שיא
כניסה

תרגול אי שוויונות לפסיכומטרי

אי שוויון נפתר כמו משוואה, עם מלכודת אחת מרכזית: כפל או חילוק במספר שלילי הופך את סימן האי שוויון. זו הטעות הנפוצה ביותר בנושא.

8 שאלות עם פתרון מלא

שאלות מתוך התרגול עצמו. נסה לפתור לבד, ורק אז פתח את הפתרון.

שאלה 1·אלגברהקלה מאוד
כמה מספרים שלמים חיוביים xx מקיימים את אי-השוויון 20−3x>520 - 3x > 5?
  1. א.1
  2. ב.2
  3. ג.3
  4. ד.4התשובה הנכונה
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון אי-שוויון בנעלם אחד שמקדמו שלילי, ומבקשים כמה מספרים שלמים חיוביים מקיימים אותו. בתשובות מספרים קטנים, ולכן נמצא את הטווח של xx ונספור בתוכו את השלמים החיוביים. לכן זו בעיית אי-שוויון.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי - נבודד את xx תוך היפוך סימן האי-שוויון בחלוקה במספר שלילי, ואז נספור את השלמים החיוביים בטווח. הדרך הישירה.
  • פירוט שיטתי - מכיוון שהמספרים בתשובות קטנים והשלמים החיוביים מעטים, נוכל גם להציב x=1,2,3,…x = 1, 2, 3, \ldots בזה אחר זה עד שהתנאי מפסיק להתקיים ולספור כמה עברו.

פתרון אלגברי:

נבודד את איבר ה-xx. נחסר 2020 משני האגפים: −3x>−15\displaystyle -3x > -15 כעת נחלק ב-−3-3. מכיוון שזה מספר שלילי, נהפוך את סימן האי-שוויון: x<5\displaystyle x < 5 השלמים החיוביים המקיימים x<5x < 5 הם 1,2,3,41, 2, 3, 4 - בסך הכול 44 ערכים. זו התשובה, וניתן להקיף.

פירוט שיטתי:

נציב שלמים חיוביים בזה אחר זה ונבדוק את התנאי 20−3x>520 - 3x > 5:
  • המספר 11: מתקבל 20−3=17>520 - 3 = 17 > 5, מקיים.
  • המספר 22: מתקבל 20−6=14>520 - 6 = 14 > 5, מקיים.
  • המספר 33: מתקבל 20−9=11>520 - 9 = 11 > 5, מקיים.
  • המספר 44: מתקבל 20−12=8>520 - 12 = 8 > 5, מקיים.
  • המספר 55: מתקבל 20−15=5>520 - 15 = 5 > 5, אינו מקיים (שוויון, לא גדול-ממש).
עברו את התנאי בדיוק 44 שלמים חיוביים. אותה תשובה, וניתן להקיף.
שאלה 2·אלגברהקלה
נתון: x>2x > 2 וגם 9−x>39 - x > 3. איזה מהטווחים הבאים הוא הטווח המדויק של xx?
  1. א.x > 2
  2. ב.x < 6
  3. ג.2 < x < 6התשובה הנכונה
  4. ד.3 < x < 9
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים שני אי-שוויונים בנעלם אחד שצריכים להתקיים בו-זמנית, ומבקשים את הטווח המדויק של xx. בתשובות טווחים, ולכן נפתור כל תנאי לחוד ונחתוך את שני התחומים. לכן זו בעיית אי-שוויון.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי - נבודד את xx בכל אחד מהתנאים בנפרד, ונאחד את שני התחומים שהתקבלו לחיתוך שלהם. הדרך הישירה.
  • הצבת תשובות - התשובות הן טווחים, ולכן נוכל לבחור מספר-בדיקה בכל טווח מוצע ולוודא שהוא מקיים את שני התנאים, ולבדוק גם ערך מחוץ לטווח שהתנאים אמורים לפסול.

פתרון אלגברי:

התנאי הראשון כבר מבודד: x>2x > 2. נבודד את xx בתנאי השני, 9−x>39 - x > 3. נחסר 99 משני האגפים: −x>−6\displaystyle -x > -6 נכפול ב-−1-1, ומכיוון שזה מספר שלילי נהפוך את סימן האי-שוויון: x<6\displaystyle x < 6 שני התנאים צריכים להתקיים יחד, ולכן נחתוך: x>2x > 2 וגם x<6x < 6, כלומר 2<x<62 < x < 6. זו התשובה, וניתן להקיף.

