שיא
כניסה

תרגול שאלות מצולעים לפסיכומטרי

מצולעים בפסיכומטרי הם בעיקר מרובעים. הטריק החוזר הוא להוסיף גובה או אלכסון ולהפוך את המרובע לצורות שאתה כבר יודע לחשב.

8 שאלות עם פתרון מלא

שאלות מתוך התרגול עצמו. נסה לפתור לבד, ורק אז פתח את הפתרון.

שאלה 1·גאומטריהקלה מאוד
בסרטוט שלפניכם מצולע בעל שבע צלעות (מחומש-שביעון). לפי נתונים אלה, מהו סכום כל שבע הזוויות הפנימיות של המצולע?
  1. א.540°
  2. ב.720°
  3. ג.900°התשובה הנכונה
  4. ד.1080°
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון מצולע שמספר צלעותיו ידוע, ומבקשים את סכום כל זוויותיו הפנימיות. לכן זו בעיית מצולעים, סביב נוסחת סכום הזוויות הפנימיות. בתשובות ערכי-זווית במעלות.

דרכי פתרון אפשריות

  • הדרך המתאימה היא אלגברית: נציב את מספר הצלעות בנוסחת סכום הזוויות הפנימיות של מצולע. הצבת-תשובות אינה עוזרת כאן, שכן אין נעלם בגוף השאלה אלא חישוב ישיר של גודל מבוקש.

פתרון אלגברי:

סכום הזוויות הפנימיות של מצולע בעל nn צלעות ניתן על-ידי הנוסחה: (n−2)⋅180°\displaystyle (n-2) \cdot 180° נציב n=7n = 7: (7−2)⋅180°=5⋅180°\displaystyle (7-2) \cdot 180° = 5 \cdot 180° נחשב: 5⋅180°=900°\displaystyle 5 \cdot 180° = 900° זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 2·גאומטריהקלה
בסרטוט טרפז ABCDABCD, שאורכי בסיסיו המקבילים הם 88 ו-1212, וגובהו 55. מהו שטח הטרפז?
B C D A 8 12 5
  1. א.40
  2. ב.44
  3. ג.45
  4. ד.50התשובה הנכונה
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון טרפז שאורכי שני בסיסיו המקבילים וגובהו ידועים, ומבקשים את שטחו. זהו יישום ישיר של נוסחת שטח הטרפז.

דרכי פתרון אפשריות

  • הצבה בנוסחת שטח הטרפז - כל הנתונים (שני הבסיסים והגובה) מסומנים בשרטוט, ומציבים אותם ישירות בנוסחה.

פתרון אלגברי:

שטח הטרפז הוא ממוצע הבסיסים המקבילים כפול הגובה: S=b1+b22⋅h\displaystyle S = \frac{b_1 + b_2}{2} \cdot h נציב את הבסיסים 88 ו-1212 ואת הגובה 55: S=8+122⋅5=202⋅5=10⋅5=50\displaystyle S = \frac{8 + 12}{2} \cdot 5 = \frac{20}{2} \cdot 5 = 10 \cdot 5 = 50 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 3·גאומטריהבינונית
במערכת הצירים שלפניכם נתונים שלושה קדקודים של מלבן ABCDABCD (הקדקודים לפי הסדר), שצלעותיו מקבילות לצירים: A(1,1)A(1, 1), B(1,5)B(1, 5) ו-C(6,5)C(6, 5). מהם שיעורי הקדקוד הרביעי, DD?
x y A(1,1) B(1,5) C(6,5)
  1. א.(1, 6)
  2. ב.(5, 1)
  3. ג.(6, 1)התשובה הנכונה
  4. ד.(6, 6)
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים שלושה קדקודים של מלבן שצלעותיו מקבילות לצירים, ומבקשים את הקדקוד הרביעי. לכן זו בעיית גאומטריה אנליטית המשולבת עם מצולעים: השלמת-מלבן. בתשובות ארבע נקודות מועמדות.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי - במלבן שצלעותיו מקבילות לצירים, הצלעות אנכיות ואופקיות: הקדקוד הרביעי DD נמצא ממול BB (באלכסון), ולכן חולק את שיעור ה-xx עם CC ואת שיעור ה-yy עם AA.
  • הצבת תשובות - המועמדות כבר בתשובות; בודקים איזו מהן יוצרת עם השלושה הנתונים מלבן (צלעות מקבילות לצירים וזוויות ישרות). דרך מעשית כאן, שכן צריך רק לזהות את הנקודה המשלימה.

