תרגול מספרים שלמים לפסיכומטרי

בשאלות שלמים שווה לבדוק מקרי קצה: אפס, מספר שלילי, ואחד. הרבה שאלות בנויות בדיוק סביב המקרים שקל לשכוח.

8 שאלות עם פתרון מלא

שאלות מתוך התרגול עצמו. נסה לפתור לבד, ורק אז פתח את הפתרון.

שאלה 1·אלגברהקלה מאוד

מהי ספרת האחדות של

6^7

א.2
ב.6התשובה הנכונה
ג.8
ד.4

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

מבקשים את ספרת האחדות של חזקה,

6^7

, שאי אפשר לחשב במלואה בקלות. לכן זו בעיית שלמים. בתשובות ספרות בודדות.

דרכי פתרון אפשריות

פתרון עקרוני - ספרת האחדות של חזקה נקבעת רק מספרת האחדות של הבסיס, ולכן בודקים מה קורה לספרת האחדות של $6$ בכל חזקה. אין דרך פסיכומטרית קצרה יותר, שכן ספרות בודדות בתשובות אינן ניתנות להצבה-לאחור.

פתרון עקרוני:

ספרת האחדות של מכפלה נקבעת רק מספרות האחדות של הגורמים, ולכן נעקוב אחר ספרת האחדות של חזקות

6

הראשונות:

\displaystyle 6^1 = 6 \qquad 6^2 = 36 \qquad 6^3 = 216

ספרת האחדות נשארת

6

בכל חזקה, שכן

6 \cdot 6

מסתיים ב-

6

(

36

), וכל כפל נוסף ב-

6

שומר על הספרה

6

. לכן גם ספרת האחדות של

6^7

היא

6

. זו התשובה, וניתן להקיף.

שאלה 2·אלגברהקלה

סכום שלושה מספרים שלמים עוקבים הוא

48

. מה המספר הגדול מבין השלושה?

א.15
ב.16
ג.17התשובה הנכונה
ד.18

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון סכומם של שלושה מספרים שלמים עוקבים, ושואלים מהו הגדול שבהם. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

הצבת תשובות - הערכים בתשובות קטנים, ולכן אפשר לקחת כל תשובה כמספר הגדול, לגזור ממנה את שני הקודמים, ולבדוק את הסכום. בחירה לגיטימית ונוחה כאן.
פתרון אלגברי - מסמנים את העוקבים $n, n+1, n+2$ וכותבים את משוואת הסכום.

הצבת תשובות:

נתחיל מתשובה אמצעית ונוחה, נניח

16

. לפני החישוב נזכור את כלל ההתאמה: אם הסכום שנקבל גבוה מ-

48

נעבור לתשובה קטנה יותר, ואם נמוך - נעבור לגדולה יותר. אם הגדול הוא

16

, השלושה הם

14, 15, 16

, וסכומם

45

. זה נמוך מ-

48

, ולכן נעבור לתשובה גדולה יותר. נבדוק את

17

: השלושה הם

15, 16, 17

, וסכומם

48

. מתאים בדיוק, וניתן להקיף. טיפ של אלופים: אין צורך לחשב את הסכום עד הסוף. ספרת היחידות של

48

היא

8

, ולכן מספיק לחבר את ספרות היחידות של שלושת המספרים ולבדוק אם התקבלה

8

. עבור

15, 16, 17

5 + 6 + 7 = 18

, וספרת היחידות היא

8

- מתאים. (עבור

14, 15, 16

4 + 5 + 6 = 15

, ספרת יחידות

5

- לא מתאים.)

פתרון אלגברי:

נסמן את שלושת העוקבים

n, n+1, n+2

, ונכתוב את משוואת הסכום:

\displaystyle n + (n+1) + (n+2) = 48

\displaystyle 3n + 3 = 48 \quad\Rightarrow\quad 3n = 45 \quad\Rightarrow\quad n = 15

המספר הגדול הוא

n + 2 = 17

, וניתן להקיף.

שאלה 3·אלגברהבינונית

נתון:

n

הוא מספר שלם. איזה מהביטויים הבאים הוא בהכרח מספר זוגי?

