תרגול בעיות תנועה לפסיכומטרי

כל בעיות התנועה נשענות על דרך שווה מהירות כפול זמן. הדרך הבטוחה היא לסדר את הנתונים בטבלה של מהירות, זמן ודרך לכל גוף בנפרד, ורק אז לכתוב משוואה.

8 שאלות עם פתרון מלא

שאלות מתוך התרגול עצמו. נסה לפתור לבד, ורק אז פתח את הפתרון.

שאלה 1·בעיות מילוליותקלה מאוד

רוכב אופניים נסע במהירות קבועה של

30

קמ"ש במשך שעה וחצי. איזה מרחק, בקילומטרים, עבר הרוכב?

א.20
ב.30
ג.45התשובה הנכונה
ד.60

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים מהירותו הקבועה של רוכב אופניים ומשך נסיעתו, ושואלים איזה מרחק עבר. לכן זו בעיית תנועה. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

טבלת מהירות-זמן-דרך - הדרך המתאימה: הרוכב נע במהירות קבועה, ולכן המרחק שעבר הוא מכפלת מהירותו במשך נסיעתו. נכפול את השניים, תוך שמירה על יחידות תואמות (שעה וחצי הן $1.5$ שעות).

טבלת מהירות-זמן-דרך:

שעה וחצי הן

1.5

שעות. נציב בנוסחת התנועה, שלפיה הדרך היא מכפלת המהירות בזמן (דרך = מהירות × זמן):

מהירות × זמן = דרך

	מהירות (קמ"ש)	זמן (שעות)	דרך (ק"מ)
נסיעת הרוכב	30	1.5	?

\displaystyle 30 \times 1.5 = 45

הרוכב עבר

45

קילומטרים. זו התשובה, וניתן להקיף.

שאלה 2·בעיות מילוליותקלה

רוכב אופניים נסע שעה אחת במהירות

20

קמ"ש, ומיד אחר כך נסע שעתיים במהירות

14

קמ"ש. כמה קילומטרים עבר בסך הכול?

א.34
ב.42
ג.48התשובה הנכונה
ד.51

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

גוף יחיד נע בשני קטעי נסיעה, ולכל קטע נתונים מהירות וזמן, ומבקשים את הדרך הכוללת. לכן זו בעיית תנועה. בתשובות מספרים שלמים קרובים זה לזה.

דרכי פתרון אפשריות

טבלת מהירות-זמן-דרך: שורה לכל קטע נסיעה, מכפילים מהירות בזמן בכל שורה, ומחברים את שתי הדרכים. זו הדרך הקנונית כשכל קטע עומד בפני עצמו.
הצבת תשובות אינה מתאימה כאן, שכן המבוקש הוא הדרך עצמה, והחישוב הישיר קצר מכל בדיקה של מועמד.

טבלת מהירות-זמן-דרך:

קטע	מהירות (קמ"ש)	זמן (שעות)	דרך (ק"מ)
ראשון	20	1	20
שני	14	2	28

הדרך בקטע הראשון:

20 × 1 = 20

הדרך בקטע השני:

14 × 2 = 28

הדרך הכוללת היא סכום השתיים:

20 + 28 = 48

זו התשובה, וניתן להקיף. הערה למי שבחר

51

: זהו ממוצע שתי המהירויות (

17

) כפול שלוש השעות. מיצוע מהירויות תקף רק כשהזמנים בשני הקטעים שווים, וכאן הם אינם שווים.

שאלה 3·בעיות מילוליותבינונית

רוכב אופניים נסע מכפר א' לכפר ב' במהירות קבועה של

15

קמ"ש, ובאותו מסלול חזר מכפר ב' לכפר א' במהירות קבועה של

10

קמ"ש. מהי מהירותו הממוצעת, בקמ"ש, לאורך כל הנסיעה (הלוך ושוב)?

א.10
ב.12התשובה הנכונה
ג.12.5
ד.25

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונות שתי מהירויות קבועות שבהן נעשית אותה נסיעה, הלוך ושוב, ושואלים על המהירות הממוצעת לאורך כל הנסיעה. לכן זו בעיית תנועה. בתשובות מספרים קטנים, חלקם עשרוניים.

