שיא
התחבר לחשבון

תרגול ביטויים אלגבריים לפסיכומטרי

בשאלות ביטויים מבקשים לפשט או להשוות. לרוב הצבת מספר פשוט במקום המשתנה מהירה יותר מפישוט אלגברי מלא - במיוחד כשהתשובות הן ביטויים.

8 שאלות עם פתרון מלא

שאלות מתוך התרגול עצמו. נסה לפתור לבד, ורק אז פתח את הפתרון.

שאלה 1·אלגברהקלה מאוד
לאיזה מהביטויים הבאים שווה x2+8x+16x^2 + 8x + 16?
  1. א.(x+4)²התשובה הנכונה
  2. ב.x²+16
  3. ג.(x+8)²
  4. ד.(x+16)²
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון טרינום ריבועי (ביטוי ריבועי בן שלושה איברים), ומבקשים לזהות לאיזו צורת-מכפלה הוא שווה. לכן זו בעיית ביטויים. בתשובות ביטויים - סוגריים המועלים בריבוע עם מספרים שונים בתוכם.

דרכי פתרון אפשריות

  • הצבת מספרים - הנעלם מופיע בכל התשובות, ולכן מציבים ערך נוח בביטוי המקורי ובכל תשובה ובוחרים את המתאימה; דרך מהירה ובטוחה.
  • פתרון אלגברי - זיהוי תבנית הריבוע-השלם a2+2ab+b2=(a+b)2a^2+2ab+b^2=(a+b)^2, כשמזהים מיד את המבנה.

הצבת מספרים:

נציב x=1x=1 בביטוי המקורי: 1+8+16=251+8+16=25. נבדוק איזו תשובה נותנת 2525 עבור x=1x=1: תשובה (1): (1+4)2=25(1+4)^2 = 25. מתאים. תשובה (2): 1+16=171+16 = 17. נפסלת. תשובה (3): (1+8)2=81(1+8)^2 = 81. נפסלת. תשובה (4): (1+16)2=289(1+16)^2 = 289. נפסלת. רק תשובה (1), וניתן להקיף.

פתרון אלגברי:

נזהה את תבנית הריבוע-השלם: a2+2ab+b2=(a+b)2\displaystyle a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 נתאים אותה לביטוי: האיבר החופשי 16=4216 = 4^2 (ולכן b=4b=4), והאיבר האמצעי 8x=2⋅4⋅x8x = 2\cdot 4\cdot x מתאים ל-2ab2ab. לכן: x2+8x+16=(x+4)2\displaystyle x^2 + 8x + 16 = (x+4)^2 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 2·אלגברהקלה
נתון: a+b=6a + b = 6 וגם a⋅b=8a \cdot b = 8. מה ערכו של a2+b2a^2 + b^2?
  1. א.12
  2. ב.20התשובה הנכונה
  3. ג.28
  4. ד.36
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

מבקשים את ערכו של הביטוי a2+b2a^2 + b^2 (ולא את aa ו-bb בנפרד), כאשר נתונים הסכום a+ba+b והמכפלה abab - הנתונים שמתקשרים לביטוי המבוקש דרך אחת מנוסחאות הכפל המקוצר. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי - שימוש בזהות (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, שמקשרת את הנתונים אל הביטוי המבוקש בלי למצוא כל נעלם לחוד. זו הדרך הישירה.

פתרון אלגברי:

נכתוב את נוסחת הכפל המקוצר של ריבוע הסכום: (a+b)2=a2+2ab+b2\displaystyle (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 נציב את הנתונים a+b=6a+b = 6 ו-ab=8ab = 8: 62=a2+b2+2⋅8\displaystyle 6^2 = a^2 + b^2 + 2 \cdot 8 נחשב את אגף שמאל ואת איבר ה-2ab2ab: 36=a2+b2+16\displaystyle 36 = a^2 + b^2 + 16 נבודד את הביטוי המבוקש בחיסור 1616: a2+b2=36−16=20\displaystyle a^2 + b^2 = 36 - 16 = 20 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 3·אלגברהבינונית
לאיזה מהביטויים הבאים שווה הביטוי (2x+3y)(2x−3y)(2x + 3y)(2x - 3y)?
  1. א.4x² + 9y²
  2. ב.4x² - 12xy - 9y²
  3. ג.2x² - 3y²
  4. ד.4x² - 9y²התשובה הנכונה
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

