שיא
כניסה

תרגול אחוזים לפסיכומטרי

אחוזים הוא אחד הנושאים הנפוצים בפרק הכמותי, ורוב הטעויות בו אינן טעויות חשבון אלא טעות בבסיס - מאיזה סכום מחשבים את האחוז.

איך פותרים

  1. זהה את הבסיס. "20% מ-X" ו-"20% יותר מ-X" הם דברים שונים לגמרי, ובשאלות של שינוי רצוף הבסיס משתנה בכל שלב.
  2. עבוד עם המשלים כשזה קצר יותר. אם 35% משתתפים, חשב ישירות 65% במקום לחשב ולחסר.
  3. המר אחוז לכפל עשרוני. 65% הוא כפל ב-0.65, וזה מהיר יותר מאשר לחלק ב-100 בכל שלב.
  4. בשאלות של שתי קבוצות חופפות השתמש בהכלה-הדחה: קבוצה א' + קבוצה ב' + מי שבאף אחת = הסך הכול + מי שבשתיהן.

8 שאלות עם פתרון מלא

שאלות מתוך התרגול עצמו. נסה לפתור לבד, ורק אז פתח את הפתרון.

שאלה 1·בעיות מילוליותקלה מאוד
בכיתה לומדים ארבעים תלמידים, ומתוכם 15% נבחנו במתמטיקה מוגברת. כמה תלמידים בכיתה נבחנו במתמטיקה מוגברת?
  1. א.4
  2. ב.6התשובה הנכונה
  3. ג.8
  4. ד.15
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון גודל של שלם (מספר התלמידים בכיתה) ואחוז המייצג חלק ממנו, ומבקשים את גודל החלק המספרי. לכן זו בעיית אחוזים, שבה השלם הוא כלל התלמידים, האחוז מייצג את הנבחנים במוגברת, והחלק הוא המבוקש. בתשובות ערכים מספריים קטנים.

דרכי פתרון אפשריות

  • הדרך הישירה היא נוסחת האחוז, חלק שווה לשלם כפול האחוז חלקי מאה. הערכים בתשובות קרובים זה לזה, ולכן אומדן גס אינו מספיק להבחין ביניהם ונדרש חישוב מדויק, שהוא ממילא קצר.

פתרון אלגברי:

חלק מהשלם מתקבל מהכפלת השלם באחוז חלקי מאה:
חלק = שלם · (אחוז / 100)
נציב את השלם 4040 ואת האחוז 1515: 40⋅15100=40⋅0.15\displaystyle 40 \cdot \dfrac{15}{100} = 40 \cdot 0.15 נחשב: 40⋅0.15=6\displaystyle 40 \cdot 0.15 = 6 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 2·בעיות מילוליותקלה
נתון כי 75%75\% מהמספר xx שווים ל-15%15\% מהמספר yy (שני המספרים חיוביים). פי כמה גדול yy מ-xx?
  1. א.2
  2. ב.3
  3. ג.5התשובה הנכונה
  4. ד.60
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון שוויון בין אחוז מסוים ממספר אחד לאחוז אחר ממספר שני, ומבקשים את היחס בין שני המספרים. סימני ה-%25 מסמנים בעיית אחוזים. בתשובות ערכים מספריים.

דרכי פתרון אפשריות

  • מתרגמים כל אחוז למכפיל (75%75\% הם 75100\dfrac{75}{100}, 15%15\% הם 15100\dfrac{15}{100}), כותבים את השוויון, ומבודדים את היחס yx\dfrac{y}{x}. לחלופין אפשר להציב סך נוח למספר האחד ולחשב את השני.

שיטת האחוזים:

נתרגם את המשפט למשוואה. 75%75\% מ-xx שווים ל-15%15\% מ-yy: 75100 x=15100 y\displaystyle \frac{75}{100}\,x = \frac{15}{100}\,y נכפול את שני האגפים ב-100100: 75x=15y\displaystyle 75x = 15y נחלק את שני האגפים ב-15x15x כדי לבודד את היחס: yx=7515=5\displaystyle \frac{y}{x} = \frac{75}{15} = 5 כלומר yy גדול פי 55 מ-xx. זו התשובה, וניתן להקיף.

