שיא
כניסה

תרגול בעיות מילוליות לפסיכומטרי

בעיה מילולית היא בעצם תרגיל בתרגום: להפוך משפט בעברית למשוואה. כשהתשובות הן מספרים קטנים, הצבת התשובות מהירה יותר מבניית משוואה.

8 שאלות עם פתרון מלא

שאלות מתוך התרגול עצמו. נסה לפתור לבד, ורק אז פתח את הפתרון.

שאלה 1·בעיות מילוליותקלה מאוד
בקופסה יש מטבעות של חמישה שקלים ומטבעות של שקל אחד, ובסך הכול 1212 מטבעות. הערך הכולל של המטבעות בקופסה הוא 4040 שקלים. כמה מטבעות של חמישה שקלים יש בקופסה?
  1. א.שבעההתשובה הנכונה
  2. ב.שישה
  3. ג.חמישה
  4. ד.ארבעה
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים שני סוגי מטבעות בעלי ערך שונה, נתון סך מספר המטבעות ונתון הערך הכולל שלהם, ומבקשים כמה מטבעות מסוג אחד יש. אין כאן תבנית מוכרת (ממוצע, אחוז, מהירות), ולכן זו בעיה כללית. בתשובות ערכים מספריים קטנים.

דרכי פתרון אפשריות

  • הערכים בתשובות קטנים ומספריים, ולכן הצבת תשובות מעשית: מציבים כל אפשרות ובודקים אם שני התנאים (סך המטבעות והערך הכולל) מתקיימים. לחלופין אפשר לתרגם לשתי משוואות בשני נעלמים ולפתור אלגברית.

הצבת תשובות:

נבחן את תשובה (1): שבעה מטבעות של חמישה שקלים. אז מטבעות השקל הם 12−7=512 - 7 = 5, והערך הכולל: 5⋅7+1⋅5=35+5=40\displaystyle 5 \cdot 7 + 1 \cdot 5 = 35 + 5 = 40 שני התנאים מתקיימים: 1212 מטבעות בסך הכול, ו-4040 שקלים. זו התשובה, וניתן להקיף.

פתרון אלגברי:

נסמן ב-xx את מספר מטבעות החמישה וב-yy את מספר מטבעות השקל. מספר המטבעות: x+y=12\displaystyle x + y = 12 הערך הכולל: 5x+y=40\displaystyle 5x + y = 40 נחסר את המשוואה הראשונה מהשנייה: 4x=28⇒x=7\displaystyle 4x = 28 \Rightarrow x = 7 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 2·בעיות מילוליותקלה
בחנייה אופניים (בעלי שני גלגלים) ומכוניות (בעלות ארבעה גלגלים), ובסך הכול 77 כלי רכב ו-2222 גלגלים. כמה מכוניות יש בחנייה?
  1. א.2
  2. ב.3
  3. ג.4התשובה הנכונה
  4. ד.5
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים שני סוגי כלי-רכב בעלי מספר גלגלים שונה, סך כלי-הרכב וסך הגלגלים, ושואלים כמה מכוניות יש. השאלה אינה מתאימה לאף תבנית מוכרת (אין ממוצע, אחוז, מהירות וכדומה), ולכן זו בעיה כללית. בתשובות מספרים שלמים קטנים.

דרכי פתרון אפשריות

  • הצבת תשובות - התשובות הן מספר המכוניות, ולכל מספר מוצע אפשר להשלים את מספר האופניים (כך שהסך 77) ולבדוק את מספר הגלגלים. דרך מעשית כי הערכים קטנים.
  • פתרון אלגברי - מסמנים את מספר המכוניות בנעלם, מבטאים דרכו את מספר האופניים, בונים משוואה ממספר הגלגלים ופותרים.

הצבת תשובות:

נבחר תשובה אמצעית, (3), 44 מכוניות. אם יש 44 מכוניות, אז מתוך 77 כלי-רכב נותרו 7−4=37 - 4 = 3 אופניים. נספור גלגלים: המכוניות תורמות 4⋅4=164 \cdot 4 = 16 גלגלים והאופניים 3⋅2=63 \cdot 2 = 6 גלגלים, ובסך הכול: 16+6=22\displaystyle 16 + 6 = 22 מספר הגלגלים מתאים לנתון, וזו התשובה. ניתן להקיף.

