שיא
התחבר לחשבון

תרגול משפט פיתגורס לפסיכומטרי

פיתגורס מופיע בפסיכומטרי הרבה יותר ממה שנדמה, ולעיתים קרובות מוסתר בתוך שאלה שלא נראית כמו שאלת משולש - אלכסון של מלבן, גובה במשולש שווה שוקיים, או מרחק בין שתי נקודות.

8 שאלות עם פתרון מלא

שאלות מתוך התרגול עצמו. נסה לפתור לבד, ורק אז פתח את הפתרון.

שאלה 1·גאומטריהקלה מאוד
במערכת הצירים נתונה הנקודה P(9,12)P(9, 12). מהו המרחק בין PP לראשית הצירים?
  1. א.9
  2. ב.12
  3. ג.15התשובה הנכונה
  4. ד.21
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונה נקודה בקואורדינטות, ומבקשים את מרחקה מראשית הצירים. לכן זו בעיית גאומטריה אנליטית, המשלבת את משפט פיתגורס. בתשובות ערכים מספריים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון גיאומטרי - מציבים בנוסחת המרחק, שכן המרחק מנקודה לראשית הוא היתר במשולש ישר-זווית שניצביו הם שיעורי הנקודה עצמם (ההפרשים מ-00). זו הדרך הישירה, ומכיוון שהחישוב מיידי אין יתרון להצבת התשובות.

פתרון גיאומטרי:

מכיוון שהראשית היא (0,0)(0,0), ההפרשים הם שיעורי הנקודה עצמם: הניצב האופקי הוא 99 והניצב האנכי הוא 1212. המרחק הוא היתר: OP=92+122\displaystyle OP = \sqrt{9^2 + 12^2} נחשב את הריבועים ונסכם: OP=81+144=225=15\displaystyle OP = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 2·גאומטריהקלה
במערכת הצירים נתונות הנקודות A(2,1)A(2, 1) ו-B(7,13)B(7, 13). מהו המרחק בין AA ל-BB?
  1. א.7
  2. ב.12
  3. ג.17
  4. ד.13התשובה הנכונה
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונות שתי נקודות במערכת הצירים בעלות שיעורי xx ושיעורי yy שונים, כלומר הקטע ביניהן נטוי, ומבקשים את המרחק ביניהן. לכן זו בעיית גאומטריה אנליטית, המשלבת את משפט פיתגורס. בתשובות ערכים מספריים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון גיאומטרי - המרחק בין שתי נקודות הוא היתר במשולש ישר-זווית שניצביו הם הפרש שיעורי ה-xx והפרש שיעורי ה-yy, ולכן מציבים את ההפרשים בנוסחת המרחק. זו הדרך הישירה, ומכיוון שהחישוב מיידי אין יתרון להצבת התשובות.

פתרון גיאומטרי:

המרחק בין שתי נקודות הוא היתר במשולש ישר-זווית שניצביו מקבילים לצירים. ניצב אחד הוא הפרש שיעורי ה-xx, והשני הפרש שיעורי ה-yy: Δx=7−2=5,Δy=13−1=12\displaystyle \Delta x = 7 - 2 = 5, \qquad \Delta y = 13 - 1 = 12 נציב את שני הניצבים בנוסחת המרחק: AB=(Δx)2+(Δy)2=52+122\displaystyle AB = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} נחשב את הריבועים ונסכם: AB=25+144=169=13\displaystyle AB = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 באותו אופן, הצבת השיעורים ישירות בנוסחה הכללית נותנת את אותה תוצאה: AB=(x2−x1)2+(y2−y1)2=(7−2)2+(13−1)2=25+144=13\displaystyle AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(7 - 2)^2 + (13 - 1)^2} = \sqrt{25 + 144} = 13 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 3·גאומטריהבינונית
במערכת הצירים שלפניכם נתונות שלוש הנקודות A(1,1)A(1, 1), B(9,1)B(9, 1) ו-C(9,7)C(9, 7), המהוות קדקודי משולש. מהו היקף המשולש ABCABC?
x y A(1,1) B(9,1) C(9,7)
  1. א.20
  2. ב.22
  3. ג.24התשובה הנכונה
  4. ד.34
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים שלושה קדקודי משולש בקואורדינטות במערכת הצירים, ומבקשים את היקפו (סכום שלוש הצלעות). לכן זו בעיית גאומטריה אנליטית, המשלבת את משפט פיתגורס. בתשובות ערכים מספריים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון גיאומטרי - שתי הצלעות המקבילות לצירים נקראות ישירות מהפרשי הקואורדינטות, והצלע הנטויה מתקבלת בפיתגורס על ההפרשים; ההיקף הוא סכום השלוש. הצבה בנוסחת המרחק הכללית לכל צלע נותנת את אותם אורכים, ומכיוון שהחישוב מיידי אין יתרון להצבת התשובות.