דרכי פתרון אפשריות

הצבת מספרים מהראש: המהירות הממוצעת אינה תלויה באורך המסלול, ולכן נבחר לו ערך נוח (כפולה משותפת של שתי המהירויות), נחשב את זמן ההלוך ואת זמן השוב, והמהירות הממוצעת היא המרחק הכולל חלקי הזמן הכולל.
פתרון אלגברי - נסמן את אורך המסלול לכיוון אחד ב- $d$ , נבטא את הזמן בכל כיוון, ונחלק את המרחק הכולל בזמן הכולל.

הצבת מספרים מהראש:

המהירות הממוצעת היא המרחק הכולל חלקי הזמן הכולל, והיא אינה תלויה באורך המסלול. נבחר אורך נוח לכיוון אחד,

30

ק"מ (מתחלק ב-

15

וב-

10

), ונחשב את הזמן בכל כיוון (זמן = דרך חלקי מהירות):

כיוון	דרך (ק"מ)	מהירות (קמ"ש)	זמן (שעות)
הלוך	30	15	$30 \div 15 = 2$
שוב	30	10	$30 \div 10 = 3$

המרחק הכולל הוא

30 + 30 = 60

ק"מ, והזמן הכולל

2 + 3 = 5

שעות. המהירות הממוצעת:

\displaystyle \dfrac{60}{5} = 12

זו התשובה, וניתן להקיף.

פתרון אלגברי:

נסמן ב-

d

את אורך המסלול לכיוון אחד. זמן ההלוך הוא

\dfrac{d}{15}

וזמן השוב

\dfrac{d}{10}

, והמרחק הכולל הוא

2d

. נחשב תחילה את הזמן הכולל בעזרת מכנה משותף:

\displaystyle \dfrac{d}{15} + \dfrac{d}{10} = \dfrac{2d}{30} + \dfrac{3d}{30} = \dfrac{5d}{30} = \dfrac{d}{6}

המהירות הממוצעת היא המרחק הכולל חלקי הזמן הכולל (חלוקה בשבר היא כפל בהופכי):

\displaystyle 2d \div \dfrac{d}{6} = 2d \times \dfrac{6}{d} = 12

אותה תשובה.

שאלה 4·גאומטריה · בעיות מילוליותקשה

אצן רץ סביב מסלול מלבני שאורך צלעותיו

300

מטר ו-

200

מטר, במהירות קבועה של

5

מטר לשנייה. כמה זמן ייקח לו להשלים שתי הקפות שלמות?

א.200 שניות
ב.300 שניות
ג.400 שניותהתשובה הנכונה
ד.500 שניות

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון גוף הנע במהירות קבועה לאורך מסלול שצורתו מלבן נתון-צלעות, ושואלים כמה זמן ייקח לו להשלים מספר הקפות שלמות. לכן זו בעיית תנועה המשלבת חישוב היקף מלבן. בתשובות ערכים מספריים בשניות.

דרכי פתרון אפשריות

הכלי המרכזי בתנועה הוא טבלת מהירות-זמן-דרך. תחילה נחלץ את ה"דרך" הגאומטרית, היקף המלבן כפול מספר ההקפות, ואז נבודד מהנוסחה את הזמן.

טבלת מהירות-זמן-דרך:

בתנועה במהירות קבועה מתקיים:

מהירות × זמן = דרך

נבודד את הזמן:

זמן = דרך / מהירות

בשאלה אין שרטוט, ולכן נשרטט תחילה את המסלול בעצמנו:

נחשב תחילה את הדרך. היקף מלבן הוא סכום ארבע צלעותיו, כלומר פעמיים אורך ועוד פעמיים רוחב (במטרים):

\displaystyle 2 \cdot 300 + 2 \cdot 200 = 600 + 400 = 1000

שתי הקפות הן פעמיים ההיקף (במטרים):

\displaystyle 2 \cdot 1000 = 2000

נסדר בטבלת מהירות-זמן-דרך, שורה לאצן, ונציב את המהירות הנתונה ואת הדרך שחישבנו:

	מהירות (מ'/ש')	זמן (ש')	דרך (מ')
אצן	5	?	2000

הזמן הוא הדרך חלקי המהירות, לפי בידוד הזמן מנוסחת התנועה (בשניות):

\displaystyle \frac{2000}{5} = 400

זו התשובה, וניתן להקיף.

