שיא
כניסה

תרגול מספרים שלמים לפסיכומטרי

בשאלות שלמים שווה לבדוק מקרי קצה: אפס, מספר שלילי, ואחד. הרבה שאלות בנויות בדיוק סביב המקרים שקל לשכוח.

8 שאלות עם פתרון מלא

שאלות מתוך התרגול עצמו. נסה לפתור לבד, ורק אז פתח את הפתרון.

שאלה 1·אלגברהקלה מאוד
סכומם של שלושה מספרים זוגיים עוקבים הוא 4848. מהו הגדול שבהם?
  1. א.12
  2. ב.14
  3. ג.16
  4. ד.18התשובה הנכונה
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים שלושה מספרים שלמים שהם זוגיים ועוקבים, ונתון סכומם, ושואלים מהו הגדול שבהם. לכן זו בעיית מספרים שלמים. בתשובות מספרים שלמים קטנים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי - מסמנים את המספר האמצעי ומבטאים דרכו את שלושת המספרים, שכן שלושה מספרים זוגיים עוקבים נבדלים ב-22 זה מזה, ופותרים משוואה מהסכום.
  • הצבת תשובות - התשובות הן ערכי הגדול שבשלושה; אפשר לשחזר מכל תשובה את שני קודמיה ולבדוק את הסכום. הערכים קטנים, ולכן ההצבה מעשית.

פתרון אלגברי:

נסמן ב-xx את המספר האמצעי. שלושה מספרים זוגיים עוקבים נבדלים ב-22, ולכן הם x−2x-2, xx ו-x+2x+2. נכתוב את משוואת הסכום: (x−2)+x+(x+2)=48\displaystyle (x-2) + x + (x+2) = 48 נפשט ונקבל 3x=483x = 48, כלומר x=16x = 16. הגדול שבשלושה: x+2=18\displaystyle x + 2 = 18 זו התשובה, וניתן להקיף.

הצבת תשובות:

נבחן את תשובה (4), 1818. אם הגדול הוא 1818, שני קודמיו הם 1616 ו-1414, וסכומם 18+16+14=4818 + 16 + 14 = 48 - בדיוק הנתון. התנאי מתקיים, וזו התשובה. ניתן להקיף.
שאלה 2·אלגברהקלה
סכומם של שלושה מספרים שלמים עוקבים הוא 5757. מהו הגדול שבהם?
  1. א.18
  2. ב.19
  3. ג.20התשובה הנכונה
  4. ד.21
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

הנתונים הם שלושה מספרים שלמים עוקבים וסכומם, ומבקשים את הגדול שבהם. לכן זו בעיית שלמים. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

  • ביטוי לעוקבים - מסמנים את שלושת העוקבים כ-a,a+1,a+2a, a+1, a+2, בונים משוואה מהסכום, ומחלצים את הגדול. כשהתשובות מספריות ניתן גם להציב אותן, אך הביטוי לעוקבים קצר ומיידי כאן.
  • פתרון דרך הממוצע - בסדרה של מספרים עוקבים הסכום מתחלק בשווה, והאיבר האמצעי שווה לסכום חלקי מספר האיברים; מהאמצעי מגיעים לגדול.

ביטוי לעוקבים:

נסמן את שלושת המספרים העוקבים ב-aa, a+1a+1 ו-a+2a+2. סכומם נתון: a+(a+1)+(a+2)=57\displaystyle a + (a+1) + (a+2) = 57 נכנס איברים: 3a+3=57\displaystyle 3a + 3 = 57 3a=54  ⇒  a=18\displaystyle 3a = 54 \;\Rightarrow\; a = 18 הקטן שבהם הוא 1818, ולכן הגדול שבהם הוא a+2=20a + 2 = 20. זו התשובה, וניתן להקיף.

פתרון דרך הממוצע:

בסדרה של שלושה עוקבים האיבר האמצעי הוא הממוצע, כלומר הסכום חלקי 33: 573=19\displaystyle \dfrac{57}{3} = 19 הגדול שבהם עוקב לאמצעי, ולכן הוא 19+1=2019 + 1 = 20. אותה תשובה.
שאלה 3·אלגברהבינונית
נתון כי nn מספר שלם הגדול מ-11. איזה מהביטויים הבאים הוא בהכרח מספר זוגי?
  1. א.n² + 1
  2. ב.2n − 1
  3. ג.n² + nהתשובה הנכונה
  4. ד.3n
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון מספר שלם כללי, ומבקשים איזה ביטוי מבין ארבעה הוא בהכרח זוגי, כלומר זוגי לכל ערך של הנעלם. לכן זו בעיית שלמים בתכונת זוגיות. בתשובות ארבעה ביטויים התלויים בנעלם, שונים זה מזה.