פתרון גיאומטרי:

הצלע ABAB מחברת נקודות בעלות אותו שיעור yy (שתיהן y=1y=1), ולכן היא אופקית ואורכה הפרש שיעורי ה-xx: AB=∣9−1∣=8\displaystyle AB = |9 - 1| = 8 הצלע BCBC מחברת נקודות בעלות אותו שיעור xx (שתיהן x=9x=9), ולכן היא אנכית ואורכה הפרש שיעורי ה-yy: BC=∣7−1∣=6\displaystyle BC = |7 - 1| = 6 הצלע CACA נטויה, ואורכה הוא היתר במשולש ישר-זווית שניצביו הם ABAB ו-BCBC: CA=82+62=64+36=100=10\displaystyle CA = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 השרטוט הבא מסכם את שלושת האורכים שנגזרו (באדום) ואת הזווית הישרה שבקדקוד BB, שהיא המצדיקה את פיתגורס:
x y A(1,1) B(9,1) C(9,7) 8 6 10
נסכם את שלוש הצלעות לקבלת ההיקף: P=AB+BC+CA=8+6+10=24\displaystyle P = AB + BC + CA = 8 + 6 + 10 = 24 אפשר לקבל את אותם אורכים גם מהצבה ישירה בנוסחת המרחק בין שתי נקודות לכל צלע: AB=(9−1)2+(1−1)2=64=8\displaystyle AB = \sqrt{(9-1)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{64} = 8 BC=(9−9)2+(7−1)2=36=6\displaystyle BC = \sqrt{(9-9)^2 + (7-1)^2} = \sqrt{36} = 6 CA=(1−9)2+(1−7)2=64+36=10\displaystyle CA = \sqrt{(1-9)^2 + (1-7)^2} = \sqrt{64 + 36} = 10 סכום הצלעות נותן שוב היקף 8+6+10=248 + 6 + 10 = 24, זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 4·גאומטריהקשה
במערכת הצירים שלפניכם נתון משולש שקדקודיו A(1,2)A(1, 2), B(9,2)B(9, 2) ו-C(5,8)C(5, 8). מהקדקוד CC מעבירים תיכון אל הצלע ABAB (כלומר קטע מ-CC אל אמצע ABAB). מהו אורך התיכון?
x y A(1,2) B(9,2) C(5,8)
  1. א.6התשובה הנכונה
  2. ב.8
  3. ג.10
  4. ד.12
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים שלושה קדקודי משולש בקואורדינטות, ומבקשים את אורך התיכון מקדקוד CC אל הצלע ABAB (הקטע מ-CC אל אמצע ABAB). לכן זו בעיית גאומטריה אנליטית המשולבת בפיתגורס. בתשובות ערכים מספריים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון גיאומטרי - שרשרת בת שני שלבים: תחילה מחשבים את שיעורי אמצע ABAB (ממוצע שיעורי הקצוות), ורק אז את המרחק מ-CC אל אותו אמצע. זו הדרך הישירה, ומכיוון שהתשובות הן אורכי התיכון ובדיקת כל אחת דורשת ממילא את האמצע, אין יתרון להצבת התשובות.

פתרון גיאומטרי:

נחשב תחילה את שיעורי אמצע הצלע ABAB, נסמנו MM, כממוצע שיעורי A(1,2)A(1,2) ו-B(9,2)B(9,2): M=(1+92, 2+22)=(5,2)\displaystyle M = \left( \dfrac{1 + 9}{2}, \ \dfrac{2 + 2}{2} \right) = (5, 2) התיכון הוא הקטע מ-C(5,8)C(5,8) אל M(5,2)M(5,2). נבחין שלשתי הנקודות אותו שיעור xx (שתיהן x=5x=5), ולכן התיכון אנכי ואורכו הוא פשוט הפרש שיעורי ה-yy: CM=∣8−2∣=6\displaystyle CM = |8 - 2| = 6 השרטוט הבא מדגיש את התיכון CMCM (באדום) ואת האמצע MM שנגזר:
x y A(1,2) B(9,2) C(5,8) M(5,2)
אורך התיכון הוא 66. אפשר לאמת את התוצאה גם בנוסחת המרחק המלאה בין C(5,8)C(5,8) ל-M(5,2)M(5,2): CM=(5−5)2+(8−2)2=0+36=36=6\displaystyle CM = \sqrt{(5 - 5)^2 + (8 - 2)^2} = \sqrt{0 + 36} = \sqrt{36} = 6 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 5·גאומטריהקשה מאוד
במערכת הצירים נתונות שתי הנקודות A(1,4)A(1, 4) ו-B(7,2)B(7, 2). מבקשים את הנקודה שעל ציר ה-xx הנמצאת במרחק שווה מ-AA ומ-BB. מהם שיעורי נקודה זו?
  1. א.(0, 0)
  2. ב.(4, 0)
  3. ג.(5, 0)
  4. ד.(3, 0)התשובה הנכונה
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונות שתי נקודות בקואורדינטות, ומבקשים את הנקודה שעל ציר ה-xx הנמצאת במרחק שווה משתיהן. לכן זו בעיית גאומטריה אנליטית המשולבת במשפט פיתגורס. בתשובות זוגות שיעורים, כולם עם y=0y = 0 (על ציר ה-xx), ולכן ההבדל ביניהם רק בשיעור ה-xx.

