תרגול בעיות תנועה לפסיכומטרי

כל בעיות התנועה נשענות על דרך שווה מהירות כפול זמן. הדרך הבטוחה היא לסדר את הנתונים בטבלה של מהירות, זמן ודרך לכל גוף בנפרד, ורק אז לכתוב משוואה.

8 שאלות עם פתרון מלא

שאלות מתוך התרגול עצמו. נסה לפתור לבד, ורק אז פתח את הפתרון.

שאלה 1·בעיות מילוליותקלה מאוד

מכונית נסעה שעה אחת במהירות קבועה של

50

קמ"ש, ולאחר מכן שעתיים נוספות במהירות קבועה של

70

קמ"ש. מהו המרחק הכולל, בקילומטרים, שעברה המכונית?

א.120
ב.140
ג.190התשובה הנכונה
ד.210

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונות לנו שתי מהירויות נסיעה ושני משכי זמן, ושואלים על המרחק הכולל שנעבר. לכן זו בעיית תנועה. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

טבלת מהירות-זמן-דרך היא הדרך המתאימה לבעיית תנועה, ובגוף נע בכמה קטעים בונים שורה לכל קטע: מציבים את המהירות והזמן הנתונים, מחשבים בנוסחת התנועה את דרך כל קטע, ומחברים.

טבלת מהירות-זמן-דרך:

נסרטט טבלה שכותרותיה גורמי נוסחת התנועה, ובה שורה לכל קטע נסיעה. נציב את המהירות והזמן הנתונים, ונשלים את עמודת הדרך לפי הנוסחה:

מהירות × זמן = דרך

קטע	מהירות (קמ"ש)	זמן (שעות)	דרך (ק"מ)
ראשון	50	1	$50 \times 1 = 50$
שני	70	2	$70 \times 2 = 140$

המרחק הכולל הוא סכום שני הקטעים:

\displaystyle 50 + 140 = 190

זו התשובה, וניתן להקיף.

שאלה 2·בעיות מילוליותקלה

אופנוע נסע

3

שעות במהירות קבועה של

45

קמ"ש, ולאחר מכן קטע נוסף במהירות קבועה של

90

קמ"ש. סך הכול עבר האופנוע

225

קילומטרים. כמה שעות נסע האופנוע במהירות

90

קמ"ש?

א.1התשובה הנכונה
ב.1.5
ג.2
ד.2.5

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים לנו מהירות וזמן בקטע ראשון, מהירות בקטע שני, והמרחק הכולל, ושואלים על משך הזמן בקטע השני. לכן זו בעיית תנועה. בתשובות מספרי שעות קטנים.

דרכי פתרון אפשריות

טבלת מהירות-זמן-דרך היא הדרך המתאימה כשנתונים חלק מגורמי הנוסחה וחסר גורם אחד: ממלאים את השורות הידועות וגוזרים את החסר מנוסחת התנועה.
הצבת תשובות מתאימה כאן משום שהתשובות הן מספרי-זמן קטנים ונוחים: מציבים זמן מוצע, כופלים במהירות ומחברים את הקטע הראשון, ובודקים איזה מהם משחזר את המרחק הנתון.

טבלת מהירות-זמן-דרך:

נסרטט טבלה שכותרותיה גורמי נוסחת התנועה. נשלים את דרך הקטע הראשון לפי הנוסחה, ונחסיר אותה מהמרחק הכולל כדי לקבל את דרך הקטע השני:

מהירות × זמן = דרך

קטע	מהירות (קמ"ש)	זמן (שעות)	דרך (ק"מ)
ראשון	45	3	$45 \times 3 = 135$
שני	90	?	$225 - 135 = 90$

נבודד מנוסחת התנועה את הזמן (זמן = דרך חלקי מהירות):

\displaystyle \dfrac{90}{90} = 1

האופנוע נסע שעה אחת במהירות

90

קמ"ש. זו התשובה, וניתן להקיף.

הצבת תשובות:

נבדוק את התשובה הנוחה

1

שעה: בקטע השני עבר האופנוע

90 \times 1 = 90

ק"מ, ובסך הכול

135 + 90 = 225

ק"מ, בדיוק כנתון. זו התשובה, וניתן להקיף.

שאלה 3·בעיות מילוליותבינונית

מכונית יצאה מעיר לכביש ישר במהירות קבועה של 60 קמ"ש. שעתיים לאחר צאתה יצא מאותה עיר, לאותו כיוון ובאותו כביש, אופנוע במהירות קבועה של 90 קמ"ש. כעבור כמה שעות מרגע צאת האופנוע ישיג האופנוע את המכונית?

