שיא
התחבר לחשבון

תרגול אי שוויונות לפסיכומטרי

אי שוויון נפתר כמו משוואה, עם מלכודת אחת מרכזית: כפל או חילוק במספר שלילי הופך את סימן האי שוויון. זו הטעות הנפוצה ביותר בנושא.

8 שאלות עם פתרון מלא

שאלות מתוך התרגול עצמו. נסה לפתור לבד, ורק אז פתח את הפתרון.

שאלה 1·אלגברהקלה מאוד
כמה מספרים שלמים חיוביים xx מקיימים את אי-השוויון 20−3x>520 - 3x > 5?
  1. א.1
  2. ב.2
  3. ג.3
  4. ד.4התשובה הנכונה
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון אי-שוויון בנעלם אחד שמקדמו שלילי, ומבקשים כמה מספרים שלמים חיוביים מקיימים אותו. בתשובות מספרים קטנים. לכן זו בעיית אי-שוויון.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי - נבודד את xx תוך היפוך סימן האי-שוויון בחלוקה במספר שלילי, ואז נספור את השלמים החיוביים בטווח. הדרך הישירה.
  • פירוט שיטתי - מכיוון שהמספרים בתשובות קטנים והשלמים החיוביים מעטים, נוכל גם להציב x=1,2,3,…x = 1, 2, 3, \ldots בזה אחר זה עד שהתנאי מפסיק להתקיים ולספור כמה עברו.

פתרון אלגברי:

נבודד את איבר ה-xx. נחסר 2020 משני האגפים: −3x>−15\displaystyle -3x > -15 כעת נחלק ב-−3-3. מכיוון שזה מספר שלילי, נהפוך את סימן האי-שוויון: x<5\displaystyle x < 5 השלמים החיוביים המקיימים x<5x < 5 הם 1,2,3,41, 2, 3, 4 - בסך הכול 44 ערכים. זו התשובה, וניתן להקיף.

פירוט שיטתי:

נציב שלמים חיוביים בזה אחר זה ונבדוק את התנאי 20−3x>520 - 3x > 5:
  • המספר 11: מתקבל 20−3=17>520 - 3 = 17 > 5, מקיים.
  • המספר 22: מתקבל 20−6=14>520 - 6 = 14 > 5, מקיים.
  • המספר 33: מתקבל 20−9=11>520 - 9 = 11 > 5, מקיים.
  • המספר 44: מתקבל 20−12=8>520 - 12 = 8 > 5, מקיים.
  • המספר 55: מתקבל 20−15=5>520 - 15 = 5 > 5, אינו מקיים (שוויון, לא גדול-ממש).
עברו את התנאי בדיוק 44 שלמים חיוביים. אותה תשובה, וניתן להקיף.
שאלה 2·אלגברהקלה
כמה מספרים שלמים xx מקיימים את אי-השוויון 1<2x+3<111 < 2x + 3 < 11?
  1. א.3
  2. ב.4התשובה הנכונה
  3. ג.5
  4. ד.6
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

זהו אי-שוויון עם שלושה אגפים בנעלם אחד, ומבקשים כמה מספרים שלמים מקיימים אותו. בתשובות מספרים קטנים, ולכן נמצא את הטווח של xx ונספור שלמים בתוכו.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי - בידוד xx בשלושת האגפים בו-זמנית, ואז ספירת השלמים בטווח תוך תשומת לב לקצוות פתוחים. הדרך הישירה.

פתרון אלגברי:

נבודד את xx באמצע. תחילה נחסר 33 משלושת האגפים: 1−3<2x<11−3\displaystyle 1 - 3 < 2x < 11 - 3 −2<2x<8\displaystyle -2 < 2x < 8 כעת נחלק את שלושת האגפים ב-22 (מספר חיובי, ולכן הסימן אינו מתהפך): −1<x<4\displaystyle -1 < x < 4 הטווח פתוח בשני הקצוות, ולכן −1-1 ו-44 עצמם אינם נספרים. השלמים שביניהם הם 0,1,2,30, 1, 2, 3 - בסך הכול 44 ערכים, וניתן להקיף.
שאלה 3·אלגברהבינונית
נתון: 5−3x>175 - 3x > 17. איזו מהטענות הבאות לגבי xx נכונה בהכרח?
  1. א.x > 4
  2. ב.x > -4
  3. ג.x < -4התשובה הנכונה
  4. ד.x < 4
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

זהו אי-שוויון פשוט בנעלם אחד שמקדמו שלילי, ומבקשים מסקנה על הטווח של xx. התשובות נבדלות בכיוון האי-שוויון ובסימן.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי - בידוד xx תוך הקפדה להפוך את סימן האי-שוויון בחלוקה במספר שלילי. הדרך הישירה.
  • הצבת מספרים - בוחרים ערך מתוך טווח מוצע ובודקים אם הוא מקיים את אי-השוויון; ערך שמפר פוסל את הטווח שלו.

