שיא
התחבר לחשבון

תרגול שאלות מצולעים לפסיכומטרי

מצולעים בפסיכומטרי הם בעיקר מרובעים. הטריק החוזר הוא להוסיף גובה או אלכסון ולהפוך את המרובע לצורות שאתה כבר יודע לחשב.

8 שאלות עם פתרון מלא

שאלות מתוך התרגול עצמו. נסה לפתור לבד, ורק אז פתח את הפתרון.

שאלה 1·גאומטריהקלה מאוד
במלבן אורכי הצלעות הם 99 ס"מ ו-1212 ס"מ. מה אורך אלכסון המלבן (בס"מ)?
  1. א.15התשובה הנכונה
  2. ב.18
  3. ג.21
  4. ד.108
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים אורכי שתי צלעותיו של מלבן, ומבקשים את אורך אלכסונו. לכן זו בעיית פיתגורס. בתשובות ארבעה מספרים שלמים, שלושה קרובים זה לזה ואחד גדול בהרבה.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון גיאומטרי - האלכסון מחלק את המלבן לשני משולשים ישרי-זווית, ובכל אחד מהם שתי צלעות המלבן הן הניצבים והאלכסון הוא היתר. לכן מציבים אותן במשפט פיתגורס ומחלצים את האלכסון. גם כאן המספרים הם שלשה פיתגורית מוכרת, ולכן אפשר לקצר.

פתרון גיאומטרי:

נשרטט את המלבן ונעביר בו אלכסון (באדום). האלכסון יוצר משולש ישר-זווית שניצביו הם שתי צלעות המלבן:
12 9 ?
נסמן ב-dd את האלכסון, ונציב במשפט פיתגורס: 92+122=d2\displaystyle 9^2 + 12^2 = d^2 81+144=d2\displaystyle 81 + 144 = d^2 d2=225\displaystyle d^2 = 225 לכן d=15d = 15, וניתן להקיף.
שאלה 2·גאומטריהקלה
בסרטוט שלפניכם מצולע משוכלל בעל עשר צלעות (מעושר). לפי נתונים אלה, כמה אלכסונים יש למצולע זה בסך הכול?
  1. א.20
  2. ב.35התשובה הנכונה
  3. ג.45
  4. ד.50
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון מצולע שמספר צלעותיו ידוע, ומבקשים את מספר האלכסונים שלו. לכן זו בעיית מצולעים, סביב נוסחת מספר האלכסונים. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון גיאומטרי - נציב את מספר הצלעות בנוסחת מספר האלכסונים. הצבת-תשובות אינה עוזרת כאן, שכן אין נעלם בגוף השאלה אלא חישוב ישיר של גודל מבוקש.

פתרון גיאומטרי:

נסמן בשרטוט את האלכסונים היוצאים מקודקוד אחד:
בשרטוט רואים שמהקודקוד יוצאים 77 אלכסונים, כלומר n−3n-3: אל כל הקודקודים למעט עצמו ושני שכניו. כך מכל אחד מ-nn הקודקודים, וכל אלכסון נספר פעמיים (בשני קצותיו). מספר האלכסונים של מצולע בעל nn צלעות ניתן על-ידי הנוסחה: n(n−3)2\displaystyle \dfrac{n(n-3)}{2} נציב n=10n = 10: 10⋅(10−3)2=10⋅72\displaystyle \dfrac{10 \cdot (10-3)}{2} = \dfrac{10 \cdot 7}{2} נחשב את המונה ואז נחלק: 702=35\displaystyle \dfrac{70}{2} = 35 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 3·גאומטריהבינונית
במערכת הצירים שלפניכם נתונים שלושה קדקודים של מלבן ABCDABCD (הקדקודים לפי הסדר), שצלעותיו מקבילות לצירים: A(1,1)A(1, 1), B(1,5)B(1, 5) ו-C(6,5)C(6, 5). מהם שיעורי הקדקוד הרביעי, DD?
x y A(1,1) B(1,5) C(6,5) D
  1. א.(1, 6)
  2. ב.(5, 1)
  3. ג.(6, 1)התשובה הנכונה
  4. ד.(6, 6)
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים שלושה קדקודים של מלבן שצלעותיו מקבילות לצירים, ומבקשים את הקדקוד הרביעי. לכן זו בעיית גאומטריה אנליטית המשולבת עם מצולעים: השלמת-מלבן. בתשובות ארבע נקודות מועמדות.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון גיאומטרי - במלבן שצלעותיו מקבילות לצירים, הצלעות אנכיות ואופקיות: הקדקוד הרביעי DD נמצא ממול BB (באלכסון), ולכן חולק את שיעור ה-xx עם CC ואת שיעור ה-yy עם AA.
  • הצבת תשובות - המועמדות כבר בתשובות; בודקים איזו מהן יוצרת עם השלושה הנתונים מלבן (צלעות מקבילות לצירים וזוויות ישרות). דרך מעשית כאן, שכן צריך רק לזהות את הנקודה המשלימה.