פתרון אלגברי:

נסמן ב-xx את מספר המכוניות. מאחר שיש 77 כלי-רכב בסך הכול, מספר האופניים הוא 7−x7 - x. נספור גלגלים: כל מכונית תורמת 44 וכל זוג אופניים תורם 22, וסך הגלגלים 2222: 4x+2(7−x)=22\displaystyle 4x + 2(7 - x) = 22 נפתח סוגריים ונפשט: 4x+14−2x=22\displaystyle 4x + 14 - 2x = 22 2x+14=22\displaystyle 2x + 14 = 22 נחסר 1414 ונחלק ב-22: 2x=8⇒x=4\displaystyle 2x = 8 \quad\Rightarrow\quad x = 4 יש 44 מכוניות. אותה תשובה, וניתן להקיף.
שאלה 3·בעיות מילוליותבינונית
לרינה היה סכום כסף הגדול פי 22 מהסכום שהיה לדנה. רינה הוציאה 3030 שקלים, ודנה קיבלה עוד 1010 שקלים, וכעת יש לשתיהן סכום שווה. כמה שקלים היו לדנה בהתחלה?
  1. א.30
  2. ב.40התשובה הנכונה
  3. ג.50
  4. ד.80
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים לנו יחס התחלתי בין הסכומים של שתי דמויות ושני שינויים - האחת מוציאה כסף והשנייה מקבלת - שאחריהם הסכומים משתווים, ושואלים על הסכום ההתחלתי של אחת מהן. השאלה אינה נופלת לאף תבנית מוכרת, ולכן זו בעיה כללית. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

  • הצבת תשובות - כל תשובה היא הסכום ההתחלתי של דנה. ממנה גוזרים את הסכום ההתחלתי של רינה (פי 22), מיישמים על שתיהן את השינויים, ובודקים מי משאירה אותן שוות. דרך נוחה כששואלים על כמות אחת והשינויים מתורגמים בקלות.
  • פתרון אלגברי - מסמנים את הסכום ההתחלתי של דנה, מבטאים דרכו את של רינה, מיישמים את השינויים ומשווים בין שני האגפים.

הצבת תשובות:

נתחיל מ-5050 שקלים לדנה, תשובה אמצעית ונוחה. אז לרינה יש פי 22, כלומר 100100 שקלים. נחיל את השינויים: רינה מוציאה 3030 ונשארת עם 100−30=70100 - 30 = 70, ודנה מקבלת 1010 ונשארת עם 50+10=6050 + 10 = 60. הסכומים 7070 ו-6060 אינם שווים, ורינה גבוהה מדי - נקטין את הסכום ההתחלתי. נבדוק 4040 שקלים לדנה, ואז לרינה 8080. אחרי השינויים: רינה 80−30=5080 - 30 = 50, ודנה 40+10=5040 + 10 = 50: 50=50\displaystyle 50 = 50 הסכומים שווים, כנדרש. זו התשובה, וניתן להקיף.

פתרון אלגברי:

נסמן ב-xx את הסכום ההתחלתי של דנה. הסכום של רינה גדול פי 22, כלומר 2x2x. אחרי שרינה הוציאה 3030 יש לה 2x−302x - 30, ואחרי שדנה קיבלה 1010 יש לה x+10x + 10. השוויון שאחרי השינוי נותן את המשוואה: 2x−30=x+10\displaystyle 2x - 30 = x + 10 נעביר אגפים ונבודד: 2x−x=10+30⇒x=40\displaystyle 2x - x = 10 + 30 \quad\Rightarrow\quad x = 40 לדנה היו 4040 שקלים בהתחלה. אותה תשובה.
שאלה 4·אלגברה · בעיות מילוליותקשה
בחנות מוכרים מחברות ועטים. עבור 3 מחברות ו-2 עטים משלמים 32 שקלים, ועבור 5 מחברות ו-4 עטים משלמים 56 שקלים. מה מחירו של עט אחד, בשקלים?
  1. א.3
  2. ב.4התשובה הנכונה
  3. ג.5
  4. ד.8
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונות שתי "סלים" של קנייה, כל אחד עם מספר מחברות, מספר עטים והמחיר הכולל שלו, ומבקשים את מחירו של פריט אחד. שני התנאים על שני מחירים לא-ידועים מרמזים על בניית מערכת של שתי משוואות, ולכן זו בעיית משוואות משולבת בבעיה מילולית. בתשובות מספרים שלמים קטנים, ולכן אפשר גם להציב תשובה ולבדוק.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי (ביטול בשכפול) - נבנה שתי משוואות מהסלים. מקדמי העטים הם 22 ו-44, ולכן נכפיל את המשוואה הראשונה ב-22 כדי להשוותם, נחסר, ונקבל את מחיר המחברת; משם נחזור ונחלץ את מחיר העט. שימו לב שהשאלה מבקשת את מחיר העט, ולכן זהו הגודל שנדווח בסוף.
  • הצבת תשובות - הערכים בתשובות קטנים; לכל מחיר-עט מוצע נחלץ את מחיר המחברת מהסל הראשון, ונוודא שהסל השני מסתכם נכון.