הצבת תשובות:

נבחר את x=4x = 4 (מספר שנמצא בתוך הטווח 2<x<62 < x < 6) ונבדוק את שני התנאים: 4>24 > 2 מתקיים, וגם 9−4=5>39 - 4 = 5 > 3 מתקיים. הטווח 2<x<62 < x < 6 עומד בשני התנאים. כדי לאתר את הקצוות נבדוק ערכים ששני התנאים אמורים לפסול. נבחר x=2x = 2: התנאי x>2x > 2 אינו מתקיים, ולכן הקצה התחתון סגור על 22. נבחר x=7x = 7: התנאי 9−7=2>39 - 7 = 2 > 3 אינו מתקיים, ולכן הקצה העליון חסום מתחת ל-77. הטווח המדויק הוא 2<x<62 < x < 6, וניתן להקיף.
שאלה 3·אלגברהבינונית
כמה מספרים שלמים xx מקיימים את אי-השוויון −2<x−13≤2-2 < \dfrac{x-1}{3} \le 2?
  1. א.11
  2. ב.12התשובה הנכונה
  3. ג.13
  4. ד.14
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון אי-שוויון תלת-אגפי על מנה של הנעלם, ומבקשים כמה מספרים שלמים מקיימים אותו. לכן זו בעיית אי-שוויונות, שבה מבודדים את הנעלם בשני קצות אי-השוויון וסופרים את השלמים בתחום המתקבל, תוך תשומת לב לכך שקצה אחד פתוח והאחר סגור. בתשובות ערכים מספריים קרובים.

דרכי פתרון אפשריות

  • הדרך הישירה היא אלגברית, מבודדים את הנעלם בשני האגפים כדי לקבל תחום, וסופרים בו את השלמים תוך הבחנה בין הקצה הפתוח לסגור. מכיוון שמספר השלמים בתחום קטן, אפשר גם לפרטם ישירות בפירוט שיטתי ולוודא את המניין. נדגים את שתיהן.

פתרון אלגברי:

נבודד את הנעלם בכל שלושת האגפים בבת אחת. נכפול ב-33: −6<x−1≤6\displaystyle -6 < x - 1 \le 6 נוסיף 11: −5<x≤7\displaystyle -5 < x \le 7 הקצה השמאלי פתוח, ולכן x=−5x=-5 אינו נכלל והשלם הקטן ביותר הוא −4-4; הקצה הימני סגור, ולכן x=7x=7 נכלל. השלמים בתחום הם מ-−4-4 עד 77, ומספרם הוא ההפרש ועוד אחד: 7−(−4)+1=12\displaystyle 7 - (-4) + 1 = 12 זו התשובה, וניתן להקיף.

פירוט שיטתי:

נמנה את השלמים שבתחום −5<x≤7-5 < x \le 7, מהקטן לגדול: −4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5,6,7\displaystyle -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 סך הכול 1212 מספרים, וניתן להקיף.
שאלה 4·אלגברהקשה
נתונים שלושה מספרים ממשיים xx, yy ו-zz, המקיימים בו-זמנית את שלושת התנאים: x<yx < y, וגם y<zy < z, וגם z<x+4z < x + 4. איזה מהערכים הבאים יכול להיות ההפרש z−xz - x?
  1. א.5
  2. ב.4
  3. ג.3התשובה הנכונה
  4. ד.0
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונות שלוש אי-שוויונות הקושרות את xx, yy ו-zz, ומבקשים איזה ערך יכול לקבל ההפרש z−xz - x. סימני האי-שוויון מסמנים בעיית אי-שוויונות, והשאלה על ערך אפשרי של הפרש מרמזת על חסימת התחום שבו הוא נע. בתשובות ערכים מספריים.

דרכי פתרון אפשריות

  • נחסום את ההפרש z−xz - x מלמעלה ומלמטה: מהשרשרת x<y<zx < y < z נגזר גבול תחתון, ומהתנאי z<x+4z < x + 4 נגזר גבול עליון; מי מהתשובות נופל בתחום המותר הוא הערך האפשרי. לחלופין, מכיוון שהתשובות מספריות קטנות, אפשר הצבת תשובות ובדיקת אפשרות בנייה לכל ערך.

חסימת התחום:

מהתנאים x<yx < y וגם y<zy < z נובע x<zx < z, ולכן ההפרש חיובי ממש: z−x>0\displaystyle z - x > 0 מהתנאי השלישי z<x+4z < x + 4 נעביר את xx אגף: z−x<4\displaystyle z - x < 4 כלומר ההפרש z−xz - x חייב להיות בתחום הפתוח 0<z−x<40 < z - x < 4. מבין התשובות, רק 33 נופל בתחום זה (55 ו-44 אינם קטנים מ-44, ו-00 אינו גדול מ-00). זו התשובה, וניתן להקיף.