פתרון גיאומטרי:

הקדקודים לפי הסדר הם A(1,1)A(1,1), B(1,5)B(1,5), C(6,5)C(6,5), ואז DD. הצלע ABAB אנכית (אותו x=1x=1), והצלע BCBC אופקית (אותו y=5y=5). כדי לסגור מלבן, הצלע CDCD חייבת להיות אנכית (מקבילה ל-ABAB) והצלע DADA אופקית (מקבילה ל-BCBC). לכן DD נמצא ממול BB באלכסון: הוא חולק את שיעור ה-xx עם CC (שכן CDCD אנכית), ואת שיעור ה-yy עם AA (שכן DADA אופקית): xD=xC=6\displaystyle x_D = x_C = 6 yD=yA=1\displaystyle y_D = y_A = 1 הקדקוד הרביעי הוא D(6,1)D(6, 1), כפי שרואים בשרטוט (הצלעות המשלימות CDCD ו-DADA באדום):
x y A(1,1) B(1,5) C(6,5) D(6,1)

הצבת תשובות:

נחפש בין המועמדות את זו שסוגרת מלבן עם AA, BB, CC. תשובה (3), (6,1)(6, 1): היא ישר מתחת ל-C(6,5)C(6,5) (אותו xx, ולכן CDCD אנכית) וישר מימין ל-A(1,1)A(1,1) (אותו yy, ולכן DADA אופקית), וכך נוצר מלבן. שאר המועמדות אינן משלימות מלבן: (1,6)(1,6) ו-(6,6)(6,6) יוצאות מעל הקדקודים הקיימים, ו-(5,1)(5,1) אינה על אותו קו אנכי עם CC. זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 4·גאומטריהקשה
במערכת הצירים שלפניכם נתון מרובע ABCDABCD שקדקודיו (לפי הסדר) הם A(1,1)A(1, 1), B(7,2)B(7, 2), C(6,6)C(6, 6) ו-D(2,5)D(2, 5). מהו שטח המרובע?
x y A(1,1) B(7,2) C(6,6) D(2,5)
  1. א.20התשובה הנכונה
  2. ב.24
  3. ג.30
  4. ד.40
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים ארבעה קדקודים של מרובע בקואורדינטות (לפי הסדר), ומבקשים את שטחו. לכן זו בעיית גאומטריה אנליטית המשולבת במצולעים. בתשובות מספרים בודדים (השטח).

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון גיאומטרי - בשיטת הקואורדינטות ("שרוך-הנעל"): סוכמים את מכפלות ה"אלכסון-יורד" של הקדקודים לפי הסדר, מחסרים את מכפלות ה"אלכסון-עולה", ולוקחים חצי מהערך המוחלט. דרך שיטתית שנכונה לכל מרובע קמור שקדקודיו לפי הסדר.

