובה הנכונה
  3. ג.36
  4. ד.52
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון ערך מספרי לנעלם, ומבקשים לחשב מכפלה של שני גורמים שצורתם הפרש כפול סכום של אותם שני איברים. זו תבנית נוסחת הכפל המקוצר של הפרש-ריבועים, ולכן זו בעיית ביטויים (פישוט זהות מקוצרת). בתשובות ערכים מספריים.

דרכי פתרון אפשריות

  • הצבה ישירה - התשובות מספריות ולנעלם ערך נתון, ולכן אפשר להציב ישירות בכל גורם ולהכפיל, בלי נוסחה כלל. פשוט ומהיר כאן.
  • פישוט אלגברי - מזהים את תבנית הפרש-הריבועים, מפשטים ל-x2−16x^2 - 16, ומציבים. שקול בעבודה ומדגיש את המבנה.

הצבה ישירה:

נציב את הערך הנתון x=6x = 6 בכל גורם ונכפול: (6−4)(6+4)=2×10=20\displaystyle (6-4)(6+4) = 2 \times 10 = 20 זו התשובה, וניתן להקיף.

פתרון אלגברי:

נזהה את תבנית הכפל המקוצר (x−a)(x+a)=x2−a2(x-a)(x+a) = x^2 - a^2: (x−4)(x+4)=x2−16\displaystyle (x-4)(x+4) = x^2 - 16 נציב x=6x = 6: 62−16=36−16=20\displaystyle 6^2 - 16 = 36 - 16 = 20 אותה תשובה.
שאלה 7·אלגברהקלה
נתון: aa שונה מאפס. לאיזה מהביטויים הבאים שווה 12a53a2\dfrac{12a^5}{3a^2}?
  1. א.4a²
  2. ב.4a⁵
  3. ג.4a³התשובה הנכונה
  4. ד.15a³
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון שבר אלגברי של חזקות בעל אותו בסיס במונה ובמכנה, ומבקשים לזהות לאיזה ביטוי הוא שווה. זו בעיית ביטויים (פישוט לפי חוקי חזקות: חלוקת מקדמים וחיסור מעריכים). בתשובות ביטויים המכילים את אותו נעלם.

דרכי פתרון אפשריות

  • הצבת מספרים - הנעלם מופיע בכל התשובות, ולכן אפשר להציב לו מספר קטן, לחשב את הביטוי המקורי, ולבחור את התשובה שנותנת אותו ערך. דרך פסיכומטרית ישירה כאן.
  • פישוט אלגברי - מחלקים את המקדמים ומחסירים את מעריכי הבסיס. מתאים כשהמבנה פשוט לפישוט מיידי.

הצבת מספרים:

נציב מספר קטן, a=2a = 2, ונחשב את הביטוי המקורי. המונה: 12×25=12×32=38412 \times 2^5 = 12 \times 32 = 384; המכנה: 3×22=123 \times 2^2 = 12; והמנה 38412=32\dfrac{384}{12} = 32. נבדוק אילו תשובות נותנות 3232 עבור a=2a=2: תשובה (1), 4a2=4×4=164a^2 = 4 \times 4 = 16. נפסלת. תשובה (2), 4a5=4×32=1284a^5 = 4 \times 32 = 128. נפסלת. תשובה (3), 4a3=4×8=324a^3 = 4 \times 8 = 32. מתאים. תשובה (4), 15a3=15×8=12015a^3 = 15 \times 8 = 120. נפסלת. רק תשובה (3) נותנת 3232, וניתן להקיף.

פתרון אלגברי:

נחלק את המקדמים ונחסיר את מעריכי הבסיס aa (מעריך המונה פחות מעריך המכנה): 12a53a2=123⋅a5−2=4a3\displaystyle \dfrac{12a^5}{3a^2} = \dfrac{12}{3} \cdot a^{5-2} = 4a^3 אותה תשובה.
שאלה 8·אלגברהבינונית
נתונים שני מספרים aa ו-bb השונים מאפס, שמכפלתם ab=8ab = 8 וסכום הקוביות שלהם a3+b3=88a^3 + b^3 = 88. מהו ערכו של הביטוי a2b+b2a\dfrac{a^2}{b} + \dfrac{b^2}{a}?
  1. א.11התשובה הנכונה
  2. ב.80
  3. ג.96
  4. ד.704
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים המכפלה וסכום-הקוביות של שני נעלמים, ומבקשים את ערכו של סכום שני שברים, a2b+b2a\dfrac{a^2}{b} + \dfrac{b^2}{a}. איחוד השברים למכנה משותף יוצר בדיוק את סכום-הקוביות במונה ואת המכפלה במכנה, ולכן זו בעיית ביטויים (פישוט שברים אלגבריים). בתשובות ערכים מספריים.

דרכי פתרון אפשריות

  • התשובות מספריות והנעלמים אינם מופיעים בהן, ולכן הצבת-מספרים אינה ישימה כאן, ופונים לפישוט אלגברי.
  • פישוט אלגברי - מאחדים את שני השברים למכנה משותף abab, ומקבלים ביטוי שכל גורמיו נתונים.

פתרון אלגברי:

נאחד את שני השברים למכנה המשותף abab. המונה של השבר הראשון מוכפל ב-aa ושל השני ב-bb: a2b+b2a=a3+b3ab\displaystyle \dfrac{a^2}{b} + \dfrac{b^2}{a} = \dfrac{a^3 + b^3}{ab} נציב את הנתונים, a3+b3=88a^3 + b^3 = 88 ו-ab=8ab = 8: 888=11\displaystyle \dfrac{88}{8} = 11 זו התשובה, וניתן להקיף.

כל השאלות, התשובות וההסברים נכתבו ונבדקו על ידי צוות מומחים שחי ונושם פסיכומטרי. כל פריט עובר בקרת איכות לפני שהוא מתפרסם ומתעדכן באופן שוטף, כדי שהתרגול ישקף את רמת הקושי, הסגנון וההיגיון של המבחן האמיתי.