הצבת תשובות:

נבדוק את z−x=3z - x = 3 בבנייה קונקרטית: נבחר x=0x = 0, y=1y = 1, z=3z = 3. אכן 0<10 < 1, 1<31 < 3, ו-3<0+4=43 < 0 + 4 = 4, כלומר כל שלושת התנאים מתקיימים וההפרש z−x=3z - x = 3. לעומת זאת z−x=4z - x = 4 מחייב z=x+4z = x + 4, הסותר את z<x+4z < x + 4, ו-z−x=0z - x = 0 סותר את x<zx < z. זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 5·אלגברהקשה מאוד
נתון: x≠0x \ne 0, ומתקיים −12<1x<−14-\dfrac{1}{2} < \dfrac{1}{x} < -\dfrac{1}{4}. איזה מהטווחים הבאים הוא הטווח המדויק של xx?
  1. א.-4 < x < -2התשובה הנכונה
  2. ב.2 < x < 4
  3. ג.x < -4 or x > -2
  4. ד.-1/2 < x < -1/4
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון אי-שוויון תלת-אגפי שבו הנעלם במכנה, ושלושת האגפים שליליים, ומבקשים את הטווח המדויק של xx. בתשובות טווחים, ולכן נהפוך את שלושת האגפים (מעבר להופכי) תוך הקפדה על כלל-הסימן. לכן זו בעיית אי-שוויון (חסם על שבר עם נעלם במכנה).

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי - נזהה תחילה ש-1x\dfrac{1}{x} שלילי, ולכן xx שלילי; נהפוך את שלושת האגפים למספרים ההופכיים שלהם, ומכיוון שכל האגפים שליליים מעבר-להופכי מהפך את כיוון האי-שוויון. הדרך הישירה.
  • מצבי-קיצון - נבדוק אילו ערכי xx ממפים את הקצוות: כאשר 1x=−12\dfrac{1}{x} = -\dfrac{1}{2} מתקבל x=−2x = -2, וכאשר 1x=−14\dfrac{1}{x} = -\dfrac{1}{4} מתקבל x=−4x = -4; נבחן ערך-ביניים כדי לקבוע את כיוון הטווח.

פתרון אלגברי:

שלושת האגפים שליליים, ולכן 1x\dfrac{1}{x} שלילי וממנו xx שלילי. כאשר הופכים אי-שוויון בין ערכים בעלי אותו סימן, כיוון האי-שוויון מתהפך. נהפוך כל אגף לערכו ההופכי: −2>x>−4\displaystyle -2 > x > -4 (שכן ההופכי של −12-\dfrac{1}{2} הוא −2-2, וההופכי של −14-\dfrac{1}{4} הוא −4-4, והכיוון התהפך). נכתוב את הטווח בסדר עולה: −4<x<−2\displaystyle -4 < x < -2 זו התשובה, וניתן להקיף.

מצבי-קיצון:

הקצוות ממופים על-ידי הערכים ההופכיים: 1x=−12\dfrac{1}{x} = -\dfrac{1}{2} נותן x=−2x = -2, ו-1x=−14\dfrac{1}{x} = -\dfrac{1}{4} נותן x=−4x = -4. כדי לקבוע את כיוון הטווח נבחן ערך-ביניים x=−3x = -3: מתקבל 1x=−13\dfrac{1}{x} = -\dfrac{1}{3}, ואכן −12<−13<−14-\dfrac{1}{2} < -\dfrac{1}{3} < -\dfrac{1}{4} מקיים את הנתון. לכן x=−3x = -3 בטווח, והטווח המדויק הוא −4<x<−2-4 < x < -2. אותה תשובה, וניתן להקיף.
שאלה 6·אלגברהקלה מאוד
כמה מספרים שלמים xx מקיימים את אי-השוויון 8≤x<158 \le x < 15?
  1. א.6
  2. ב.7התשובה הנכונה
  3. ג.8
  4. ד.9
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון אי-שוויון עם שני קצוות בנעלם אחד, ומבקשים כמה מספרים שלמים מקיימים אותו. לכן זו בעיית אי-שוויונות. בתשובות מספרים קטנים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פירוט שיטתי - הטווח כבר נתון במפורש, ולכן פורטים את השלמים שבתוכו וסופרים אותם, תוך תשומת לב לקצה פתוח מול סגור. הדרך הישירה לשאלת "כמה שלמים מקיימים".
  • פתרון אלגברי - סופרים בקיצור דרך הפרש הקצוות, בהתאם לפתיחוּת של כל קצה.

פירוט שיטתי:

הטווח הוא 8≤x<158 \le x < 15: הקצה 88 סגור ולכן נספר, והקצה 1515 פתוח ולכן אינו נספר. נפרט את השלמים שבתוכו: 8,9,10,11,12,13,14\displaystyle 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 בסך הכול 77 ערכים. זו התשובה, וניתן להקיף.