שאלה 5·בעיות מילוליותקשה מאוד

רוכב אופניים יצא מנקודה מסוימת ונסע במהירות קבועה של 40 קמ"ש. כעבור שעה יצאה אחריו, מאותה נקודה ובאותו מסלול, מכונית במהירות קבועה של 60 קמ"ש. כמה קילומטרים תעבור המכונית עד שתשיג את רוכב האופניים?

א.80
ב.100
ג.120התשובה הנכונה
ד.150

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונות שתי מהירויות של שני גופים הנעים באותו כיוון מאותה נקודה, ופער-זמן ביציאתם, ושואלים את המרחק שעובר הגוף המהיר עד שהוא משיג את האיטי. לכן זו בעיית תנועה. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

טבלת מהירות-זמן-דרך עם מהירות הפער - הדרך הקנונית לבעיית רדיפה: שני הגופים נעים באותו כיוון, ולכן הפער ביניהם נסגר במהירות שהיא הפרש המהירויות. נחשב תחילה את הפער שנפתח בשעת ההשהיה, נמצא בכמה זמן הוא נסגר, ומכאן את המרחק שעברה המכונית.
פתרון אלגברי - נבטא את המרחק שעובר כל גוף עד רגע ההשגה ונשווה, שכן ברגע ההשגה שניהם באותו מרחק מנקודת היציאה.

טבלת מהירות-זמן-דרך עם מהירות הפער:

ראשית נחשב כמה התרחק רוכב האופניים בשעה שלפני שהמכונית יצאה. לפי נוסחת התנועה, בזמן ההשהיה הוא עבר

40 \times 1 = 40

ק"מ. זהו הפער ההתחלתי שעל המכונית לסגור. שני הגופים נעים באותו כיוון, ולכן הפער ביניהם נסגר במהירות שהיא הפרש המהירויות:

\displaystyle 60 - 40 = 20

כלומר הפער נסגר בקצב של

20

קמ"ש. נסרטט טבלה שבה הגוף הנע הוא "הפער", המהירות שבה הוא נסגר היא

20

קמ"ש, והדרך שעליו לעבור עד הסגירה היא

40

ק"מ. נבודד מנוסחת התנועה את הזמן (זמן

=

דרך חלקי מהירות):

	מהירות (קמ"ש)	זמן (שעות)	דרך (ק"מ)
סגירת הפער	20	?	40

\displaystyle \frac{40}{20} = 2

המכונית סוגרת את הפער כעבור

2

שעות מיציאתה. נמצא את המרחק שעברה המכונית באותן

2

שעות (במהירותה שלה,

60

קמ"ש):

\displaystyle 60 \times 2 = 120

המכונית עברה

120

ק"מ עד שהשיגה את רוכב האופניים. זו התשובה, וניתן להקיף.

פתרון אלגברי:

נסמן ב-

t

את מספר השעות שחלפו מרגע יציאת המכונית ועד ההשגה. עד אותו רגע נסע רוכב האופניים

t + 1

שעות (שעה נוספת שיצא מוקדם יותר), והמכונית נסעה

t

שעות. ברגע ההשגה שניהם נמצאים באותו מרחק מנקודת היציאה:

\displaystyle 40(t + 1) = 60t

נפתח את הסוגריים ונבודד:

\displaystyle 40t + 40 = 60t

\displaystyle 40 = 20t \quad\Rightarrow\quad t = 2

מרחק ההשגה הוא הדרך שעברה המכונית:

\displaystyle 60 \times 2 = 120

אותה תשובה.

שאלה 6·בעיות מילוליותקלה מאוד

מכונית נסעה שעה אחת במהירות קבועה של

50

קמ"ש, ולאחר מכן שעתיים נוספות במהירות קבועה של

70

קמ"ש. מהו המרחק הכולל, בקילומטרים, שעברה המכונית?

א.120
ב.140
ג.190התשובה הנכונה
ד.210

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונות לנו שתי מהירויות נסיעה ושני משכי זמן, ושואלים על המרחק הכולל שנעבר. לכן זו בעיית תנועה. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

טבלת מהירות-זמן-דרך היא הדרך המתאימה לבעיית תנועה, ובגוף נע בכמה קטעים בונים שורה לכל קטע: מציבים את המהירות והזמן הנתונים, מחשבים בנוסחת התנועה את דרך כל קטע, ומחברים.