הצבת מספרים:

נבחר x=100x = 100. אז 75%75\% ממנו הם 7575, וזה שווה ל-15%15\% מ-yy: 15100 y=75⇒y=75⋅10015=500\displaystyle \frac{15}{100}\,y = 75 \Rightarrow y = 75 \cdot \frac{100}{15} = 500 היחס yx=500100=5\dfrac{y}{x} = \dfrac{500}{100} = 5. זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 3·בעיות מילוליותבינונית
מחירו של מוצר התייקר ב-30%, ולאחר מכן הוזל ב-30%. מחירו ההתחלתי היה 200200 שקלים. מהו מחירו הסופי (בשקלים)?
  1. א.140
  2. ב.182התשובה הנכונה
  3. ג.200
  4. ד.260
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון מחיר התחלתי, התייקרות באחוז ולאחריה הוזלה באותו אחוז, ושואלים את המחיר הסופי. לכן זו בעיית אחוזים (שני שינויים עוקבים). בתשובות מספרים שלמים, וביניהם המחיר המקורי 200200.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי - שני שינויים עוקבים הם מכפלת המכפילים: עלייה של 30%30\% היא הכפלה ב-1.31.3, וירידה של 30%30\% היא הכפלה ב-0.70.7. מחילים את שני המכפילים על המחיר ההתחלתי.

פתרון אלגברי:

עלייה באחוז היא הכפלה במכפיל גדול מ-11, וירידה היא הכפלה במכפיל קטן מ-11, ושני שינויים עוקבים הם מכפלת שני המכפילים:
מחיר סופי = מחיר התחלתי × מכפיל העלייה × מכפיל הירידה
נציב את המחיר 200200, את מכפיל העלייה 1.31.3 ואת מכפיל הירידה 0.70.7: 200⋅1.3⋅0.7\displaystyle 200 \cdot 1.3 \cdot 0.7 נחשב את ההתייקרות תחילה: 200⋅1.3=260\displaystyle 200 \cdot 1.3 = 260 ועליה את ההוזלה: 260⋅0.7=182\displaystyle 260 \cdot 0.7 = 182 המחיר הסופי הוא 182182 שקלים. שימו לב שהמכפיל הכולל 1.3⋅0.7=0.911.3 \cdot 0.7 = 0.91 קטן מ-11, ולכן המחיר ירד מתחת למקורי ולא חזר אליו. זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 4·אלגברה · בעיות מילוליותקשה
חנות מכרה בחודש מרץ 90 חולצות במחיר PP שקלים לחולצה, ו-45 מכנסיים במחיר QQ שקלים למכנס. בחודש אפריל נשארה הכמות הנמכרת זהה, אך מחיר החולצות עלה ב-25% ומחיר המכנסיים ירד ב-25%. סך ההכנסות באפריל היה שווה לסך ההכנסות במרץ. מה ערכו של היחס QP\dfrac{Q}{P}?
  1. א.½
  2. ב.1
  3. ג.1.5
  4. ד.2התשובה הנכונה
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונות כמויות נמכרות של שני מוצרים במחירים PP ו-QQ, שינוי באחוזים במחיר כל מוצר, והתנאי שסך ההכנסות נשמר, ומבקשים את היחס בין המחירים QP\dfrac{Q}{P}. זו שאלה משולבת של אחוזים (עלייה וירידה כמכפיל) ומשוואות (בניית משוואת שוויון-הכנסות ובידוד היחס). בתשובות ערכי יחס.

דרכי פתרון אפשריות

  • פישוט אלגברי - כותבים את ההכנסה בכל חודש כסכום מכפלות כמות-במחיר, מתרגמים כל שינוי-אחוזים למכפיל (1.251.25 ו-0.750.75), משווים את ההכנסות של שני החודשים, ומבודדים את היחס QP\dfrac{Q}{P}. זו הדרך הישירה, שכן הנתונים מקשרים בין הגדלים דרך משוואה אחת.