פתרון אלגברי:

הקדקודים לפי הסדר הם A(1,1)A(1,1), B(1,5)B(1,5), C(6,5)C(6,5), ואז DD. הצלע ABAB אנכית (אותו x=1x=1), והצלע BCBC אופקית (אותו y=5y=5). כדי לסגור מלבן, הצלע CDCD חייבת להיות אנכית (מקבילה ל-ABAB) והצלע DADA אופקית (מקבילה ל-BCBC). לכן DD נמצא ממול BB באלכסון: הוא חולק את שיעור ה-xx עם CC (שכן CDCD אנכית), ואת שיעור ה-yy עם AA (שכן DADA אופקית): xD=xC=6\displaystyle x_D = x_C = 6 yD=yA=1\displaystyle y_D = y_A = 1 הקדקוד הרביעי הוא D(6,1)D(6, 1), כפי שרואים בשרטוט (הצלעות המשלימות CDCD ו-DADA באדום):
x y A(1,1) B(1,5) C(6,5) D(6,1)

הצבת תשובות:

נחפש בין המועמדות את זו שסוגרת מלבן עם AA, BB, CC. תשובה (3), (6,1)(6, 1): היא ישר מתחת ל-C(6,5)C(6,5) (אותו xx, ולכן CDCD אנכית) וישר מימין ל-A(1,1)A(1,1) (אותו yy, ולכן DADA אופקית), וכך נוצר מלבן. שאר המועמדות אינן משלימות מלבן: (1,6)(1,6) ו-(6,6)(6,6) יוצאות מעל הקדקודים הקיימים, ו-(5,1)(5,1) אינה על אותו קו אנכי עם CC. זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 4·גאומטריהקשה
במערכת הצירים שלפניכם נתון מרובע ABCDABCD שקדקודיו (לפי הסדר) הם A(1,1)A(1, 1), B(7,2)B(7, 2), C(6,6)C(6, 6) ו-D(2,5)D(2, 5). מהו שטח המרובע?
x y A(1,1) B(7,2) C(6,6) D(2,5)
  1. א.20התשובה הנכונה
  2. ב.24
  3. ג.30
  4. ד.40
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים ארבעה קדקודים של מרובע בקואורדינטות (לפי הסדר), ומבקשים את שטחו. לכן זו בעיית גאומטריה אנליטית המשולבת עם מצולעים: שטח מרובע מהקואורדינטות. בתשובות מספרים בודדים (השטח).

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון בשיטת הקואורדינטות (שרוך-הנעל) - סוכמים את מכפלות ה"אלכסון-יורד" של הקדקודים לפי הסדר, מחסרים את מכפלות ה"אלכסון-עולה", ולוקחים חצי מהערך המוחלט. דרך שיטתית שנכונה לכל מרובע קמור שקדקודיו לפי הסדר.

פירוט שיטתי:

נסדר את הקדקודים לפי הסדר A(1,1)A(1,1), B(7,2)B(7,2), C(6,6)C(6,6), D(2,5)D(2,5), וחוזרים ל-AA בסוף. השטח מתקבל מהנוסחה:
שטח = ½ · |סכום(x·y_הבא) − סכום(x_הבא·y)|
נחשב תחילה את הסכום של מכפלות xx של כל קדקוד ב-yy של הקדקוד הבא (במעגל): xAyB+xByC+xCyD+xDyA=1⋅2+7⋅6+6⋅5+2⋅1\displaystyle x_A y_B + x_B y_C + x_C y_D + x_D y_A = 1 \cdot 2 + 7 \cdot 6 + 6 \cdot 5 + 2 \cdot 1 =2+42+30+2=76\displaystyle = 2 + 42 + 30 + 2 = 76 עכשיו את הסכום של מכפלות xx של הקדקוד הבא ב-yy של הקדקוד הנוכחי: xByA+xCyB+xDyC+xAyD=7⋅1+6⋅2+2⋅6+1⋅5\displaystyle x_B y_A + x_C y_B + x_D y_C + x_A y_D = 7 \cdot 1 + 6 \cdot 2 + 2 \cdot 6 + 1 \cdot 5 =7+12+12+5=36\displaystyle = 7 + 12 + 12 + 5 = 36 השטח הוא חצי מהערך המוחלט של ההפרש: 12⋅∣76−36∣=12⋅40=20\displaystyle \dfrac{1}{2} \cdot |76 - 36| = \dfrac{1}{2} \cdot 40 = 20 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 5·גאומטריהקשה מאוד
בסרטוט שלפניך ריבוע, ובתוכו חסום מעגל (הנוגע בכל ארבע צלעות הריבוע), וסביב הריבוע חוסם מעגל (העובר בכל ארבעת קדקודי הריבוע). שני המעגלים בעלי מרכז משותף OO. מהו היחס בין שטח המעגל החוסם (הגדול) לבין שטח המעגל החסום (הקטן)?
O
  1. א.√2 : 1
  2. ב.π : 2
  3. ג.2 : 1התשובה הנכונה
  4. ד.4 : 1
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

מבקשים יחס שטחים בין שני מעגלים בעלי מרכז משותף, האחד חוסם ריבוע והאחר חסום בו. יחס שטחי-עיגולים שווה ליחס-הרדיוסים בריבוע, ולכן דרושים שני הרדיוסים דרך צלע הריבוע והאלכסון (פיתגורס).