מבקשים לפשט מכפלה של סכום בהפרש של אותם איברים, (2x+3y)(2x−3y)(2x+3y)(2x-3y). שני הנעלמים x,yx,y מופיעים גם בתשובות, שכולן ביטויים ריבועיים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי - זיהוי תבנית הכפל המקוצר (A+B)(A−B)=A2−B2(A+B)(A-B) = A^2 - B^2. הדרך הישירה.
  • הצבת מספרים - מכיוון שהנעלמים מופיעים בכל התשובות, אפשר להציב xx ו-yy נוחים בביטוי המקורי ובכל תשובה ולהשוות.

פתרון אלגברי:

נזהה את תבנית הכפל המקוצר (A+B)(A−B)=A2−B2(A+B)(A-B) = A^2 - B^2, כאשר A=2xA = 2x ו-B=3yB = 3y: (2x+3y)(2x−3y)=(2x)2−(3y)2\displaystyle (2x + 3y)(2x - 3y) = (2x)^2 - (3y)^2 נחשב כל ריבוע בנפרד: (2x)2=4x2(3y)2=9y2\displaystyle (2x)^2 = 4x^2 \qquad (3y)^2 = 9y^2 ומכאן הביטוי שווה ל-4x2−9y24x^2 - 9y^2. זו התשובה, וניתן להקיף.

הצבת מספרים:

נציב x=1x = 1 ו-y=1y = 1 בביטוי המקורי: (2+3)(2−3)=5⋅(−1)=−5(2 + 3)(2 - 3) = 5 \cdot (-1) = -5. נבדוק איזו תשובה נותנת −5-5 עבור x=1,y=1x = 1, y = 1: תשובה (1): 4+9=134 + 9 = 13. נפסלת. תשובה (2): 4−12−9=−174 - 12 - 9 = -17. נפסלת. תשובה (3): 2−3=−12 - 3 = -1. נפסלת. תשובה (4): 4−9=−54 - 9 = -5. מתאים. רק תשובה (4) נותנת −5-5, וניתן להקיף.
שאלה 4·אלגברהקשה
לאיזה מהביטויים הבאים שווה הביטוי 1x−1−1x+1\dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{1}{x + 1}? תחום ההגדרה: x≠1x \neq 1 ו-x≠−1x \neq -1.
  1. א.2xx² - 1
  2. ב.0
  3. ג.2x² - 1התשובה הנכונה
  4. ד.-2x² - 1
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

מבקשים לפשט הפרש של שני שברים אלגבריים לכדי שבר יחיד. הנעלם xx מופיע בכל התשובות, שצורתן שבר יחיד.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי - מאחדים את שני השברים למכנה משותף ומפשטים את המונה. הדרך הישירה.
  • הצבת מספרים - מאחר שהנעלם מופיע בכל התשובות, אפשר להציב xx נוח בביטוי המקורי ובתשובות ולהשוות.

פתרון אלגברי:

המכנה המשותף הוא מכפלת המכנים, (x−1)(x+1)=x2−1(x-1)(x+1) = x^2 - 1. נרחיב את שני השברים למכנה זה: 1x−1−1x+1=(x+1)−(x−1)(x−1)(x+1)\displaystyle \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} = \frac{(x+1) - (x-1)}{(x-1)(x+1)} נפשט את המונה, תוך שמירה על הסימן בחיסור: (x+1)−(x−1)=x+1−x+1=2\displaystyle (x+1) - (x-1) = x + 1 - x + 1 = 2 ולכן הביטוי שווה ל: 2x2−1\displaystyle \frac{2}{x^2 - 1} זו התשובה, וניתן להקיף.