פתרון אלגברי (ביטול בשכפול):

נסמן ב-mm את מחיר המחברת וב-pp את מחיר העט (בשקלים). הסל הראשון (3 מחברות, 2 עטים, 3232 שקלים) והסל השני (5 מחברות, 4 עטים, 5656 שקלים): 3m+2p=32\displaystyle 3m + 2p = 32 5m+4p=56\displaystyle 5m + 4p = 56 נבטל את העטים. מקדמי ה-pp הם 22 ו-44; נכפיל את המשוואה הראשונה ב-22 כדי שמקדם ה-pp יהיה 44 בשתיהן: 6m+4p=64\displaystyle 6m + 4p = 64 5m+4p=56\displaystyle 5m + 4p = 56 נחסר את המשוואה השנייה מן הראשונה, וה-pp מתבטל: m=8\displaystyle m = 8 מחיר המחברת הוא 88 שקלים. נחזיר אותו לסל הראשון כדי לחלץ את מחיר העט: 3⋅8+2p=32\displaystyle 3 \cdot 8 + 2p = 32 24+2p=32⇒2p=8⇒p=4\displaystyle 24 + 2p = 32 \quad\Rightarrow\quad 2p = 8 \quad\Rightarrow\quad p = 4 השאלה מבקשת את מחיר העט, שהוא 44 שקלים. זו התשובה, וניתן להקיף.

הצבת תשובות:

נתחיל מתשובה (2), מחיר עט p=4p = 4. נחלץ ממנו את מחיר המחברת מהסל הראשון: 3m+2⋅4=323m + 2 \cdot 4 = 32, כלומר 3m=243m = 24 ו-m=8m = 8. נבדוק את הסל השני: 5⋅8+4⋅4=40+16=56\displaystyle 5 \cdot 8 + 4 \cdot 4 = 40 + 16 = 56 התקבל בדיוק 5656 שקלים כנדרש, ולכן זו התשובה. ניתן להקיף.
שאלה 5·בעיות מילוליותקשה מאוד
שלושה אחים חילקו ביניהם 320320 שקלים. הסכום שקיבל אבי גדול פי 33 מהסכום שקיבל בני. לאחר החלוקה נתן אבי 5050 שקלים לגד (האח השלישי), וכעת יש לאבי ולגד סכום שווה. כמה שקלים קיבל גד בחלוקה המקורית?
  1. א.60
  2. ב.80התשובה הנכונה
  3. ג.120
  4. ד.180
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים לנו סכום כולל שחולק בין שלוש דמויות, יחס בין שתיים מהן, והעברת כסף מאחת לשלישית שאחריה מתקבל שוויון, ושואלים על החלק שקיבלה השלישית. שלושה חלקים הקשורים בסכום, ביחס ובהעברה - זו בעיה כללית רב-שלבית. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי - מסמנים את החלק של בני, מבטאים דרכו את של אבי (פי 33) ואת של גד (מה שנשאר מהסכום הכולל), מיישמים את ההעברה, וכותבים משוואה מהשוויון שאחריה.
  • הצבת תשובות - כל תשובה היא החלק שקיבל גד. ממנה גוזרים את הסכום שנותר לאבי ולבני יחד, מפצלים אותו לפי היחס פי 33, מבצעים את ההעברה, ובודקים אצל מי הסכומים של אבי וגד משתווים.