פישוט אלגברי:

הכנסה = כמות כפול מחיר, לכל מוצר. במרץ נמכרו 9090 חולצות במחיר PP ו-4545 מכנסיים במחיר QQ, ולכן ההכנסה במרץ: 90P+45Q\displaystyle 90P + 45Q באפריל הכמויות נשמרו, אך מחיר החולצות עלה ב-25%25\% (מכפיל 1.251.25) ומחיר המכנסיים ירד ב-25%25\% (מכפיל 0.750.75), ולכן ההכנסה באפריל: 90⋅1.25P+45⋅0.75Q\displaystyle 90 \cdot 1.25 P + 45 \cdot 0.75 Q נתון ששתי ההכנסות שוות: 90⋅1.25P+45⋅0.75Q=90P+45Q\displaystyle 90 \cdot 1.25 P + 45 \cdot 0.75 Q = 90P + 45Q נחשב את המקדמים - 90⋅1.25=112.590 \cdot 1.25 = 112.5 ו-45⋅0.75=33.7545 \cdot 0.75 = 33.75: 112.5P+33.75Q=90P+45Q\displaystyle 112.5P + 33.75Q = 90P + 45Q נרכז את איברי PP באגף אחד ואת איברי QQ באגף השני: 112.5P−90P=45Q−33.75Q\displaystyle 112.5P - 90P = 45Q - 33.75Q 22.5P=11.25Q\displaystyle 22.5P = 11.25Q מבקשים את QP\dfrac{Q}{P}, ולכן נחלק את שני האגפים ב-PP ואז ב-11.2511.25: QP=22.511.25=2\displaystyle \frac{Q}{P} = \frac{22.5}{11.25} = 2 התובנה שמאחורי המספרים: העלייה והירידה שוות באחוזן (25%25\%), ולכן ההכנסות מתאזנות בדיוק כשתוספת ההכנסה מהחולצות שווה לגריעה מהמכנסיים; מאחר שנמכרו פי שניים חולצות מאשר מכנסיים (9090 מול 4545), מחיר המכנס חייב להיות פי שניים ממחיר החולצה כדי לאזן. זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 5·גאומטריה · בעיות מילוליותקשה מאוד
בדיסקה עגולה נקדח חור עגול הומוצנטרי (בעל אותו מרכז). היקף החור קטן ב-40% מהיקף הדיסקה. לאחר מכן הודבקה סביב הדיסקה טבעת-שוליים חיצונית, שהגדילה את רדיוס הדיסקה ב-50% (רדיוס החור לא השתנה). איזה אחוז משטח הדיסקה המוגדלת (הכולל את השוליים) תופס החור?
  1. א.16%התשובה הנכונה
  2. ב.36%
  3. ג.40%
  4. ד.60%
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונה דיסקה עם חור הומוצנטרי, ושני שינויים על-פני שני שלבים: היקף החור קטן באחוז נתון מהיקף הדיסקה, ואחר-כך רדיוס הדיסקה גדל באחוז נתון (רדיוס החור לא השתנה); מבקשים איזה אחוז משטח הדיסקה המוגדלת תופס החור. השאלה מקשרת יחסי-אחוזים בין היקפים ורדיוסים לבין יחס-שטחים, ולכן זו בעיית שטחים המשלבת אחוזים ומעגלים. בתשובות אחוזים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי - הכלי המרכזי הוא ששני הרדיוסים והיקפיהם פרופורציוניים לאותו גורם, ולכן היחס בין ההיקפים שווה ליחס בין הרדיוסים; מבטאים את רדיוס החור ואת רדיוס הדיסקה המוגדלת כמכפלות של הרדיוס המקורי, מחשבים את יחס-הרדיוסים ביניהם, ומעלים אותו בריבוע כדי לקבל את יחס-השטחים.
  • הצבת מספרים - אין בשאלה כמות מוחלטת אלא רק יחסים באחוזים, ולכן נוח להציב לרדיוס המקורי ערך נוח (כמו 1010), לגזור ממנו את רדיוס החור ואת רדיוס הדיסקה המוגדלת, ולחשב ישירות את יחס השטחים.