פתרון אלגברי:

נבודד את איבר ה-xx. נחסר 55 משני האגפים: −3x>12\displaystyle -3x > 12 כעת נחלק ב-−3-3. מכיוון שזה מספר שלילי, נהפוך את סימן האי-שוויון: x<12−3\displaystyle x < \frac{12}{-3} x<−4\displaystyle x < -4 זו התשובה, וניתן להקיף.

הצבת מספרים:

נבחר x=−5x = -5 (ערך שלילי קטן) ונבדוק: 5−3⋅(−5)=5+15=20>175 - 3 \cdot (-5) = 5 + 15 = 20 > 17. מקיים, ולכן הטווח השלילי x<−4x < -4 עומד. נבחר x=0x = 0 (מקיים x>−4x > -4 ו-x<4x < 4): 5−0=5>175 - 0 = 5 > 17? לא. לכן הטווחים x>−4x > -4 ו-x<4x < 4 נפסלים, ונשאר x<−4x < -4. ניתן להקיף.
שאלה 4·אלגברהקשה
כמה מספרים שלמים xx מקיימים בו-זמנית את שני התנאים 2≤x−13≤42 \le \dfrac{x - 1}{3} \le 4 וגם x≠10x \ne 10?
  1. א.5
  2. ב.7
  3. ג.6התשובה הנכונה
  4. ד.8
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

זהו אי-שוויון עם שלושה אגפים בנעלם אחד, ובו שבר עם מכנה חיובי. בנוסף נתון תנאי החרגה (x≠10x \ne 10), ובתשובות כמויות של ערכים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי - בידוד xx בשלושת האגפים (כפל במכנה החיובי), ספירת השלמים בטווח הסגור, וחיסור הערך המוחרג. הדרך הישירה.

פתרון אלגברי:

המכנה 33 חיובי, ולכן נכפול את שלושת האגפים ב-33 בלי להפוך סימן: 2⋅3≤x−1≤4⋅3\displaystyle 2 \cdot 3 \le x - 1 \le 4 \cdot 3 6≤x−1≤12\displaystyle 6 \le x - 1 \le 12 נוסיף 11 לשלושת האגפים: 7≤x≤13\displaystyle 7 \le x \le 13 הטווח סגור בשני הקצוות, ולכן 77 ו-1313 נספרים. השלמים הם 7,8,9,10,11,12,137, 8, 9, 10, 11, 12, 13 - בסך הכול 77 ערכים. כעת התנאי x≠10x \ne 10 פוסל ערך אחד מתוכם, ולכן נשארים 7−1=67 - 1 = 6 ערכים, וניתן להקיף.
שאלה 5·אלגברהקשה מאוד
נתון כי xx מקיים את אי-השוויון 6x>3\dfrac{6}{x} > 3. מהו תחום הערכים של xx?
  1. א.x < 2
  2. ב.0 < x < 2התשובה הנכונה
  3. ג.x > 0
  4. ד.x > 2
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון אי-שוויון שבו הנעלם מופיע במכנה, ומבקשים את תחום הערכים שהוא מקיים. לכן זו בעיית אי-שוויונות. בתשובות תחומים, חלקם חסומים משני הצדדים וחלקם מצד אחד בלבד.

דרכי פתרון אפשריות

  • בידוד הנעלם בפעולות הפוכות, בפיצול למקרים לפי הסימן: מותר לכפול אי-שוויון בביטוי רק כשיודעים את סימנו, שכן כפל בשלילי הופך את כיוון האי-שוויון. הנעלם כאן במכנה וסימנו אינו נתון, ולכן מפצלים לשני מקרים ובודקים כל אחד בנפרד. זו הדרך המחייבת כשהנעלם במכנה.
  • הצבת תשובות: בוחרים ערך מייצג מכל תחום שבתשובות ובודקים אם הוא מקיים את אי-השוויון. שלוש בדיקות מספיקות כדי להכריע, וזו דרך עצמאית ולא רק אימות.
  • 🔴 הנקודה שקובעת: xx אינו יכול להיות אפס כלל, שכן חלוקה באפס אינה מוגדרת. כל תשובה שהתחום שלה כולל את האפס פסולה עוד לפני החישוב.