דרכי פתרון אפשריות

  • התשובות הן ביטויים התלויים בנעלם, ולכן אפשר בהצבת מספרים מהראש, מציבים ערך זוגי וערך אי-זוגי ופוסלים כל ביטוי שיצא אי-זוגי ולו פעם אחת, שכן די בדוגמה נגדית אחת כדי להפילו. אפשר גם בהבנה עקרונית של זוגיות הביטויים. נדגים את שתיהן.

הצבת מספרים:

נבחן כל תשובה עבור ערך זוגי וערך אי-זוגי, שכן ביטוי שאינו זוגי באחד מהם אינו זוגי בהכרח. נציב n=2n=2 (זוגי) ו-n=3n=3 (אי-זוגי):
  • תשובה (1), n2+1n^2+1: עבור n=2n=2 מתקבל 55, אי-זוגי, ולכן נפסלת.
  • תשובה (2), 2n−12n-1: עבור n=2n=2 מתקבל 33, אי-זוגי, ולכן נפסלת.
  • תשובה (3), n2+nn^2+n: עבור n=2n=2 מתקבל 66, ועבור n=3n=3 מתקבל 1212, זוגי בשני המקרים.
  • תשובה (4), 3n3n: עבור n=3n=3 מתקבל 99, אי-זוגי, ולכן נפסלת.
רק תשובה (3) נותרה זוגית תמיד, וניתן להקיף.

פתרון אלגברי:

נראה שהביטוי n2+nn^2+n זוגי בהכרח על ידי הוצאת גורם משותף: n2+n=n(n+1)\displaystyle n^2 + n = n(n+1) זו מכפלה של שני מספרים שלמים עוקבים. מבין כל שני עוקבים אחד תמיד זוגי, ולכן המכפלה זוגית לכל ערך של nn. זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 4·אלגברהקשה
נתון ש-aa ו-bb מספרים שלמים המקיימים −5≤a≤3-5 \le a \le 3 וגם −2≤b≤4-2 \le b \le 4. מהו הערך הגדול ביותר האפשרי של המכפלה a⋅ba \cdot b?
  1. א.12התשובה הנכונה
  2. ב.15
  3. ג.20
  4. ד.10
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים שני מספרים שלמים, aa ו-bb, כל אחד בטווח נתון הכולל גם ערכים שליליים, ושואלים מהו הערך הגדול ביותר של המכפלה a⋅ba \cdot b. לכן זו בעיית שלמים (מקסימום מכפלה בטווח). בתשובות מספרים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי (בדיקת ערכי קצה) - הערך הקיצוני של מכפלה בטווח מתקבל באחד מצירופי הקצוות, ולכן בודקים את צירופי הקצה ובוחרים את הגדול. חשוב לזכור שמכפלת שני שליליים יוצאת חיובית, ולכן צריך לבדוק גם את צירוף שני הקצוות השליליים.

פתרון אלגברי (בדיקת ערכי קצה):