דרכי פתרון אפשריות

  • יחס-רדיוסים בריבוע - מבטאים כל רדיוס דרך צלע הריבוע: הרדיוס החסום הוא מחצית הצלע (המרחק מהמרכז לאמצע צלע), והרדיוס החוסם הוא מחצית האלכסון (המרחק מהמרכז לקדקוד). מוצאים את יחס הרדיוסים ומעלים אותו בריבוע ליחס השטחים. אין ערך מספרי נתון בשאלה, ולכן הצבת-מספרים ואומדן אינם ישימים, ופונים לדרך העקרונית דרך צלע ss.

יחס-רדיוסים בריבוע:

נסמן את צלע הריבוע ב-ss. נסמן בשרטוט את הרדיוס החסום rr (מהמרכז לאמצע צלע) ואת הרדיוס החוסם RR (מהמרכז לקדקוד):
r R O
הרדיוס החסום הוא המרחק מהמרכז לאמצע צלע, כלומר מחצית הצלע: r=s2\displaystyle r = \dfrac{s}{2} הרדיוס החוסם הוא מחצית אלכסון הריבוע. אלכסון ריבוע שצלעו ss הוא s2s\sqrt{2} (לפי פיתגורס על שני צלעות), ולכן: R=s22\displaystyle R = \dfrac{s\sqrt{2}}{2} יחס הרדיוסים: Rr=s22s2=2\displaystyle \dfrac{R}{r} = \dfrac{\frac{s\sqrt{2}}{2}}{\frac{s}{2}} = \sqrt{2} יחס שטחי המעגלים הוא ריבוע יחס הרדיוסים: (Rr)2=(2)2=2\displaystyle \left(\dfrac{R}{r}\right)^2 = (\sqrt{2})^2 = 2 היחס בין שטח המעגל החוסם לשטח המעגל החסום הוא 2:12 : 1. זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 6·גאומטריהקלה מאוד
בסרטוט שלפניכם מתומן משוכלל (מצולע משוכלל בעל שמונה צלעות). לפי נתונים אלה, מה גודל כל אחת מהזוויות הפנימיות שלו (הזווית המסומנת ב-?)?
?
  1. א.108°
  2. ב.120°
  3. ג.135°התשובה הנכונה
  4. ד.144°
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון מצולע משוכלל שמספר צלעותיו ידוע, ומבקשים את גודל כל זווית פנימית שלו. במצולע משוכלל כל הזוויות הפנימיות שוות, לכן זו בעיית מצולעים, סביב נוסחת הזווית הפנימית של משוכלל. בתשובות ערכי-זווית במעלות.

דרכי פתרון אפשריות

  • הדרך המתאימה היא אלגברית: נחשב את סכום הזוויות הפנימיות של המצולע ונחלק אותו במספר הזוויות (השווה למספר הצלעות), שכן במשוכלל כולן שוות. הצבת-תשובות אינה עוזרת כאן, שכן החישוב ישיר.

פתרון אלגברי:

זווית פנימית של מצולע משוכלל בעל nn צלעות שווה לסכום הזוויות הפנימיות, מחולק במספר הזוויות:
זווית פנימית = סכום הזוויות הפנימיות / מספר הזוויות
נציב את הנוסחה של סכום הזוויות, (n−2)⋅180°(n-2) \cdot 180°, ואת n=8n = 8: (8−2)⋅180°8=6⋅180°8\displaystyle \dfrac{(8-2) \cdot 180°}{8} = \dfrac{6 \cdot 180°}{8} נחשב את המונה ואז נחלק: 1080°8=135°\displaystyle \dfrac{1080°}{8} = 135° זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 7·גאומטריהקלה
בסרטוט שלפניכם טרפז שאורך בסיסו הארוך 1010, אורך בסיסו הקצר 66, וגובהו (היורד מהבסיס הקצר אל הארוך) 44. מהו שטח הטרפז?
10 6 4
  1. א.8
  2. ב.32התשובה הנכונה
  3. ג.40
  4. ד.64
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון טרפז עם שני בסיסים וגובה, ושואלים על שטחו. לכן זו בעיית מצולעים. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי - הצבה ישירה בנוסחת שטח הטרפז, שכן כל הנתונים (שני הבסיסים והגובה) נתונים.