א.2
ב.3
ג.4התשובה הנכונה
ד.6

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים שני גופים הנעים במהירויות קבועות באותו כביש ובאותו כיוון, כשהאחד יוצא אחרי השני, ומבקשים כעבור כמה זמן ישיג המהיר את האיטי. שני גופים הנעים באותו כיוון עם מרדף מרמזים על מהירות-הפער (הפרש המהירויות). בתשובות מספרים שלמים קטנים.

דרכי פתרון אפשריות

טבלת מהירות-זמן-דרך - שורה לכל גוף; מחשבים תחילה את יתרון הדרך שצבר האיטי, ואז מחלקים אותו במהירות-הפער.
הצבת תשובות - מציבים זמן, מחשבים את הדרך שכל גוף עובר, ובודקים מתי הם משתווים; אפשרי כי הערכים בתשובות קטנים.

פתרון אלגברי:

תחילה נחשב את יתרון הדרך של המכונית ברגע שהאופנוע יוצא. המכונית נסעה לבדה שעתיים במהירות

60

קמ"ש, ולכן צברה

60 \cdot 2 = 120

ק"מ. מרגע צאת האופנוע נסכם את הנתונים בטבלה:

גוף	מהירות (קמ"ש)	מיקום בזמן היציאה
מכונית	$60$	$120$ ק"מ לפני
אופנוע	$90$	$0$

האופנוע מקטין את הפער בקצב של מהירות-הפער, הפרש המהירויות

90 - 60 = 30

קמ"ש. הזמן לסגירת יתרון של

120

ק"מ בקצב

30

קמ"ש:

\displaystyle \dfrac{120}{30} = 4

כעבור

4

שעות מרגע צאת האופנוע הוא משיג את המכונית. זו התשובה, וניתן להקיף.

שאלה 4·אלגברה · בעיות מילוליותקשה

שתי מכוניות יוצאות בו-זמנית משתי ערים זו לקראת זו, ונפגשות כעבור שעתיים. מהירות המכונית האיטית קטנה ב-4 קמ"ש ממהירות המכונית המהירה. המרחק בין שתי הערים הוא 88 ק"מ. מה מהירותה של המכונית האיטית, בקמ"ש?

א.20התשובה הנכונה
ב.22
ג.24
ד.28

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים שני גופים הנעים זה לקראת זה, זמן המפגש, הפרש מהירויותיהם, והמרחק הכולל בין הערים, ומבקשים את מהירותה של אחת המכוניות. זו שאלה משולבת של תנועה (נוסחת מהירות-זמן-דרך) ומשוואות (בניית משוואה מהמרחק הכולל ופתרונה). בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

פישוט אלגברי דרך טבלת מהירות-זמן-דרך - מסמנים את מהירות המכונית המהירה בנעלם, מבטאים דרכו את מהירות האיטית ואת המרחק שכל אחת עברה בשעתיים, ומשתמשים בכך שסכום שני המרחקים הוא המרחק הכולל בין הערים כדי לבנות משוואה. זו הדרך הישירה כאן, שכן הנתונים מקשרים בין הגדלים.

פישוט אלגברי דרך טבלת מהירות-זמן-דרך:

נסמן ב-

w

את מהירות המכונית המהירה בקמ"ש. מהירות האיטית קטנה ב-

4

, ולכן היא

w - 4

. שתי המכוניות נסעו שעתיים עד המפגש. נסדר את הנתונים בטבלה, ונשלים את עמודת הדרך לפי נוסחת התנועה (מהירות כפול זמן):

מהירות × זמן = דרך

מכונית	מהירות (קמ"ש)	זמן (שעות)	דרך (ק"מ)
מהירה	$w$	2	$2w$
איטית	$w - 4$	2	$2(w - 4)$

שתי המכוניות נעו זו לקראת זו עד שנפגשו, ולכן סכום המרחקים שעברו שווה למרחק הכולל בין הערים,

88

ק"מ:

\displaystyle 2w + 2(w - 4) = 88

נפתח את הסוגריים ונכנס איברים דומים:

\displaystyle 2w + 2w - 8 = 88 \quad\Rightarrow\quad 4w - 8 = 88

נוסיף

8

לשני האגפים ואז נחלק ב-

4

\displaystyle 4w = 96 \quad\Rightarrow\quad w = 24

זו מהירות המכונית המהירה. מבקשים את מהירות המכונית האיטית, הקטנה ב-

4

\displaystyle w - 4 = 24 - 4 = 20

זו התשובה, וניתן להקיף.