הצבת מספרים:

באופן טבעי היינו מציבים את הערך הנוח ביותר, x=1x = 1, אך הוא מחוץ לתחום ההגדרה (המכנה x−1x-1 מתאפס). לכן נציב x=2x = 2 בביטוי המקורי: 11−13=1−13=23\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{3} = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}. נבדוק איזו תשובה נותנת 23\dfrac{2}{3} עבור x=2x = 2: תשובה (1): 2⋅24−1=43\dfrac{2 \cdot 2}{4 - 1} = \dfrac{4}{3}. נפסלת. תשובה (2): 00. נפסלת. תשובה (3): 24−1=23\dfrac{2}{4 - 1} = \dfrac{2}{3}. מתאים. תשובה (4): −23\dfrac{-2}{3}. נפסלת. רק תשובה (3), וניתן להקיף.
שאלה 5·אלגברהקשה מאוד
נתון: xx שונה מאפס, ומתקיים x+1x=3x + \dfrac{1}{x} = 3. מהו ערכו של הביטוי x3+1x3x^3 + \dfrac{1}{x^3}?
  1. א.18התשובה הנכונה
  2. ב.24
  3. ג.27
  4. ד.36
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון ערכו של סכום מספר עם הופכיו, ומבקשים את ערך סכום הקוביות של המספר והופכיו. לכן זו בעיית ביטויים. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי - העלאת הנתון בחזקה שלישית, זהות המקשרת בין הסכום x+1xx+\dfrac{1}{x} ובין x3+1x3x^3+\dfrac{1}{x^3}; איברי-הביניים מצטמצמים לכפולה של הסכום עצמו. הדרך הישירה. (הצבת מספר אינה מעשית - הערך xx המקיים את הנתון אי-רציונלי.)

פתרון אלגברי:

נעלה את הנתון בחזקה שלישית, לפי זהות הקובייה של סכום: (x+1x)3=x3+3x2⋅1x+3x⋅1x2+1x3\displaystyle \left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3 = x^3 + 3x^2\cdot\dfrac{1}{x} + 3x\cdot\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{x^3} שני איברי-הביניים מצטמצמים ל-3x+3x=3(x+1x)3x + \dfrac{3}{x} = 3\left(x+\dfrac{1}{x}\right), ולכן: (x+1x)3=x3+1x3+3(x+1x)\displaystyle \left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3 = x^3 + \dfrac{1}{x^3} + 3\left(x+\dfrac{1}{x}\right) נבודד את הביטוי המבוקש: x3+1x3=(x+1x)3−3(x+1x)\displaystyle x^3 + \dfrac{1}{x^3} = \left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3 - 3\left(x+\dfrac{1}{x}\right) נציב את הנתון x+1x=3x+\dfrac{1}{x}=3: x3+1x3=33−3⋅3=27−9=18\displaystyle x^3 + \dfrac{1}{x^3} = 3^3 - 3\cdot 3 = 27 - 9 = 18 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 6·אלגברהקלה מאוד
נתון: x=5x = 5. מהו ערכו של הביטוי (x+3)(x−3)(x+3)(x-3)?
  1. א.16התשובה הנכונה
  2. ב.25
  3. ג.34
  4. ד.64
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון ערך מספרי לנעלם, ומבקשים לחשב מכפלה של שני גורמים שצורתם סכום כפול הפרש של אותם שני איברים. לכן זו בעיית ביטויים. בתשובות ערכים מספריים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי - לנעלם ערך נתון והתשובות מספריות, ולכן אפשר להציב אותו ישירות בכל גורם ולהכפיל, בלי נוסחה כלל. אפשר גם לפשט תחילה לפי נוסחת הכפל המקוצר של הפרש-ריבועים ורק אז להציב; שתי הדרכים שקולות בעבודה, וההצבה הישירה קצרה יותר.