א.n + 1
ב.2n + 3
ג.n²
ד.n² + nהתשובה הנכונה

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון שלם

n

, ושואלים איזה מהביטויים בתשובות הוא בהכרח זוגי. הביטויים בתשובות מכילים את הנעלם

n

בצורות שונות.

דרכי פתרון אפשריות

פתרון עקרוני - עוברים תשובה-תשובה לפי הסדר ובודקים לכל ביטוי אם הוא יוצא זוגי תמיד (גם כש- $n$ זוגי וגם כש- $n$ אי-זוגי), עד שמוצאים את המתאים או פוסלים את שלושת הראשונים. כלים: שלם זוגי הוא $2k$ , אי-זוגי הוא $2k+1$ , ומכפלת שני עוקבים זוגית תמיד.
הצבת מספרים - מציבים ערך זוגי וערך אי-זוגי ( $n = 2$ ו- $n = 3$ ) בכל תשובה, ובודקים מי נשארת זוגית בשני המקרים.

פתרון עקרוני:

נעבור על התשובות לפי הסדר ונבדוק לכל אחת אם היא זוגית תמיד: תשובה (1),

n + 1

: כש-

n

זוגי,

n + 1

אי-זוגי. לא תמיד זוגי. נפסל. תשובה (2),

2n + 3

2n

זוגי תמיד, ובתוספת

3

התוצאה אי-זוגית תמיד. לא זוגי. נפסל. תשובה (3),

n^2

: כש-

n

אי-זוגי,

n^2

אי-זוגי. לא תמיד זוגי. נפסל. פסלנו את שלוש הראשונות, ולכן התשובה היא (4). למי שרוצה להבין מדוע (4) אכן זוגית:

n^2 + n = n(n+1)

הוא מכפלת שני מספרים שלמים עוקבים, ומבין שני עוקבים אחד תמיד זוגי, ולכן המכפלה זוגית תמיד. ניתן להקיף.

הצבת מספרים:

נציב ערך זוגי

n = 2

וערך אי-זוגי

n = 3

בכל תשובה לפי הסדר: תשובה (1),

n + 1

: עבור

n = 2

מתקבל

3

(אי-זוגי). נפסל. תשובה (2),

2n + 3

: עבור

n = 2

מתקבל

7

(אי-זוגי). נפסל. תשובה (3),

n^2

: עבור

n = 3

מתקבל

9

(אי-זוגי). נפסל. תשובה (4),

n^2 + n

: עבור

n = 2

מתקבל

6

(זוגי), ועבור

n = 3

מתקבל

12

(זוגי). זוגי בשני המקרים. זו התשובה, וניתן להקיף.

שאלה 4·אלגברהקשה

נתון ש-

a

ו-

b

הם מספרים שלמים המקיימים

-3 \le a \le 2

וגם

-4 \le b \le 1

. מהו הערך הגדול ביותר האפשרי של המכפלה

a \cdot b

א.12התשובה הנכונה
ב.8
ג.2
ד.3

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים שני מספרים שלמים,

a

ו-

b

, כל אחד בטווח נתון הכולל גם ערכים שליליים, ושואלים מהו הערך הגדול ביותר של המכפלה

a \cdot b

. בתשובות מספרים.

דרכי פתרון אפשריות

מצבי קיצון - הערך הקיצוני של מכפלה בטווח מתקבל באחד מצירופי הקצוות, ולכן בודקים את צירופי הקצה ובוחרים את הגדול. חשוב לזכור שמכפלת שני שליליים יוצאת חיובית, ולכן צריך לבדוק גם את צירוף שני הקצוות השליליים.

מצבי קיצון:

ערכי הקצה של

a

הם

-3

ו-

2

, ושל

b

הם

-4

ו-

1

. מכפלה יוצאת חיובית כששני הגורמים חיוביים או כששניהם שליליים, ולכן נשים לב במיוחד לצירוף שני הקצוות השליליים. נבדוק את ארבעת צירופי הקצה: הצירוף

(-3) \cdot (-4)

נותן

12

. הצירוף

2 \cdot 1

נותן

2

. הצירוף

(-3) \cdot 1

נותן

-3

. הצירוף

2 \cdot (-4)

נותן

-8

. הגדול שבהם הוא

12

, המתקבל דווקא משני הקצוות השליליים. לכן הערך הגדול ביותר של

a \cdot b

הוא

12

, וניתן להקיף.