פתרון אלגברי:

נסמן ב-bb את הסכום שקיבל בני. הסכום של אבי גדול פי 33, כלומר 3b3b. השלושה יחד קיבלו 320320, ולכן הסכום של גד הוא מה שנשאר: 320−3b−b=320−4b\displaystyle 320 - 3b - b = 320 - 4b כעת אבי נותן 5050 לגד: ההעברה גורעת 5050 מאבי ומוסיפה 5050 לגד, ולכן אחריה יש לאבי 3b−503b - 50 ולגד (320−4b)+50=370−4b(320 - 4b) + 50 = 370 - 4b. השוויון שאחרי ההעברה נותן את המשוואה: 3b−50=370−4b\displaystyle 3b - 50 = 370 - 4b נעביר אגפים ונבודד: 3b+4b=370+50⇒7b=420⇒b=60\displaystyle 3b + 4b = 370 + 50 \quad\Rightarrow\quad 7b = 420 \quad\Rightarrow\quad b = 60 מכאן הסכום של אבי הוא 3⋅60=1803 \cdot 60 = 180, והסכום של גד: 320−4⋅60=320−240=80\displaystyle 320 - 4 \cdot 60 = 320 - 240 = 80 גד קיבל 8080 שקלים בחלוקה המקורית. זו התשובה, וניתן להקיף.

הצבת תשובות:

נבדוק כל תשובה כחלק של גד; ממנה נשלים את מה שנשאר לאבי ולבני, נפצל לפי היחס פי 33, ונבדוק אם ההעברה משווה את אבי לגד. נתחיל מ-8080 שקלים לגד. אז לאבי ולבני יחד נשארו 320−80=240320 - 80 = 240, ומכיוון שאבי פי 33 מבני, בני מקבל רבע מ-240240, כלומר 6060, ואבי 180180. אחרי שאבי נותן 5050 לגד: אבי 180−50=130180 - 50 = 130, וגד 80+50=13080 + 50 = 130: 130=130\displaystyle 130 = 130 הסכומים שווים, כנדרש. אותה תשובה.
שאלה 6·בעיות מילוליותקלה מאוד
בקופסה עטים כחולים ועטים אדומים בלבד. מספר העטים הכחולים גדול ב-6 ממספר העטים האדומים, ובקופסה 5 עטים אדומים. כמה עטים בקופסה בסך הכול?
  1. א.11
  2. ב.12
  3. ג.15
  4. ד.16התשובה הנכונה
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון מספר העטים האדומים ובכמה גדול ממנו מספר הכחולים, ומבקשים את המספר הכולל. השאלה אינה מתאימה לאף תבנית מוכרת (אין ממוצע/אחוז/יחס), ולכן זו בעיה כללית עם קשר ישיר יחיד. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

  • תרגום לאלגברה - מחשבים תחילה את מספר הכחולים מההפרש הנתון, ואז מחברים את שתי הכמויות לסך הכול.

פתרון אלגברי:

מספר העטים האדומים הוא 55, ומספר הכחולים גדול ממנו ב-66: 5+6=11\displaystyle 5 + 6 = 11 נחבר את שתי הכמויות לסך הכול: 5+11=16\displaystyle 5 + 11 = 16 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 7·בעיות מילוליותקלה
במספר דו-ספרתי, ספרת העשרות גדולה ב-33 מספרת האחדות, וסכום שתי הספרות הוא 1111. מהו המספר?
  1. א.47
  2. ב.58
  3. ג.74התשובה הנכונה
  4. ד.85
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון מספר דו-ספרתי ושני תנאים על ספרותיו - הפרש הספרות וסכום הספרות - ומבקשים את המספר עצמו. הרמז: שני תנאים על ספרות במבנה עשרוני. בתשובות מספרים דו-ספרתיים מוחשיים.

דרכי פתרון אפשריות

  • הצבת תשובות - מאחר שכל המועמדים כבר בתשובות, בודקים כל אחד מול שני התנאים (הפרש 33 וסכום 1111) ובוחרים את המקיים את שניהם.
  • פתרון אלגברי - מסמנים את שתי הספרות, בונים שתי משוואות מהתנאים, ופותרים.

הצבת תשובות:

נבדוק כל מספר מול שני התנאים - ספרת העשרות גדולה ב-33 מספרת האחדות, וסכום הספרות 1111:
  • תשובה (1), 4747: סכום הספרות 4+7=114 + 7 = 11, אך ספרת העשרות (44) קטנה מספרת האחדות (77). נפסל.
  • תשובה (2), 5858: סכום הספרות 5+8=135 + 8 = 13, לא 1111. נפסל.
  • תשובה (3), 7474: סכום הספרות 7+4=117 + 4 = 11, וההפרש 7−4=37 - 4 = 3. מקיים את שני התנאים.
  • תשובה (4), 8585: ההפרש 8−5=38 - 5 = 3, אך הסכום 8+5=138 + 5 = 13, לא 1111. נפסל.
זו התשובה, וניתן להקיף.