פתרון גיאומטרי:

נסדר את הקדקודים לפי הסדר A(1,1)A(1,1), B(7,2)B(7,2), C(6,6)C(6,6), D(2,5)D(2,5), וחוזרים ל-AA בסוף. הצלע DADA (באדום בשרטוט) היא הסוגרת את המעגל, ולכן זוג-המכפלות האחרון יהיה של DD עם AA:
x y A(1,1) B(7,2) C(6,6) D(2,5)
השטח מתקבל מהנוסחה:
שטח = ½ · |סכום(x·y_הבא) − סכום(x_הבא·y)|
נחשב תחילה את הסכום של מכפלות xx של כל קדקוד ב-yy של הקדקוד הבא (במעגל): xAyB+xByC+xCyD+xDyA=1⋅2+7⋅6+6⋅5+2⋅1\displaystyle x_A y_B + x_B y_C + x_C y_D + x_D y_A = 1 \cdot 2 + 7 \cdot 6 + 6 \cdot 5 + 2 \cdot 1 =2+42+30+2=76\displaystyle = 2 + 42 + 30 + 2 = 76 עכשיו את הסכום של מכפלות xx של הקדקוד הבא ב-yy של הקדקוד הנוכחי: xByA+xCyB+xDyC+xAyD=7⋅1+6⋅2+2⋅6+1⋅5\displaystyle x_B y_A + x_C y_B + x_D y_C + x_A y_D = 7 \cdot 1 + 6 \cdot 2 + 2 \cdot 6 + 1 \cdot 5 =7+12+12+5=36\displaystyle = 7 + 12 + 12 + 5 = 36 השטח הוא חצי מהערך המוחלט של ההפרש: 12⋅∣76−36∣=12⋅40=20\displaystyle \dfrac{1}{2} \cdot |76 - 36| = \dfrac{1}{2} \cdot 40 = 20 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 5·גאומטריהקשה מאוד
בסרטוט שלפניכם מחומש-כוכב (פנטגרם) הנוצר על-ידי חמישה קטעים ישרים, כאשר חמשת קודקודי-החוד שלו אינם בהכרח סימטריים. לפי נתונים אלה, מהו סכום חמש זוויות-החוד של הכוכב (חמש הזוויות המסומנות ב-?)?
? ? ? ? ?
  1. א.180°התשובה הנכונה
  2. ב.360°
  3. ג.540°
  4. ד.900°
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון מחומש-כוכב (פנטגרם) שקודקודי-החוד שלו אינם בהכרח סימטריים, ומבקשים את סכום חמש זוויות-החוד. לכן זו בעיית מצולעים המשולבת במשולשים. בתשובות ארבעה ערכי-זווית קבועים במעלות, מרווחים זה מזה, בלי נעלם ובלי טווח.

דרכי פתרון אפשריות

  • מצבי קיצון - צורת הכוכב אינה קבועה (הקודקודים אינם בהכרח סימטריים), ואילו ארבע התשובות הן ערכים קבועים, בלי נעלם ובלי טווח. מכאן שקיים ערך אחד שנכון לכל כוכב אפשרי, ולכן מותר לבחור את המקרה הנוח ביותר, כוכב סימטרי, ולחשב רק בו. זו הדרך המהירה, והיא מנצלת את מבנה התשובות.
  • פתרון גיאומטרי - נחשב את הסכום לכוכב כללי, בעזרת סכום הזוויות במשולש וסכום הזוויות החיצוניות של מצולע. הדרך ארוכה יותר, אך אינה נשענת על מבנה התשובות. נדגים את שתיהן.

מצבי קיצון:

נבחר את המקרה הנוח: פנטגרם משוכלל, שחמשת חודיו יושבים על מעגל ומחלקים אותו לחמש קשתות שוות. נסמן את החודים AA עד EE. שני הקטעים היוצאים מהחוד AA מגיעים אל CC ואל DD, ולכן זווית-החוד ב-AA היא ∠CAD\angle CAD:
A B C D E ?
קודקוד הזווית ∠CAD\angle CAD נמצא על המעגל, ולכן זו זווית היקפית. הקשת שעליה היא נשענת היא הקשת CDCD, זו שאינה מכילה את AA, והיא אחת מחמש הקשתות השוות: 360°5=72°\displaystyle \dfrac{360°}{5} = 72° זווית היקפית שווה למחצית הקשת שעליה היא נשענת: ∠CAD=72°2=36°\displaystyle \angle CAD = \dfrac{72°}{2} = 36°
A B C D E 72° 36°
בפנטגרם משוכלל חמשת החודים זהים, ולכן סכומם: 5⋅36°=180°\displaystyle 5 \cdot 36° = 180° זו התשובה.