דרכי פתרון אפשריות

  • הצבת תשובות - השיעורים כבר בתשובות; מציבים כל נקודה ובודקים בנוסחת המרחק (או בריבועי המרחקים) אם המרחק מ-AA שווה למרחק מ-BB. דרך מעשית כאן, שכן צריך רק לבדוק ארבע נקודות ולוותר על פתיחת המשוואה.
  • פתרון גיאומטרי - הנקודה על ציר ה-xx היא מהצורה (x,0)(x, 0). התנאי "מרחק שווה מ-AA ומ-BB" מתורגם למשוואה שבה המרחק (בריבוע) מ-AA שווה למרחק (בריבוע) מ-BB; פותחים את הריבועים, מבטלים את אברי ה-x2x^2, ומקבלים משוואה ליניארית ל-xx.

הצבת תשובות:

נבדוק לכל מועמד אם ריבוע המרחק שלו מ-A(1,4)A(1, 4) שווה לריבוע המרחק מ-B(7,2)B(7, 2). נתחיל מתשובה (4), (3,0)(3, 0). ריבוע המרחק מ-AA הוא (3−1)2+(0−4)2=4+16=20(3 - 1)^2 + (0 - 4)^2 = 4 + 16 = 20, וריבוע המרחק מ-BB הוא (3−7)2+(0−2)2=16+4=20(3 - 7)^2 + (0 - 2)^2 = 16 + 4 = 20. שני הריבועים שווים, ולכן הנקודה במרחק שווה משתי הנקודות. נוודא שהשאר אינן: תשובה (1), (0,0)(0, 0), נותנת 1+16=171 + 16 = 17 מול 49+4=5349 + 4 = 53; תשובה (2), (4,0)(4, 0), נותנת 9+16=259 + 16 = 25 מול 9+4=139 + 4 = 13; תשובה (3), (5,0)(5, 0), נותנת 16+16=3216 + 16 = 32 מול 4+4=84 + 4 = 8. באף אחת מהן אין שוויון. זו התשובה, וניתן להקיף.

פתרון גיאומטרי:

הנקודה המבוקשת נמצאת על ציר ה-xx, ולכן היא מהצורה (x,0)(x, 0). התובנה הפותרת: אם מרחקה מ-AA שווה למרחקה מ-BB, אז גם ריבועי המרחקים שווים; בעבודה עם הריבועים נפטרים מהשורשים של נוסחת המרחק. נכתוב אפוא ש-AP2=BP2AP^2 = BP^2, כאשר P=(x,0)P = (x, 0): (x−1)2+(0−4)2=(x−7)2+(0−2)2\displaystyle (x - 1)^2 + (0 - 4)^2 = (x - 7)^2 + (0 - 2)^2 נפתח את הריבועים בשני האגפים: x2−2x+1+16=x2−14x+49+4\displaystyle x^2 - 2x + 1 + 16 = x^2 - 14x + 49 + 4 אבר ה-x2x^2 מופיע בשני האגפים ומתבטל, ונשארת משוואה ליניארית: −2x+17=−14x+53\displaystyle -2x + 17 = -14x + 53 נכנס את אברי ה-xx לאגף אחד ואת המספרים לשני: −2x+14x=53−17\displaystyle -2x + 14x = 53 - 17 12x=36\displaystyle 12x = 36 x=3\displaystyle x = 3 הנקודה המבוקשת היא (3,0)(3, 0). בשרטוט רואים שהמרחקים ממנה ל-AA ול-BB (מקווקווים בירוק) אכן שווים:
x y A(1,4) B(7,2) (3,0)
לאימות: המרחק מ-(3,0)(3,0) ל-A(1,4)A(1,4) הוא (3−1)2+(0−4)2=4+16=20\sqrt{(3-1)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}, והמרחק ל-B(7,2)B(7,2) הוא (3−7)2+(0−2)2=16+4=20\sqrt{(3-7)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}. המרחקים שווים. אותה תשובה, וניתן להקיף.
שאלה 6·גאומטריהקלה מאוד
במשולש ישר-זווית אורכי הניצבים הם 66 ס"מ ו-88 ס"מ. מה אורך היתר (בס"מ)?
  1. א.10התשובה הנכונה
  2. ב.12
  3. ג.14
  4. ד.48
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים אורכי שני הניצבים במשולש ישר-זווית, ומבקשים את אורך היתר. לכן זו בעיית פיתגורס. בתשובות ארבעה מספרים שלמים, שלושה קרובים זה לזה ואחד גדול בהרבה.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון גיאומטרי - מציבים את שני הניצבים במשפט פיתגורס ומחלצים את היתר. המספרים 66 ו-88 הם שלשה פיתגורית מוכרת, ולכן אפשר גם לקצר ולזהות את היתר ישירות, בלי לחשב שורש.