טבלת מהירות-זמן-דרך:

נסרטט טבלה שכותרותיה גורמי נוסחת התנועה, ובה שורה לכל קטע נסיעה. נציב את המהירות והזמן הנתונים, ונשלים את עמודת הדרך לפי הנוסחה:

מהירות × זמן = דרך

קטע	מהירות (קמ"ש)	זמן (שעות)	דרך (ק"מ)
ראשון	50	1	$50 \times 1 = 50$
שני	70	2	$70 \times 2 = 140$

המרחק הכולל הוא סכום שני הקטעים:

\displaystyle 50 + 140 = 190

זו התשובה, וניתן להקיף.

שאלה 7·בעיות מילוליותקלה

רכבת שאורכה

180

מטר נעה במהירות קבועה, וחלפה על פני רציף שאורכו

420

מטר. מרגע שחזית הרכבת הגיעה לתחילת הרציף ועד שקצה הרכבת עזב את סוף הרציף חלפו

30

שניות. מהי מהירות הרכבת, במטרים לשנייה?

א.6
ב.8
ג.14
ד.20התשובה הנכונה

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים אורך רכבת, אורך רציף, והזמן שחלף מרגע שחזית הרכבת הגיעה לתחילת הרציף ועד שהקצה האחורי של הרכבת עזב את סופו, ושואלים על מהירות הרכבת. לכן זו בעיית תנועה. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

טבלת מהירות-זמן-דרך - הדרך המתאימה: כדי שכל הרכבת תחלוף על פני הרציף, חזית הרכבת צריכה לעבור את אורך הרציף ובנוסף את אורך הרכבת עצמה (עד שהקצה האחורי משתחרר מסוף הרציף). לכן הדרך הכוללת היא סכום שני האורכים, ונחלק אותה בזמן החצייה כדי לקבל את המהירות.

טבלת מהירות-זמן-דרך:

מרגע שחזית הרכבת נכנסת לרציף ועד שהקצה האחורי שלה יוצא ממנו, הרכבת עוברת דרך השווה לאורך הרציף ועוד אורך הרכבת:

\displaystyle 420 + 180 = 600

כלומר הדרך היא

600

מטר והזמן

30

שניות. נבודד מנוסחת התנועה את המהירות (מהירות = דרך חלקי זמן):

מהירות × זמן = דרך

	דרך (מטרים)	זמן (שניות)	מהירות (מטר לשנייה)
חציית הרציף	600	30	?

\displaystyle \dfrac{600}{30} = 20

מהירות הרכבת היא

20

מטרים לשנייה. זו התשובה, וניתן להקיף.

שאלה 8·בעיות מילוליותבינונית

נהג נסע

100

ק"מ במשך שעתיים, לאחר מכן עצר לנוח שעה אחת, ולבסוף נסע עוד

80

ק"מ במשך שעה אחת. מהי מהירותו הממוצעת, בקמ"ש, לאורך כל הזמן מרגע יציאתו ועד סוף הנסיעה?

א.45התשובה הנכונה
ב.60
ג.65
ד.90

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים שני קטעי נסיעה, כל אחד עם מרחקו וזמנו, וביניהם פרק מנוחה, ושואלים על המהירות הממוצעת לאורך כל הזמן מרגע היציאה ועד הסוף. לכן זו בעיית תנועה. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

טבלת מהירות-זמן-דרך - הדרך המתאימה: המהירות הממוצעת היא המרחק הכולל שנעבר חלקי כל הזמן שחלף, וזמן זה כולל גם את שעת המנוחה (שבה לא נעברה דרך). נסכם את המרחקים ואת כל פרקי הזמן ונחלק.

טבלת מהירות-זמן-דרך:

נבנה שורה לכל שלב, כולל המנוחה שבה הדרך היא

0

. המהירות הממוצעת היא סכום המרחקים חלקי סכום הזמנים:

שלב	דרך (ק"מ)	זמן (שעות)
נסיעה ראשונה	100	2
מנוחה	0	1
נסיעה שנייה	80	1
סך הכול	$100 + 80 = 180$	$2 + 1 + 1 = 4$

\displaystyle \dfrac{180}{4} = 45

המהירות הממוצעת היא

45

קמ"ש. זו התשובה, וניתן להקיף.