פתרון אלגברי:

הפרש הקצוות הוא 15−8=715 - 8 = 7. מכיוון שהקצה התחתון סגור והעליון פתוח, מספר השלמים בטווח שווה בדיוק להפרש זה, כלומר 77. אותה תשובה.
שאלה 7·אלגברהקלה
נתון: a+3<ba + 3 < b וגם b<c−2b < c - 2. איזו מהטענות הבאות נכונה בהכרח?
  1. א.a < cהתשובה הנכונה
  2. ב.c < a
  3. ג.a = c
  4. ד.b > c
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים שני אי-שוויונות המקשרים בין שלושה נעלמים בשרשרת, ומבקשים מסקנה הנכונה בהכרח. לכן זו בעיית אי-שוויונות, מסוג שרשרת-מסקנה. בתשובות יחסים בין הנעלמים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי - משרשרים את שני האי-שוויונות דרך הנעלם המשותף bb ומקבלים יחס ישיר בין הקצוות. הדרך הישירה, שכן היחס המבוקש נגזר מהשרשור עצמו.
  • הצבת מספרים - התשובות הן יחסים; בוחרים ערכים המקיימים את שני הנתונים ובודקים איזה יחס מתקיים, וערכים שמפרים יחס מוצע פוסלים אותו.

פתרון אלגברי:

נתון a+3<ba + 3 < b וגם b<c−2b < c - 2. שני האי-שוויונות חולקים את bb, ולכן נשרשר דרכו: a+3<b<c−2\displaystyle a + 3 < b < c - 2 מהקצוות נקבל a+3<c−2a + 3 < c - 2. נחסר 33 ונוסיף 22 (למעשה נעביר אגפים): a<c−5\displaystyle a < c - 5 ומכיוון ש-c−5<cc - 5 < c, נובע בפרט ש-a<ca < c. זו התשובה, וניתן להקיף.

הצבת מספרים:

נבחר ערכים המקיימים את שני הנתונים, למשל a=0a = 0, ואז bb גדול מ-33; נבחר b=4b = 4, ואז cc גדול מ-66; נבחר c=7c = 7. נבדוק את היחס: a=0a = 0 ו-c=7c = 7, ואכן a<ca < c מתקיים. כל בחירה חוקית אחרת תיתן אותו כיוון, שכן השרשור מכתיב a<ca < c. ניתן להקיף.
שאלה 8·אלגברהבינונית
על שלושה מספרים ממשיים xx, yy ו-zz ידוע כי x<yx < y, וגם y<zy < z, וגם z<xz < x. כמה שלשות (x,y,z)(x, y, z) מקיימות את שלושת התנאים יחד?
  1. א.אף שלשה אינה מקיימתהתשובה הנכונה
  2. ב.שלשה אחת בלבד
  3. ג.שלוש שלשות בדיוק
  4. ד.אינסוף שלשות
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים שלושה אי-שוויונות המקשרים בין שלושה נעלמים בשרשרת מעגלית, ומבקשים כמה שלשות מקיימות את שלושתם יחד. בתשובות טענות על מספר הפתרונות (מ"אף אחת" ועד "אינסוף"), לא ערכים מספריים.

דרכי פתרון אפשריות

  • התשובות אינן ערכים מספריים אלא טענות על מספר הפתרונות, ולכן הצבת תשובות והצבת מספרים אינן ישימות. נותרה הדרך האלגברית: נשרשר את שלושת האי-שוויונות ונבדוק אם התחום שהם מגדירים עקבי או סותר.

פתרון אלגברי:

נשרשר את שני האי-שוויונות הראשונים. נתון x<yx < y וגם y<zy < z, ולכן: x<y<z\displaystyle x < y < z מכאן נובע בפרט x<zx < z. אבל האי-שוויון השלישי דורש את ההפך, z<xz < x. קיבלנו דרישה כפולה סותרת: מצד אחד x<zx < z, ומצד שני z<xz < x. אף שני מספרים ממשיים אינם יכולים לקיים בעת ובעונה אחת ששניהם קטן זה מזה, ולכן אין ולו שלשה אחת המקיימת את שלושת התנאים. זו התשובה, וניתן להקיף.

כל השאלות, התשובות וההסברים נכתבו ונבדקו על ידי צוות מומחים שחי ונושם פסיכומטרי. כל פריט עובר בקרת איכות לפני שהוא מתפרסם ומתעדכן באופן שוטף, כדי שהתרגול ישקף את רמת הקושי, הסגנון וההיגיון של המבחן האמיתי.