פתרון אלגברי:

נסמן ב-RR את רדיוס הדיסקה המקורית. היקף מעגל פרופורציוני לרדיוסו (2πr2\pi r), ולכן היחס בין ההיקפים שווה ליחס בין הרדיוסים. היקף החור קטן ב-40%40\% מהיקף הדיסקה, כלומר הוא 60%60\% ממנו, ולכן גם רדיוס החור הוא 60%60\% מ-RR: rhole=0.6R\displaystyle r_{\text{hole}} = 0.6R לאחר מכן רדיוס הדיסקה גדל ב-50%50\%, ולכן רדיוס הדיסקה המוגדלת הוא: Rbig=1.5R\displaystyle R_{\text{big}} = 1.5R נסמן את שני הרדיוסים בשרטוט-הפתרון (החור המבוקש מוצלל כהה, רדיוסו 0.6R0.6R באדום, ורדיוס הדיסקה המוגדלת 1.5R1.5R בשחור):
0.6R 1.5R
היחס בין רדיוס החור לרדיוס הדיסקה המוגדלת: rholeRbig=0.6R1.5R=0.4\displaystyle \dfrac{r_{\text{hole}}}{R_{\text{big}}} = \dfrac{0.6R}{1.5R} = 0.4 יחס השטחים בין שני מעגלים שווה לריבוע יחס הרדיוסים, ולכן נעלה בריבוע: (rholeRbig)2=0.42=0.16=16%\displaystyle \left(\dfrac{r_{\text{hole}}}{R_{\text{big}}}\right)^2 = 0.4^2 = 0.16 = 16\% זו התשובה, וניתן להקיף.

הצבת מספרים:

נציב R=10R = 10 לרדיוס הדיסקה המקורית. היקף החור הוא 60%60\% מהיקף הדיסקה, ומאחר שההיקף פרופורציוני לרדיוס, גם רדיוס החור הוא 60%60\% מ-1010: rhole=0.6⋅10=6\displaystyle r_{\text{hole}} = 0.6 \cdot 10 = 6 רדיוס הדיסקה גדל ב-50%50\%, ולכן רדיוס הדיסקה המוגדלת: Rbig=1.5⋅10=15\displaystyle R_{\text{big}} = 1.5 \cdot 10 = 15 נחשב את שני השטחים ואת היחס ביניהם. שטח החור: π⋅62=36π\displaystyle \pi \cdot 6^2 = 36\pi שטח הדיסקה המוגדלת: π⋅152=225π\displaystyle \pi \cdot 15^2 = 225\pi היחס בין שטח החור לשטח הדיסקה המוגדלת: 36π225π=36225=0.16=16%\displaystyle \dfrac{36\pi}{225\pi} = \dfrac{36}{225} = 0.16 = 16\% אותה תשובה.
שאלה 6·בעיות מילוליותקלה מאוד
בכיתה 6060 תלמידים, ו-20%20\% מהם משתתפים במקהלה. כמה תלמידים משתתפים במקהלה?
  1. א.12התשובה הנכונה
  2. ב.15
  3. ג.20
  4. ד.30
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים גודל שלם (מספר התלמידים בכיתה) ואחוז מתוכו, ומבוקש החלק המספרי שהאחוז מייצג (מספר המשתתפים). לכן זו בעיית אחוזים. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

  • אומדן - מעגנים ב-`10%` מהשלם (חלוקה מהירה ב-`10`) ומכפילים לפי האחוז המבוקש; נוח כאן כי האחוז כפולה של `10`, ולכן די להכפיל את העוגן.
  • נוסחת האחוז - חישוב מדויק: מכפילים את השלם באחוז ומחלקים ב-`100`.

אומדן:

נמצא עוגן נוח: `10%` מ-`60` הם `6` (חלוקה ב-`10`). מבקשים `20%`, שהם פי שניים מ-`10%`, ולכן מכפילים את העוגן: 6⋅2=12\displaystyle 6 \cdot 2 = 12 זו התשובה, וניתן להקיף.