שאלה 5·אלגברהקשה מאוד

נתון ש-

p

מספר ראשוני, וידוע שגם המספר

p^2 + 2

הוא ראשוני. מהו הערך של

p

א.2
ב.3התשובה הנכונה
ג.5
ד.7

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון מספר ראשוני שגם המספר המתקבל מהעלאתו בריבוע ועוד

2

הוא ראשוני, ושואלים מהו ערכו. לכן זו בעיית שלמים המשולבת בחלוקה. בתשובות מספרים ראשוניים.

דרכי פתרון אפשריות

הצבת תשובות - הערכים בתשובות הם ראשוניים קונקרטיים; נבדוק לכל אחד אם $p^2 + 2$ יוצא גם הוא ראשוני, ונשאיר את זה שמקיים. בחירה מעשית כאן, שכן יש רק ארבעה מועמדים.
פתרון עקרוני - מזהים שלכל ראשוני $p$ שאינו $3$ , המספר $p^2 + 2$ מתחלק ב- $3$ ולכן אינו ראשוני; מכאן ש- $p = 3$ הוא היחיד האפשרי. זו הדרך שמכריעה בלי לבדוק כל מועמד.

הצבת תשובות:

נבדוק לכל תשובה אם

p^2 + 2

יוצא ראשוני: התשובה

2

2^2 + 2 = 6 = 2 \cdot 3

, אינו ראשוני. נפסל. התשובה

3

3^2 + 2 = 11

, ראשוני. מתאים. התשובה

5

5^2 + 2 = 27 = 3^3

, אינו ראשוני. נפסל. התשובה

7

7^2 + 2 = 51 = 3 \cdot 17

, אינו ראשוני. נפסל. המספר היחיד שעבורו

p^2 + 2

ראשוני הוא

3

. זו התשובה, וניתן להקיף.

פתרון עקרוני:

מדוע דווקא

3

מכריע כאן, גם ללא בדיקת כל מועמד? נבחן את השארית של

p^2

בחלוקה ב-

3

. כל מספר שאינו כפולה של

3

נותן שארית

1

או

2

בחלוקה ב-

3

, ובשני המקרים ריבועו נותן שארית

1

(שכן

1^2 = 1

ו-

2^2 = 4

נותן שארית

1

). לכן לכל ראשוני

p \ne 3

מתקבל ש-

p^2

נותן שארית

1

, ומכאן ש-

p^2 + 2

נותן שארית

1 + 2 = 3

, כלומר שארית

0

: הוא מתחלק ב-

3

ואינו ראשוני. נותר רק המקרה

p = 3

: אז

p^2 + 2 = 11

, ראשוני. לכן הערך היחיד הוא

p = 3

, וניתן להקיף.

שאלה 6·אלגברהקלה מאוד

סכום שלושה מספרים שלמים עוקבים הוא

72

. מהו הגדול מבין השלושה?

א.23
ב.24
ג.25התשובה הנכונה
ד.26

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון סכומם של שלושה מספרים שלמים עוקבים, ושואלים מהו הגדול שבהם. לכן זו בעיית שלמים. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

הצבת תשובות - הערכים בתשובות קטנים, ולכן אפשר לקחת כל תשובה כמספר הגדול, לגזור ממנה את שני הקודמים, ולבדוק את הסכום. בחירה לגיטימית ונוחה כאן.
פתרון אלגברי - מסמנים את שלושת העוקבים $n, n+1, n+2$ וכותבים את משוואת הסכום.

הצבת תשובות:

נתחיל מתשובה אמצעית ונוחה, נניח

24

. לפני החישוב נזכור את כלל ההתאמה: אם הסכום שנקבל גבוה מ-

72

נעבור לתשובה קטנה יותר, ואם נמוך - נעבור לגדולה יותר. אם הגדול הוא

24

, השלושה הם

22, 23, 24

, וסכומם

69

. זה נמוך מ-

72

, ולכן נעבור לתשובה גדולה יותר. נבדוק את

25

: השלושה הם

23, 24, 25

, וסכומם

72

. מתאים בדיוק, וזו התשובה. ניתן להקיף.