פתרון אלגברי:

נציב את הערך הנתון x=5x = 5 בכל גורם ונכפול: (5+3)(5−3)=8×2=16\displaystyle (5+3)(5-3) = 8 \times 2 = 16 זו התשובה, וניתן להקיף. אפשר גם בסדר ההפוך: נזהה את תבנית הכפל המקוצר (x+a)(x−a)=x2−a2(x+a)(x-a) = x^2 - a^2 ונפשט: (x+3)(x−3)=x2−9\displaystyle (x+3)(x-3) = x^2 - 9 ואז נציב x=5x = 5: 52−9=25−9=16\displaystyle 5^2 - 9 = 25 - 9 = 16 אותו ערך.
שאלה 7·אלגברהקלה
מהו ערכו של הביטוי (10+6)(10−6)(\sqrt{10} + \sqrt{6})(\sqrt{10} - \sqrt{6})?
  1. א.2
  2. ב.4התשובה הנכונה
  3. ג.16
  4. ד.60
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונה מכפלה של סכום שני שורשים בהפרש של אותם שורשים (מכפלת צמודים), ומבקשים את ערכה המספרי. לכן זו בעיית ביטויים. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי - זיהוי תבנית הפרש-הריבועים (A+B)(A−B)=A2−B2(A+B)(A-B)=A^2-B^2, שמבטלת את איברי-הביניים ומשאירה את הפרש הרדיקנדים. הדרך הישירה. (הצבת מספרים אינה רלוונטית - הביטוי מספרי, אין בו נעלם.)

פתרון אלגברי:

נזהה את תבנית הפרש-הריבועים (A+B)(A−B)=A2−B2(A+B)(A-B)=A^2-B^2, כאשר A=10A=\sqrt{10} ו-B=6B=\sqrt{6}: (10+6)(10−6)=(10)2−(6)2\displaystyle (\sqrt{10}+\sqrt{6})(\sqrt{10}-\sqrt{6}) = (\sqrt{10})^2 - (\sqrt{6})^2 נחשב כל ריבוע (ריבוע של שורש מחזיר את הרדיקנד): (10)2=10(6)2=6\displaystyle (\sqrt{10})^2 = 10 \qquad (\sqrt{6})^2 = 6 ומכאן ערך הביטוי הוא 10−6=410 - 6 = 4. זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 8·אלגברהבינונית
הממוצע של שני מספרים aa ו-bb הוא 99, וההפרש ביניהם הוא 44. מהו הפרש הריבועים a2−b2a^2 - b^2?
  1. א.18
  2. ב.36
  3. ג.72התשובה הנכונה
  4. ד.144
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים שני משפטים על שני נעלמים, aa ו-bb, ומבקשים את ערכו של ביטוי המכיל את שניהם, a2−b2a^2 - b^2. לכן זו בעיית משוואות המשולבת בביטויים אלגבריים. בתשובות ערכים מספריים.

דרכי פתרון אפשריות

  • בתשובות ערכים מספריים (לא ביטויים), ולכן הצבת מספרים אינה רלוונטית. לא שואלים על ערכו של נעלם מסוים אלא על ביטוי, ולכן הצבת תשובות אינה אפשרית. נותרה הדרך האלגברית: הביטוי המבוקש הוא הפרש ריבועים, a2−b2a^2 - b^2, וזה רמז לנוסחת הכפל המקוצר a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b); לפיה די לבנות משני המשפטים את הסכום a+ba+b ואת ההפרש a−ba-b ולכפול אותם, בלי לפתור כלל את הנעלמים בנפרד.
נתרגם כל משפט למשוואה. הממוצע הוא 99: a+b2=9\displaystyle \frac{a+b}{2} = 9 נכפול את שני האגפים ב-22 ונקבל a+b=18a + b = 18. ההפרש הוא 44: a−b=4\displaystyle a - b = 4 נציב את שני הגורמים בנוסחת הכפל המקוצר: a2−b2=(a+b)(a−b)=18⋅4=72\displaystyle a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) = 18 \cdot 4 = 72

כל השאלות, התשובות וההסברים נכתבו ונבדקו על ידי צוות מומחים שחי ונושם פסיכומטרי ואמירנט. כל פריט עובר בקרת איכות לפני שהוא מתפרסם ומתעדכן באופן שוטף, כדי שהתרגול ישקף את רמת הקושי, הסגנון וההיגיון של המבחן האמיתי.

שיא

© 2026 · שיא. סימולטור פסיכומטרי ואמירנט