פתרון גיאומטרי:

חמשת הקטעים נחתכים זה בזה ויוצרים בתוך הכוכב מחומש (באדום), וכל חוד הוא קודקוד-הראש של משולש שבסיסו צלע של אותו מחומש. נסמן את זוויות-החוד ב-a,b,c,d,ea, b, c, d, e, ונתבונן במשולש המוצלל, שזווית-הראש שלו היא aa ובסיסו הצלע PQPQ:
a b c d e p q P Q
בקודקוד PP הקטע העולה אל החוד הוא ההמשך של הצלע השנייה של המחומש, שכן שניהם שוכבים על אותו קטע-כוכב. לכן זווית-הבסיס pp (בירוק) צמודה לזווית הפנימית של המחומש ב-PP (בכחול), כלומר pp היא הזווית החיצונית של המחומש ב-PP. באותו אופן qq היא הזווית החיצונית ב-QQ. סכום הזוויות במשולש הוא 180°180°, ולכן זווית-החוד היא: a=180°−p−q\displaystyle a = 180° - p - q אותו דבר נכון לכל אחד מחמשת המשולשים. נחבר את חמש המשוואות: סכום זוויות-החוד שווה ל-5⋅180°=900°5 \cdot 180° = 900° פחות סכום עשר זוויות-הבסיס. כל קודקוד של המחומש הוא קודקוד-בסיס של שני משולשים (זה שמימינו וזה שמשמאלו), ובשניהם זווית-הבסיס שם היא אותה זווית חיצונית. לכן כל זווית חיצונית נספרת פעמיים, וסכום הזוויות החיצוניות של מצולע קמור הוא 360°360°: 2⋅360°=720°\displaystyle 2 \cdot 360° = 720° נציב ונקבל: a+b+c+d+e=900°−720°=180°\displaystyle a + b + c + d + e = 900° - 720° = 180° שתי הדרכים נותנות 180°180°, ללא תלות בצורת הכוכב. זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 6·גאומטריהקלה מאוד
בסרטוט שלפניכם מצולע בעל שבע צלעות. לפי נתונים אלה, מהו סכום כל שבע הזוויות הפנימיות של המצולע?
  1. א.540°
  2. ב.720°
  3. ג.900°התשובה הנכונה
  4. ד.1080°
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון מצולע שמספר צלעותיו ידוע, ומבקשים את סכום כל זוויותיו הפנימיות. לכן זו בעיית מצולעים, סביב נוסחת סכום הזוויות הפנימיות. בתשובות ערכי-זווית במעלות.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון גיאומטרי - נציב את מספר הצלעות בנוסחת סכום הזוויות הפנימיות של מצולע. הצבת-תשובות אינה עוזרת כאן, שכן אין נעלם בגוף השאלה אלא חישוב ישיר של גודל מבוקש.

פתרון גיאומטרי:

אלכסונים היוצאים מקודקוד אחד מחלקים מצולע בעל nn צלעות ל-n−2n-2 משולשים; במצולע שלפנינו, בעל שבע צלעות, נוצרים חמישה משולשים:
1 2 3 4 5
סכום הזוויות הפנימיות של המצולע הוא אפוא סכום זוויותיהם של n−2n-2 המשולשים: (n−2)⋅180°\displaystyle (n-2) \cdot 180° נציב n=7n = 7: (7−2)⋅180°=5⋅180°\displaystyle (7-2) \cdot 180° = 5 \cdot 180° נחשב: 5⋅180°=900°\displaystyle 5 \cdot 180° = 900° זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 7·גאומטריהקלה
בסרטוט שלפניכם חלק ממצולע משוכלל, שאחת מצלעותיו הוארכה (הקו המקווקו). הזווית החיצונית שנוצרה היא 24°24°. לפי נתונים אלה, כמה צלעות יש למצולע?
24°
  1. א.15התשובה הנכונה
  2. ב.18
  3. ג.20
  4. ד.24
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונה זווית חיצונית של מצולע משוכלל, ומבקשים את מספר צלעותיו. לכן זו בעיית מצולעים. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון גיאומטרי - נשענים על תכונה קבועה: סכום כל הזוויות החיצוניות של מצולע קמור הוא תמיד 360°360°, ללא תלות במספר הצלעות. במצולע משוכלל כל הזוויות החיצוניות שוות, ולכן מספר הצלעות הוא 360°360° מחולק בזווית החיצונית האחת. הצבת-תשובות אפשרית גם היא (נחלק 360360 בכל מועמד ונבדוק מי נותן זווית חיצונית 24°24°), אך החלוקה הישירה קצרה יותר.