פתרון אלגברי:

נסמן את שלושת העוקבים

n, n+1, n+2

, ונכתוב את משוואת הסכום:

\displaystyle n + (n+1) + (n+2) = 72

\displaystyle 3n + 3 = 72 \quad\Rightarrow\quad 3n = 69 \quad\Rightarrow\quad n = 23

המספר הגדול הוא

n + 2 = 25

, וניתן להקיף.

שאלה 7·אלגברהקלה

נתונים

a

ו-

b

מספרים שלמים, וידוע שהמכפלה

a \cdot b

היא אי-זוגית. מה בהכרח נכון?

א.לפחות אחד מהם זוגי
ב.ההפרש a − b אי-זוגי
ג.המספר a · b + 1 אי-זוגי
ד.הסכום a + b זוגיהתשובה הנכונה

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים שני מספרים שלמים שמכפלתם אי-זוגית, ושואלים מה בהכרח נכון לגביהם. לכן זו בעיית שלמים המשולבת בחלוקה. בתשובות טענות על זוגיות ההפרש, הסכום והמכפלה.

דרכי פתרון אפשריות

הצבת מספרים - בוחרים זוג $a, b$ שמכפלתם אי-זוגית, ובודקים אילו מן הטענות מתקיימות; לטענת "בהכרח" מספיקה דוגמה נגדית אחת כדי לפסול טענה שגויה.
פתרון עקרוני - מזהים שמכפלה אי-זוגית מחייבת ששני הגורמים אי-זוגיים, ומסיקים מכך על הסכום.

הצבת מספרים:

מכפלה אי-זוגית מתקבלת רק כששני הגורמים אי-זוגיים, ולכן נבחר זוג אי-זוגיים, למשל

a = 3

ו-

b = 5

(מכפלתם

15

, אי-זוגית). נבדוק את הטענות: תשובה (1), "לפחות אחד מהם זוגי": שניהם אי-זוגיים, נפסל. תשובה (2), "ההפרש

a - b

אי-זוגי":

3 - 5 = -2

(זוגי), ולכן הטענה שגויה, נפסל. תשובה (3), "המספר

a \cdot b + 1

אי-זוגי":

15 + 1 = 16

(זוגי), ולכן הטענה שגויה, נפסל. תשובה (4), "הסכום

a + b

זוגי":

3 + 5 = 8

(זוגי), מתקיים. נבדוק זוג נוסף,

a = 1, b = 7

: המכפלה

7

אי-זוגית, והסכום

1 + 7 = 8

זוגי. הטענה מתקיימת שוב, ולכן זו התשובה. ניתן להקיף.

פתרון עקרוני:

מכפלה של שני שלמים יוצאת אי-זוגית רק כאשר שני הגורמים אי-זוגיים (אם אחד מהם זוגי, המכפלה זוגית). לכן

a

ו-

b

שניהם אי-זוגיים, וסכום שני אי-זוגיים הוא תמיד זוגי. מכאן ש-

a + b

זוגי בהכרח. זו התשובה, וניתן להקיף.

שאלה 8·אלגברהבינונית

מהי ספרת האחדות של

2^{18}

א.2
ב.4התשובה הנכונה
ג.8
ד.6

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

מבקשים את ספרת האחדות של חזקה,

2^{18}

, שאי אפשר לחשב במלואה. בתשובות ספרות בודדות.

דרכי פתרון אפשריות

פתרון עקרוני - מחשבים את ספרת האחדות של החזקות הראשונות, מזהים מחזור חוזר, ומשליכים על המעריך $18$ .

פתרון עקרוני:

ספרת האחדות של חזקה נקבעת רק מספרת האחדות של הגורמים, ולכן נעקוב אחר ספרות האחדות של חזקות

2

הראשונות:

\displaystyle 2^1 = 2 \qquad 2^2 = 4 \qquad 2^3 = 8 \qquad 2^4 = 16

ספרות האחדות חוזרות במחזור באורך

4

\quad2, 4, 8, 6, \quad2, 4, 8, 6, \dots

כדי לדעת היכן

2^{18}

נופל במחזור, נחלק את המעריך ב-

4

ונבדוק את השארית:

\displaystyle 18 = 4 \cdot 4 + 2

השארית

2

פירושה שהמיקום הוא השני במחזור. הספרה השנייה במחזור היא

4

, ולכן ספרת האחדות של

2^{18}

היא

4

, וניתן להקיף.