פתרון אלגברי:

שטח טרפז שווה לחצי סכום הבסיסים כפול הגובה:
שטח טרפז = (סכום הבסיסים) / 2 × גובה
נציב את הבסיסים 1010 ו-66 ואת הגובה 44: S=10+62⋅4\displaystyle S = \frac{10 + 6}{2} \cdot 4 נחשב את סכום הבסיסים ואת מחציתו: S=162⋅4=8⋅4\displaystyle S = \frac{16}{2} \cdot 4 = 8 \cdot 4 ולבסוף: S=32\displaystyle S = 32 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 8·גאומטריהבינונית
במערכת הצירים נתונים שלושה מקודקודיה של מקבילית ABCDABCD: A(1,2)A(1, 2), B(6,3)B(6, 3) ו-C(9,8)C(9, 8) (הקודקודים לפי הסדר). (במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה.) מהם שיעורי הקודקוד הרביעי, DD?
x y A(1,2) B(6,3) C(9,8)
  1. א.(4, 7)התשובה הנכונה
  2. ב.(14, 9)
  3. ג.(-2, -3)
  4. ד.(5, 5)
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים שלושה קודקודים של מקבילית בקואורדינטות, ומבקשים את הקודקוד הרביעי, תוך שימוש בתכונה שאלכסוני מקבילית חוצים זה את זה. לכן זו בעיית גאומטריה אנליטית משולבת (עם תכונות מצולעים), הנשענת על נוסחת אמצע-הקטע. בתשובות זוגות של שיעורים.

דרכי פתרון אפשריות

  • התכונה שאלכסוני מקבילית חוצים זה את זה - האלכסונים במקבילית ABCDABCD הם ACAC ו-BDBD, ונקודת החיתוך שלהם היא אמצע כל אחד מהם. לכן אמצע ACAC שווה לאמצע BDBD: מחשבים את אמצע ACAC, ומשם מוצאים את DD (הקצה החסר של BDBD). זו הדרך הישירה לנושא.
  • הצבת תשובות - התשובות הן זוגות-שיעורים ל-DD, וניתן לבדוק לכל אחד אם אמצע BDBD שהוא נותן מתלכד עם אמצע ACAC. דרך פסיכומטרית.

חצייה הדדית של האלכסונים:

האלכסונים ACAC ו-BDBD חוצים זה את זה, ולכן יש להם אותה נקודת-אמצע MM. נחשב תחילה את אמצע האלכסון ACAC בין A(1,2)A(1, 2) ל-C(9,8)C(9, 8): M=(1+92, 2+82)=(5,5)\displaystyle M = \left( \frac{1 + 9}{2}, \ \frac{2 + 8}{2} \right) = (5, 5) הנקודה M(5,5)M(5, 5) היא גם אמצע האלכסון BDBD. נסמן D(xD,yD)D(x_D, y_D), ואמצע BDBD בין B(6,3)B(6, 3) ל-DD הוא MM: 6+xD2=5⇒xD=10−6=4\displaystyle \frac{6 + x_D}{2} = 5 \quad\Rightarrow\quad x_D = 10 - 6 = 4 באותו אופן לשיעור ה-yy: 3+yD2=5⇒yD=10−3=7\displaystyle \frac{3 + y_D}{2} = 5 \quad\Rightarrow\quad y_D = 10 - 3 = 7 הקודקוד הרביעי הוא D(4,7)D(4, 7). נציב את הכול בשרטוט (הקודקוד הנגזר DD בירוק, האלכסונים ואמצעם המשותף MM באדום):
x y A(1,2) B(6,3) C(9,8) D(4,7) M(5,5)
זו התשובה, וניתן להקיף.

הצבת תשובות:

נבדוק את תשובה (1), D(4,7)D(4, 7). אמצע BDBD בין B(6,3)B(6, 3) ל-D(4,7)D(4, 7) הוא (6+42,3+72)=(5,5)\left( \dfrac{6 + 4}{2}, \dfrac{3 + 7}{2} \right) = (5, 5), בדיוק אמצע ACAC שחישבנו. שני האלכסונים חוצים זה את זה, כנדרש. אותה תשובה, וניתן להקיף.

כל השאלות, התשובות וההסברים נכתבו ונבדקו על ידי צוות מומחים שחי ונושם פסיכומטרי. כל פריט עובר בקרת איכות לפני שהוא מתפרסם ומתעדכן באופן שוטף, כדי שהתרגול ישקף את רמת הקושי, הסגנון וההיגיון של המבחן האמיתי.