פתרון אלגברי:

מקרה ראשון, xx חיובי. כפל בגורם חיובי אינו משנה את כיוון האי-שוויון:
6 > 3x 2 > x
יחד עם ההנחה שהמקרה עומד עליה, מתקבל התחום:
0 < x < 2
מקרה שני, xx שלילי. כפל בגורם שלילי הופך את כיוון האי-שוויון:
6 < 3x 2 < x
כלומר xx גדול מ-22, וזה סותר את ההנחה שממנה יצאנו, ש-xx שלילי. מספר אינו יכול להיות גם שלילי וגם גדול מ-22, ולכן במקרה הזה אין פתרון כלל. איחוד שני המקרים משאיר תחום אחד בלבד:
0 < x < 2
זו התשובה, וניתן להקיף.

הצבת תשובות:

עבור x=1x=1 מתקבל 61=6\dfrac{6}{1} = 6, וזה אכן גדול מ-33. עבור x=−1x=-1 מתקבל 6−1=−6\dfrac{6}{-1} = -6, וזה קטן מ-33 ואינו מקיים. עבור x=3x=3 מתקבל 63=2\dfrac{6}{3} = 2, וגם הוא אינו מקיים. הערה למי שבחר x<2x < 2: זהו התחום שמתקבל מכפל ב-xx בלי לבדוק את סימנו. הוא כולל את כל המספרים השליליים, ואלה דווקא אינם מקיימים את אי-השוויון, שכן שבר עם מכנה שלילי הוא שלילי ואינו יכול לעלות על 33.
שאלה 6·אלגברהקלה מאוד
נתון: 4x−7≥2x+34x - 7 \ge 2x + 3. איזו מהטענות הבאות לגבי xx נכונה בהכרח?
  1. א.x ≥ 2
  2. ב.x ≥ 5התשובה הנכונה
  3. ג.x ≤ 5
  4. ד.x ≥ 10
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון אי-שוויון בנעלם אחד שהנעלם מופיע בו בשני האגפים, ומבקשים איזו טענה על הטווח של xx נכונה בהכרח. לכן זו בעיית אי-שוויונות. בתשובות טענות טווח הנבדלות בכיוון ובחסם המספרי.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי - נעביר את איברי הנעלם לאגף אחד ואת המספרים לאגף השני, נבודד את xx, ונקבל את הטווח המדויק. הדרך הישירה.
  • הצבת תשובות - הטענות הן טווחים, ולכן נוכל לבחור מספר-בדיקה שמפריד בין הטווחים ולבדוק אם הוא מקיים את אי-השוויון הנתון, כדי לפסול טענות שאינן נכונות בהכרח.

פתרון אלגברי:

נכנס את איברי הנעלם. נחסר 2x2x משני האגפים: 2x−7≥3\displaystyle 2x - 7 \ge 3 נוסיף 77 לשני האגפים: 2x≥10\displaystyle 2x \ge 10 נחלק ב-22 (מספר חיובי, ולכן הסימן נשמר): x≥5\displaystyle x \ge 5 זו התשובה, וניתן להקיף.

הצבת תשובות:

נבחר x=5x = 5 (הערך שמפריד בין הטווחים) ונבדוק את אי-השוויון הנתון: אגף שמאל 4⋅5−7=134 \cdot 5 - 7 = 13, אגף ימין 2⋅5+3=132 \cdot 5 + 3 = 13, ואכן 13≥1313 \ge 13 מתקיים - ולכן הקצה סגור על 55, כפי שהטענה x≥5x \ge 5 קובעת. נבחר x=3x = 3 (מקיים את הטענה x≥2x \ge 2 אך לא את x≥5x \ge 5): אגף שמאל 4⋅3−7=54 \cdot 3 - 7 = 5, אגף ימין 2⋅3+3=92 \cdot 3 + 3 = 9, ו-5≥95 \ge 9 אינו מתקיים - ולכן x=3x = 3 אינו פתרון של הנתון, והטענה x≥2x \ge 2 אינה נכונה בהכרח. הטענה המדויקת היא x≥5x \ge 5. אותה תשובה, וניתן להקיף.
שאלה 7·אלגברהקלה
נתון: x>2x > 2 וגם 9−x>39 - x > 3. איזה מהטווחים הבאים הוא הטווח המדויק של xx?
  1. א.x > 2
  2. ב.x < 6
  3. ג.2 < x < 6התשובה הנכונה
  4. ד.3 < x < 9
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים שני אי-שוויונים בנעלם אחד שצריכים להתקיים בו-זמנית, ומבקשים את הטווח המדויק של xx. בתשובות טווחים. לכן זו בעיית אי-שוויון.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי - נבודד את xx בכל אחד מהתנאים בנפרד, ונאחד את שני התחומים שהתקבלו לחיתוך שלהם. הדרך הישירה.
  • הצבת תשובות - התשובות הן טווחים, ולכן נוכל לבחור מספר-בדיקה בכל טווח מוצע ולוודא שהוא מקיים את שני התנאים, ולבדוק גם ערך מחוץ לטווח שהתנאים אמורים לפסול.