ערכי הקצה של aa הם −5-5 ו-33, ושל bb הם −2-2 ו-44. מכפלה יוצאת חיובית כששני הגורמים חיוביים או כששניהם שליליים, ולכן נשים לב במיוחד לצירוף שני הקצוות השליליים. נבדוק את ארבעת צירופי הקצה: הצירוף 3⋅43 \cdot 4 נותן 1212. הצירוף (−5)⋅(−2)(-5) \cdot (-2) נותן 1010. הצירוף 3⋅(−2)3 \cdot (-2) נותן −6-6. הצירוף (−5)⋅4(-5) \cdot 4 נותן −20-20. הגדול שבהם הוא 1212, המתקבל מצירוף שני הקצוות החיוביים. לכן הערך הגדול ביותר של a⋅ba \cdot b הוא 1212, וניתן להקיף.
שאלה 5·אלגברהקשה מאוד
נתונים pp ו-qq מספרים ראשוניים שסכומם 3939. מהו הערך של המכפלה p⋅qp \cdot q?
  1. א.38
  2. ב.68
  3. ג.74התשובה הנכונה
  4. ד.84
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים שני מספרים ראשוניים שסכומם נתון, ושואלים מהו הערך של מכפלתם. לכן זו בעיית שלמים (אילוץ ראשוניות). בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון עקרוני (אילוץ הראשוני הזוגי) - הסכום הנתון הוא אי-זוגי, וסכום אי-זוגי של שני מספרים מחייב שאחד מהם זוגי והשני אי-זוגי; הראשוני הזוגי היחיד הוא 22, ולכן אחד הראשוניים חייב להיות 22, וממנו נגזר השני והמכפלה. זו הדרך הישירה לזהות את הזוג בלי ניחוש.
  • פתרון אלגברי - מבטאים q=39−pq = 39 - p ומחפשים ערך של pp ראשוני שנותן גם qq ראשוני; התובנה על הראשוני הזוגי מקצרת את החיפוש למועמד יחיד.

פתרון עקרוני (אילוץ הראשוני הזוגי):

הסכום 3939 הוא אי-זוגי. סכום של שני מספרים יוצא אי-זוגי רק כשאחד מהם זוגי והשני אי-זוגי (שני זוגיים או שני אי-זוגיים נותנים סכום זוגי). לכן אחד משני הראשוניים חייב להיות זוגי, והראשוני הזוגי היחיד הוא 22. נקבע אם כן p=2p = 2, ואז המספר השני הוא: q=39−2=37\displaystyle q = 39 - 2 = 37 3737 אכן ראשוני, ולכן הזוג תקין. המכפלה המבוקשת: p⋅q=2⋅37=74\displaystyle p \cdot q = 2 \cdot 37 = 74 זו התשובה, וניתן להקיף.

פתרון אלגברי:

נבטא את השני באמצעות הראשון, q=39−pq = 39 - p. אילו שני הראשוניים היו אי-זוגיים, סכומם היה זוגי, בסתירה לכך שהסכום 3939 אי-זוגי; לכן אחד מהם חייב להיות זוגי, כלומר 22 (הראשוני הזוגי היחיד). נציב p=2p = 2 ונקבל q=39−2=37q = 39 - 2 = 37, שהוא ראשוני. המכפלה 2⋅37=742 \cdot 37 = 74, וניתן להקיף.
שאלה 6·אלגברהקלה מאוד
סכומם של שלושה מספרים שלמים עוקבים הוא 5151. מהו הקטן שבהם?
  1. א.15
  2. ב.16התשובה הנכונה
  3. ג.17
  4. ד.18
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון סכום של שלושה מספרים שלמים עוקבים, ומבקשים את הקטן שבהם. לכן זו בעיית מספרים שלמים עוקבים. בתשובות מספרים שלמים סמוכים זה לזה.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי - מסמנים את שלושת העוקבים כביטוי אחד, בונים משוואה מהסכום ומבודדים.
  • הצבת תשובות - התשובות הן ערכי המספר הקטן, ואפשר להציב כל אחת, לבנות ממנה את שלושת העוקבים ולבדוק שסכומם 5151. הערכים קטנים ונוחים לבדיקה.

פתרון אלגברי:

נסמן את שלושת המספרים העוקבים ב-nn, n+1n+1 ו-n+2n+2, כאשר nn הוא הקטן. סכומם הוא 5151: n+(n+1)+(n+2)=51\displaystyle n + (n+1) + (n+2) = 51 נכנס איברים דומים: 3n+3=51\displaystyle 3n + 3 = 51 נחסר 33 ונחלק ב-33: 3n=48⇒n=16\displaystyle 3n = 48 \quad\Rightarrow\quad n = 16 הקטן שבמספרים הוא 1616. זו התשובה, וניתן להקיף.