פתרון אלגברי:

נסמן ב-aa את ספרת העשרות וב-bb את ספרת האחדות. שני התנאים: a=b+3,a+b=11\displaystyle a = b + 3, \qquad a + b = 11 נציב את הראשונה בשנייה: (b+3)+b=11\displaystyle (b + 3) + b = 11 2b+3=11  ⇒  b=4\displaystyle 2b + 3 = 11 \;\Rightarrow\; b = 4 ומכאן a=b+3=7a = b + 3 = 7, כלומר המספר הוא 7474. אותה תשובה.
שאלה 8·בעיות מילוליותבינונית
בחנות נמכרות סוכריות באריזות בלבד: אריזה קטנה מכילה 44 סוכריות, ואריזה גדולה מכילה 77 סוכריות. לקוח יכול לקנות כל צירוף של אריזות שלמות. איזה מהמספרים הבאים אינו יכול להיות מספר הסוכריות הכולל שהלקוח קונה?
  1. א.17התשובה הנכונה
  2. ב.18
  3. ג.19
  4. ד.20
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים לנו שני גדלים של אריזה, וכל כמות אפשרית היא סכום של כפולות שלמות שלהם, ושואלים איזה מספר מבין התשובות אינו ניתן להרכבה. השאלה אינה נופלת לאף תבנית מוכרת, ולכן זו בעיה כללית. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

  • הצבת תשובות - כל תשובה היא מספר סוכריות. לכל אחת ננסה למצוא צירוף של אריזות של 44 ואריזות של 77 שמסתכם בדיוק אליה; זו שאין עבורה צירוף היא התשובה. כשהמספרים קטנים, נוח לבדוק כל מספר ישירות.
  • פירוט שיטתי - עוברים על מספר האריזות הגדולות האפשרי (00, אחת, שתיים), ובודקים לכל אחד אם ההשלמה מתחלקת ב-44.

הצבת תשובות:

נבדוק כל תשובה, ונחפש לה צירוף של אריזות של 44 ואריזות של 77: תשובה (2), 1818: שתי אריזות גדולות נותנות 1414, וההשלמה 18−14=418 - 14 = 4 היא אריזה קטנה אחת. ניתן להרכיב, ולכן אינה התשובה. תשובה (3), 1919: אריזה גדולה אחת נותנת 77, וההשלמה 19−7=1219 - 7 = 12 היא שלוש אריזות קטנות. ניתן להרכיב, ולכן אינה התשובה. תשובה (4), 2020: בלי אריזות גדולות, 20=4⋅520 = 4 \cdot 5 הוא חמש אריזות קטנות. ניתן להרכיב, ולכן אינה התשובה. תשובה (1), 1717: בלי אריזות גדולות, 1717 אינו מתחלק ב-44; עם אריזה גדולה אחת נשאר 17−7=1017 - 7 = 10 שאינו מתחלק ב-44; עם שתי אריזות גדולות נשאר 17−14=317 - 14 = 3 שאינו מתחלק ב-44. אין צירוף שמסתכם ל-1717, ולכן זו התשובה, וניתן להקיף.

פירוט שיטתי:

נבדוק את 1717 לפי מספר האריזות הגדולות האפשרי, ונדרוש שההשלמה תתחלק ב-44: בלי אריזה גדולה: נשאר 1717, שאינו מתחלק ב-44. אריזה גדולה אחת: נשאר 17−7=1017 - 7 = 10, שאינו מתחלק ב-44. שתי אריזות גדולות: נשאר 17−14=317 - 14 = 3, שאינו מתחלק ב-44 (ושלוש אריזות כבר עוברות את 1717). אף אפשרות אינה מתחלקת, ולכן 1717 אינו ניתן להרכבה. אותה תשובה.

כל השאלות, התשובות וההסברים נכתבו ונבדקו על ידי צוות מומחים שחי ונושם פסיכומטרי. כל פריט עובר בקרת איכות לפני שהוא מתפרסם ומתעדכן באופן שוטף, כדי שהתרגול ישקף את רמת הקושי, הסגנון וההיגיון של המבחן האמיתי.