שאלה 5·אלגברה · בעיות מילוליותקשה מאוד

רוכב אופניים יצא מנקודה מסוימת ונסע במהירות קבועה של 40 קמ"ש. כעבור שעה יצאה אחריו, מאותה נקודה ובאותו מסלול, מכונית במהירות קבועה של 60 קמ"ש. כמה קילומטרים תעבור המכונית עד שתשיג את רוכב האופניים?

א.80
ב.100
ג.120התשובה הנכונה
ד.150

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונות שתי מהירויות של שני גופים הנעים באותו כיוון מאותה נקודה, ופער-זמן ביציאתם, ושואלים את המרחק שעובר הגוף המהיר עד שהוא משיג את האיטי. הפתרון משלב את נוסחת התנועה (מהירות

\times

זמן

=

דרך) עם ניסוח משוואת-רדיפה, ולכן זו בעיית משוואות משולבת בתנועה. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

טבלת מהירות-זמן-דרך עם מהירות הפער - הדרך הקנונית לבעיית רדיפה: שני הגופים נעים באותו כיוון, ולכן הפער ביניהם נסגר במהירות שהיא הפרש המהירויות. נחשב תחילה את הפער שנפתח בשעת ההשהיה, נמצא בכמה זמן הוא נסגר, ומכאן את המרחק שעברה המכונית.
פתרון אלגברי - נבטא את המרחק שעובר כל גוף עד רגע ההשגה ונשווה, שכן ברגע ההשגה שניהם באותו מרחק מנקודת היציאה.

טבלת מהירות-זמן-דרך עם מהירות הפער:

ראשית נחשב כמה התרחק רוכב האופניים בשעה שלפני שהמכונית יצאה. לפי נוסחת התנועה, בזמן ההשהיה הוא עבר

40 \times 1 = 40

ק"מ. זהו הפער ההתחלתי שעל המכונית לסגור. שני הגופים נעים באותו כיוון, ולכן הפער ביניהם נסגר במהירות שהיא הפרש המהירויות:

\displaystyle 60 - 40 = 20

כלומר הפער נסגר בקצב של

20

קמ"ש. נסרטט טבלה שבה הגוף הנע הוא "הפער", המהירות שבה הוא נסגר היא

20

קמ"ש, והדרך שעליו לעבור עד הסגירה היא

40

ק"מ. נבודד מנוסחת התנועה את הזמן (זמן

=

דרך חלקי מהירות):

	מהירות (קמ"ש)	זמן (שעות)	דרך (ק"מ)
סגירת הפער	20	?	40

\displaystyle \frac{40}{20} = 2

המכונית סוגרת את הפער כעבור

2

שעות מיציאתה. נמצא את המרחק שעברה המכונית באותן

2

שעות (במהירותה שלה,

60

קמ"ש):

\displaystyle 60 \times 2 = 120

המכונית עברה

120

ק"מ עד שהשיגה את רוכב האופניים. זו התשובה, וניתן להקיף.

פתרון אלגברי:

נסמן ב-

t

את מספר השעות שחלפו מרגע יציאת המכונית ועד ההשגה. עד אותו רגע נסע רוכב האופניים

t + 1

שעות (שעה נוספת שיצא מוקדם יותר), והמכונית נסעה

t

שעות. ברגע ההשגה שניהם נמצאים באותו מרחק מנקודת היציאה:

\displaystyle 40(t + 1) = 60t

נפתח את הסוגריים ונבודד:

\displaystyle 40t + 40 = 60t

\displaystyle 40 = 20t \quad\Rightarrow\quad t = 2

מרחק ההשגה הוא הדרך שעברה המכונית:

\displaystyle 60 \times 2 = 120

אותה תשובה.

שאלה 6·בעיות מילוליותקלה מאוד

רכב נסע

4

שעות במהירות קבועה, ועבר

320

קילומטרים. מה הייתה מהירותו, בקמ"ש?

א.32
ב.40
ג.64
ד.80התשובה הנכונה

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים לנו זמן נסיעה ומרחק שנעבר במהירות קבועה, ושואלים על המהירות. לכן זו בעיית תנועה. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

טבלת מהירות-זמן-דרך - הדרך המתאימה: יש שורה אחת בלבד, ונבודד מנוסחת התנועה את המהירות (מהירות = דרך חלקי זמן).