הצבת תשובות:

נבחר את תשובה (2), 1616: שלושת העוקבים הם 16,17,1816, 17, 18, וסכומם 16+17+18=5116 + 17 + 18 = 51 - בדיוק הנתון. זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 7·אלגברהקלה
נתונים xx ו-yy מספרים שלמים שונים זה מזה. מהו הערך הקטן ביותר האפשרי של (x−y)2(x - y)^2?
  1. א.1התשובה הנכונה
  2. ב.2
  3. ג.4
  4. ד.0
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים שני מספרים שלמים שונים זה מזה, ושואלים מהו הערך הקטן ביותר של ריבוע ההפרש ביניהם. לכן זו בעיית שלמים (מינימום ריבוע-הפרש בין שלמים שונים). בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

  • בחינת מצבי קיצון - הביטוי (x−y)2(x-y)^2 קטן ככל שההפרש x−yx-y קרוב ל-00, ולכן מחפשים את ההפרש הקטן ביותר האפשרי בין שני שלמים שונים ומעלים אותו בריבוע.
  • פתרון אלגברי - ריבוע תמיד אי-שלילי, וההפרש x−yx-y בין שני שלמים שונים אינו יכול להיות 00, ולכן מחפשים את ערך-ההפרש השלם הקרוב ביותר ל-00 שאינו 00.

בחינת מצבי קיצון:

הביטוי (x−y)2(x-y)^2 הוא ריבוע, ולכן ערכו קטן ביותר כשההפרש x−yx-y קרוב ל-00 ככל האפשר. שני המספרים חייבים להיות שונים, ולכן ההפרש אינו יכול להיות 00. ההפרש השלם הקרוב ביותר ל-00 שאינו 00 הוא 11 (למשל x=5x = 5 ו-y=4y = 4), וריבועו: (x−y)2=12=1\displaystyle (x-y)^2 = 1^2 = 1 זו התשובה, וניתן להקיף.

פתרון אלגברי:

ריבוע של מספר תמיד אי-שלילי, ולכן (x−y)2≥0(x-y)^2 \ge 0. הערך 00 מתקבל רק כאשר x−y=0x - y = 0, כלומר x=yx = y, אך נתון שהמספרים שונים ולכן מקרה זה אסור. מכיוון ש-xx ו-yy שלמים, ההפרש x−yx - y הוא שלם שאינו 00, והשלם הקרוב ביותר ל-00 בערכו המוחלט הוא 11 או −1-1. בשני המקרים (x−y)2=1(x-y)^2 = 1, וניתן להקיף.
שאלה 8·אלגברהבינונית
כמה מספרים שלמים המתחלקים ב-33 יש בין 2020 ל-5050 (כולל)?
  1. א.9
  2. ב.10התשובה הנכונה
  3. ג.11
  4. ד.12
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

שואלים כמה מספרים שלמים המתחלקים ב-33 נמצאים בטווח סגור נתון. לכן זו בעיית שלמים (ספירה בטווח). בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פירוט שיטתי - מוצאים את הכפולה הראשונה של 33 בטווח, רושמים את הכפולות ברצף עד הקצה, וסופרים. הטווח כאן סגור, ולכן 2020 ו-5050 עצמם נכללים אם הם כפולות של 33.
  • פתרון אלגברי - סופרים כפולות ברצף באמצעות נוסחת מספר-האיברים: מהכפולה הראשונה בטווח עד האחרונה, בקפיצות של 33.

פירוט שיטתי:

הכפולה הראשונה של 33 שאינה קטנה מ-2020 היא 2121, והאחרונה שאינה גדולה מ-5050 היא 4848. נרשום את הכפולות ברצף: 21,24,27,30,33,36,39,42,45,48\displaystyle 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48 נספור אותן - יש 1010 כפולות. זו התשובה, וניתן להקיף.

פתרון אלגברי:

הכפולה הראשונה בטווח היא 2121 והאחרונה 4848, בקפיצות של 33. מספר האיברים ברצף: 48−213+1=273+1=9+1=10\displaystyle \dfrac{48 - 21}{3} + 1 = \dfrac{27}{3} + 1 = 9 + 1 = 10 יש 1010 מספרים המתחלקים ב-33 בטווח, וניתן להקיף.

כל השאלות, התשובות וההסברים נכתבו ונבדקו על ידי צוות מומחים שחי ונושם פסיכומטרי. כל פריט עובר בקרת איכות לפני שהוא מתפרסם ומתעדכן באופן שוטף, כדי שהתרגול ישקף את רמת הקושי, הסגנון וההיגיון של המבחן האמיתי.