פתרון אלגברי:

התנאי הראשון כבר מבודד: x>2x > 2. נבודד את xx בתנאי השני, 9−x>39 - x > 3. נחסר 99 משני האגפים: −x>−6\displaystyle -x > -6 נכפול ב-−1-1, ומכיוון שזה מספר שלילי נהפוך את סימן האי-שוויון: x<6\displaystyle x < 6 שני התנאים צריכים להתקיים יחד, ולכן נחתוך: x>2x > 2 וגם x<6x < 6, כלומר 2<x<62 < x < 6. זו התשובה, וניתן להקיף.

הצבת תשובות:

נבחר את x=4x = 4 (מספר שנמצא בתוך הטווח 2<x<62 < x < 6) ונבדוק את שני התנאים: 4>24 > 2 מתקיים, וגם 9−4=5>39 - 4 = 5 > 3 מתקיים. הטווח 2<x<62 < x < 6 עומד בשני התנאים. כדי לאתר את הקצוות נבדוק ערכים ששני התנאים אמורים לפסול. נבחר x=2x = 2: התנאי x>2x > 2 אינו מתקיים, ולכן הקצה התחתון סגור על 22. נבחר x=7x = 7: התנאי 9−7=2>39 - 7 = 2 > 3 אינו מתקיים, ולכן הקצה העליון חסום מתחת ל-77. הטווח המדויק הוא 2<x<62 < x < 6, וניתן להקיף.
שאלה 8·אלגברהבינונית
נתון: x2+5<x3+7\dfrac{x}{2} + 5 < \dfrac{x}{3} + 7. איזו מהטענות הבאות לגבי xx נכונה בהכרח?
  1. א.x < 6
  2. ב.x < 12התשובה הנכונה
  3. ג.x > 12
  4. ד.x < 2
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון אי-שוויון בנעלם אחד שבו הנעלם מופיע בשני שברים, ומבקשים מסקנה על הטווח של xx. בתשובות טווחים הנבדלים בכיוון האי-שוויון ובחסם המספרי. לכן זו בעיית אי-שוויון.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי - נכפול את שני האגפים במכנה משותף כדי להיפטר מהשברים, ואז נבודד את xx. הדרך הישירה.
  • הצבת תשובות - התשובות הן טווחים, ולכן נוכל לבחור מספר-בדיקה מכל טווח מוצע: ערך שמקיים את אי-השוויון תואם לטווח הנכון, וערך שמפר אותו פוסל את טווחו.

פתרון אלגברי:

המכנה המשותף של 22 ו-33 הוא 66. נכפול את שני האגפים ב-66 (מספר חיובי, ולכן הסימן אינו מתהפך): 3x+30<2x+42\displaystyle 3x + 30 < 2x + 42 נחסר 2x2x ו-3030 משני האגפים כדי לבודד את xx: x<12\displaystyle x < 12 מקדם הנעלם שהתקבל חיובי, ולכן הסימן נשמר. זו התשובה, וניתן להקיף.

הצבת תשובות:

נבחר x=0x = 0 (מספר שמקיים x<12x < 12 אך אינו מקיים x>12x > 12) ונבדוק את אי-השוויון: אגף שמאל 02+5=5\dfrac{0}{2} + 5 = 5, אגף ימין 03+7=7\dfrac{0}{3} + 7 = 7, ואכן 5<75 < 7 מתקיים. לכן הטענה x>12x > 12 נפסלת. נבחר x=6x = 6 (מקיים x<12x < 12 אך לא x<6x < 6 ולא x<2x < 2): אגף שמאל 62+5=8\dfrac{6}{2} + 5 = 8, אגף ימין 63+7=9\dfrac{6}{3} + 7 = 9, ואכן 8<98 < 9 מתקיים. לכן הטענות x<6x < 6 ו-x<2x < 2 אינן נכונות בהכרח (שכן x=6x = 6 מקיים את הנתון אך אינו בטווחן), ונשארת x<12x < 12. אותה תשובה, וניתן להקיף.

כל השאלות, התשובות וההסברים נכתבו ונבדקו על ידי צוות מומחים שחי ונושם פסיכומטרי ואמירנט. כל פריט עובר בקרת איכות לפני שהוא מתפרסם ומתעדכן באופן שוטף, כדי שהתרגול ישקף את רמת הקושי, הסגנון וההיגיון של המבחן האמיתי.

שיא

© 2026 · שיא. סימולטור פסיכומטרי ואמירנט