נוסחת האחוז:

מספר המשתתפים הוא האחוז מתוך השלם:
אחוז חלק = ─────── × שלם 100
נציב את האחוז `20` ואת השלם `60`: 20100⋅60=0.2⋅60=12\displaystyle \dfrac{20}{100} \cdot 60 = 0.2 \cdot 60 = 12 אותה תשובה, וניתן להקיף.
שאלה 7·בעיות מילוליותקלה
בחנות נמכרו היום שמונים חולצות, והן מהוות 40% מכלל הפריטים שנמכרו בה היום. כמה פריטים נמכרו בחנות היום בסך הכול?
  1. א.120
  2. ב.160
  3. ג.200התשובה הנכונה
  4. ד.320
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון חלק (מספר החולצות) ואת האחוז שהוא מהווה מכלל הפריטים, ומבקשים את השלם. השלם הוא מספר הפריטים הכולל, החלק הוא החולצות, והאחוז שמייצג אותו הוא 40%40\%. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

  • טבלת אחוז↔מספר - השלם הוא 100%100\%, מוצאים את היחס בין 40%40\% ל-100%100\% ומיישמים אותו על מספר החולצות.
  • הצבת תשובות - התשובות מספריות ופשוטות, ולכן אפשר לבדוק לכל אחת אם 40%40\% ממנה שווים ל-8080.

טבלת אחוז↔מספר:

נסדר בטבלה את החלק ואת השלם, כל אחד עם האחוז שלו:
חולצות (חלק)סך הפריטים (שלם)
אחוז40%40\%100%100\%
מספר8080??
השלם גדול מהחלק פי 10040=2.5\dfrac{100}{40} = 2.5. נכפיל את מספר החולצות באותו יחס: 80⋅2.5=200\displaystyle 80 \cdot 2.5 = 200 זו התשובה, וניתן להקיף.

הצבת תשובות:

נבדוק לאיזו תשובה 40%40\% ממנה שווים ל-8080. נציב את 200200: 200⋅0.4=80\displaystyle 200 \cdot 0.4 = 80 הערך תואם את הנתון, ולכן זו התשובה.
שאלה 8·בעיות מילוליותבינונית
מחיר מוצר התייקר ב-20%, ולאחר מכן הוזל ב-25% מהמחיר החדש. בכמה אחוזים שונה המחיר הסופי מהמחיר המקורי?
  1. א.ירד ב-10%התשובה הנכונה
  2. ב.ירד ב-5%
  3. ג.לא השתנה
  4. ד.עלה ב-5%
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון מחיר שעובר שני שינויים עוקבים באחוזים - התייקרות ואז הוזלה מהמחיר החדש - ומבקשים בכמה אחוזים שונה הסופי מהמקורי. הרמז: שני שינויים עוקבים באחוזים ← מכפלת מכפילים, לא חיבור/חיסור של האחוזים (שכן ההורדה מחושבת מבסיס גבוה יותר). אין כמות מוחלטת נתונה, ולכן נוח להציב 100100 בשלם.

דרכי פתרון אפשריות

  • הצבת 100100 בשלם - כשאין כמות מוחלטת, מתחילים מ-100100 ועוקבים שלב-שלב; פשוט ומוחשי.
  • פתרון דרך מכפילים - כל שינוי הוא הכפלה ב-(1±X100)(1 \pm \frac{X}{100}), והשינוי הכולל הוא מכפלת המכפילים.

הצבת 100 בשלם:

נניח שהמחיר המקורי הוא 100100 ש"ח. התייקרות ב-20%20\% מוסיפה 2020, ולכן המחיר החדש: 100+20=120\displaystyle 100 + 20 = 120 כעת מוזילים ב-25%25\% מהמחיר החדש 120120. רבע מ-120120 הוא 3030: 120−30=90\displaystyle 120 - 30 = 90 המחיר הסופי 9090 לעומת המקורי 100100 - ירידה של 1010 מתוך 100100, כלומר ירידה של 10%10\%. זו התשובה, וניתן להקיף.

פתרון דרך מכפילים:

עלייה ב-20%20\% היא הכפלה ב-1.21.2, וירידה ב-25%25\% היא הכפלה ב-0.750.75. השינוי הכולל הוא מכפלתם: 1.2⋅0.75=0.9\displaystyle 1.2 \cdot 0.75 = 0.9 המחיר הסופי הוא 0.90.9 מהמקורי, כלומר 90%90\% ממנו - ירידה של 10%10\%. אותה תשובה.

כל השאלות, התשובות וההסברים נכתבו ונבדקו על ידי צוות מומחים שחי ונושם פסיכומטרי. כל פריט עובר בקרת איכות לפני שהוא מתפרסם ומתעדכן באופן שוטף, כדי שהתרגול ישקף את רמת הקושי, הסגנון וההיגיון של המבחן האמיתי.