פתרון גיאומטרי:

במצולע משוכלל, מספר הצלעות שווה לסכום הזוויות החיצוניות מחולק בגודל זווית חיצונית אחת:
מספר צלעות = 360° / זווית חיצונית
נציב זווית חיצונית 24°24°: n=360°24°\displaystyle n = \dfrac{360°}{24°} נחשב: n=15\displaystyle n = 15 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 8·גאומטריהבינונית
במערכת הצירים שלפניכם נתון טרפז ABCDABCD שקדקודיו (לפי הסדר) הם A(−2,0)A(-2, 0), B(6,0)B(6, 0), C(4,4)C(4, 4) ו-D(0,4)D(0, 4). הבסיסים ABAB ו-DCDC מקבילים לציר ה-xx. מהו שטח הטרפז?
x y A(-2,0) B(6,0) C(4,4) D(0,4)
  1. א.16
  2. ב.24התשובה הנכונה
  3. ג.32
  4. ד.48
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון טרפז שקדקודיו בקואורדינטות, עם שני בסיסים מקבילים לציר ה-xx, ומבקשים את שטחו. לכן זו בעיית גאומטריה אנליטית המשולבת במצולעים. בתשובות ערכים מספריים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון גיאומטרי - הבסיסים אופקיים ואורכם נקרא מהפרש שיעורי ה-xx, הגובה הוא המרחק האנכי בין שני הבסיסים (הפרש שיעורי ה-yy), ומציבים את שלושתם בנוסחת שטח הטרפז. זו הדרך הישירה, ומכיוון שהחישוב מיידי אין יתרון להצבת התשובות.

פתרון גיאומטרי:

הבסיס התחתון ABAB מחבר את A(−2,0)A(-2,0) ל-B(6,0)B(6,0), ואורכו הפרש שיעורי ה-xx: AB=∣6−(−2)∣=8\displaystyle AB = |6 - (-2)| = 8 הבסיס העליון DCDC מחבר את D(0,4)D(0,4) ל-C(4,4)C(4,4), ואורכו: DC=∣4−0∣=4\displaystyle DC = |4 - 0| = 4 הגובה הוא המרחק האנכי בין הבסיסים, כלומר הפרש שיעורי ה-yy: h=∣4−0∣=4\displaystyle h = |4 - 0| = 4 השרטוט הבא מדגיש את הגובה שהורדנו מ-CC אל הבסיס ABAB (מקווקו באדום) ואת שלושת הגדלים שנגזרו:
x y A(-2,0) B(6,0) C(4,4) D(0,4) 8 4 4
נציב בנוסחת שטח הטרפז (חצי סכום הבסיסים כפול הגובה): S=(AB+DC)⋅h2=(8+4)⋅42\displaystyle S = \dfrac{(AB + DC) \cdot h}{2} = \dfrac{(8 + 4) \cdot 4}{2} נחשב מדורג: S=12⋅42=482=24\displaystyle S = \dfrac{12 \cdot 4}{2} = \dfrac{48}{2} = 24 זו התשובה, וניתן להקיף.

כל השאלות, התשובות וההסברים נכתבו ונבדקו על ידי צוות מומחים שחי ונושם פסיכומטרי ואמירנט. כל פריט עובר בקרת איכות לפני שהוא מתפרסם ומתעדכן באופן שוטף, כדי שהתרגול ישקף את רמת הקושי, הסגנון וההיגיון של המבחן האמיתי.

שיא

© 2026 · שיא. סימולטור פסיכומטרי ואמירנט