טבלת מהירות-זמן-דרך:

נסרטט שורה יחידה עם הזמן והדרך הנתונים, ונבודד את המהירות:

מהירות × זמן = דרך

	מהירות (קמ"ש)	זמן (שעות)	דרך (ק"מ)
הנסיעה	?	4	320

\displaystyle \dfrac{320}{4} = 80

מהירות הרכב הייתה

80

קמ"ש. זו התשובה, וניתן להקיף.

שאלה 7·בעיות מילוליותקלה

מכונית יצאה מעיר במהירות קבועה של

70

קמ"ש. כעבור שעה יצאה מאותה עיר מכונית שנייה באותו כיוון במהירות קבועה של

105

קמ"ש. מהו הפער, בקילומטרים, בין שתי המכוניות שעה לאחר יציאת המכונית השנייה?

א.0
ב.35התשובה הנכונה
ג.70
ד.105

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים לנו שתי מהירויות של שתי מכוניות הנעות באותו כיוון ופער זמן ביציאתן, ושואלים על הפער ביניהן ברגע נתון. לכן זו בעיית תנועה. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

טבלת מהירות-זמן-דרך - הדרך המתאימה: מחשבים את הדרך שעברה כל מכונית עד הרגע המבוקש (המכונית הראשונה נוסעת זמן ארוך יותר), והפער הוא ההפרש בין הדרכים.

טבלת מהירות-זמן-דרך:

הרגע המבוקש הוא שעה לאחר יציאת המכונית השנייה, כלומר שעתיים לאחר יציאת הראשונה. נחשב את הדרך שעברה כל מכונית עד אז:

מכונית	מהירות (קמ"ש)	זמן (שעות)	דרך (ק"מ)
ראשונה	70	2	$70 \times 2 = 140$
שנייה	105	1	$105 \times 1 = 105$

הפער בין המכוניות הוא ההפרש בין הדרכים:

\displaystyle 140 - 105 = 35

הפער הוא

35

ק"מ. זו התשובה, וניתן להקיף.

שאלה 8·בעיות מילוליותבינונית

הולך רגל יוצא מנקודה מסוימת ופוסע במהירות

6

קמ"ש. כעבור שעתיים יוצא רוכב אופניים מאותה נקודה ובאותו כיוון, במהירות

10

קמ"ש. כעבור כמה שעות מרגע יציאת הרוכב הוא ישיג את הולך הרגל?

א.3התשובה הנכונה
ב.4
ג.4.8
ד.6

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים שני גופים הנעים מאותה נקודה ובאותו כיוון במהירויות קבועות, בהפרש-יציאה, ומבקשים מתי האחד משיג את השני. לכן זו בעיית תנועה. בתשובות מספרים קטנים.

דרכי פתרון אפשריות

טבלת מהירות-זמן-דרך עם מהירות הפער - מכיוון ששני הגופים נעים באותו כיוון, מדובר במרדף: הרוכב סוגר את הפער שנפתח בין השניים במהירות השווה להפרש המהירויות. מסדרים בטבלה, מוצאים את הפער ההתחלתי ומחלקים במהירות הפער.
הצבת תשובות - מכיוון שהתשובות מספרים קטנים, אפשר להציב כל זמן, לחשב את המרחק שכל גוף עבר, ולבדוק היכן הם נפגשים. הטבלה ישירה יותר כאן.

טבלת מהירות-זמן-דרך:

הולך הרגל יצא שעתיים לפני הרוכב, ובזמן זה כבר צבר מרחק. נחשב תחילה את הפער ההתחלתי (בק"מ) שהרוכב צריך לסגור, ברגע שהוא יוצא:

\displaystyle 6 \cdot 2 = 12

נסדר בטבלה את שני הגופים מרגע יציאת הרוכב, ונוסיף שורה למהירות הפער (שבה מצטמצם המרחק ביניהם):

	מהירות (קמ"ש)	תפקיד
הולך רגל	6	הנרדף
רוכב אופניים	10	הרודף
מהירות הפער	4	סגירת המרחק

מהירות הפער (בקמ"ש) היא הפרש המהירויות:

\displaystyle 10 - 6 = 4

הזמן לסגירת הפער הוא המרחק חלקי מהירות הפער:

\displaystyle \dfrac{12}{4} = 3

כעבור

3

שעות מרגע יציאת הרוכב הוא ישיג את הולך הרגל. זו התשובה, וניתן להקיף.

כל השאלות, התשובות וההסברים נכתבו ונבדקו על ידי צוות מומחים שחי ונושם פסיכומטרי. כל פריט עובר בקרת איכות לפני שהוא מתפרסם ומתעדכן באופן שוטף, כדי שהתרגול ישקף את רמת הקושי, הסגנון וההיגיון של המבחן האמיתי.