פתרון גיאומטרי:

נשרטט את המשולש, נסמן את שני הניצבים הנתונים ואת היתר המבוקש (באדום):
8 6 ?
נסמן ב-cc את היתר, ונציב במשפט פיתגורס: 62+82=c2\displaystyle 6^2 + 8^2 = c^2 36+64=c2\displaystyle 36 + 64 = c^2 c2=100\displaystyle c^2 = 100 לכן c=10c = 10, וניתן להקיף.
שאלה 7·גאומטריהבינונית
במערכת הצירים שלפניכם נתון משולש שווה-שוקיים ABCABC שבסיסו ABAB מונח על ציר ה-xx, כאשר A(−4,0)A(-4, 0) ו-B(4,0)B(4, 0). הקדקוד CC נמצא על ציר ה-yy (מעליו), ואורך כל אחת מהשוקיים (CACA ו-CBCB) הוא 55. מהם שיעורי הקדקוד CC?
x y A(-4,0) B(4,0) C
  1. א.(0, 1)
  2. ב.(0, 3)התשובה הנכונה
  3. ג.(0, 4)
  4. ד.(0, 5)
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון משולש שווה-שוקיים שבסיסו על ציר ה-xx סימטרי סביב הראשית, קדקוד ראשו על ציר ה-yy ואורך שוק נתון; מבקשים את שיעורי קדקוד הראש. לכן זו בעיית גאומטריה אנליטית, המשלבת את משפט פיתגורס. בתשובות זוגות שיעורים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון גיאומטרי - הראש נמצא על ציר ה-yy, לכן שיעור ה-xx שלו הוא 00, ונותר למצוא את שיעור ה-yy, שהוא גובה המשולש. הגובה, חצי-הבסיס והשוק מרכיבים משולש ישר-זווית שבו השוק הוא היתר, ומחלצים את הגובה בפיתגורס. זו הדרך הישירה לנושא.

פתרון גיאומטרי:

הראש CC נמצא על ציר ה-yy, ולכן שיעור ה-xx שלו הוא 00; נותר למצוא את שיעור ה-yy שלו, שהוא גובה המשולש מעל הראשית. מכיוון שהבסיס ABAB סימטרי סביב הראשית, רגל הגובה יורדת בדיוק לראשית (0,0)(0,0), וחצי-הבסיס הוא המרחק מהראשית ל-B(4,0)B(4,0), כלומר 44. השוק CBCB (שאורכו 55) הוא היתר במשולש ישר-זווית שניצביו הם הגובה hh וחצי-הבסיס 44. השרטוט הבא מדגיש את הגובה hh (באדום) שהוא הניצב המבוקש במשולש הישר-זווית:
x y A(-4,0) B(4,0) C(0,3)
נציב בפיתגורס, כאשר השוק הוא היתר: h2+42=52\displaystyle h^2 + 4^2 = 5^2 נבודד את h2h^2 ונחשב: h2=25−16=9⇒h=3\displaystyle h^2 = 25 - 16 = 9 \quad\Rightarrow\quad h = 3 שיעור ה-yy של הראש הוא 33, ולכן C=(0,3)C = (0, 3). זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 8·גאומטריהקשה
במערכת הצירים נתונות הנקודות A(1,2)A(1, 2) ו-B(4,6)B(4, 6). מהנקודה BB מורידים אנך לקטע ABAB (כלומר ישר המאונך ל-ABAB ועובר דרך BB), והוא חותך את ציר ה-xx בנקודה PP. מהו אורך הקטע BPBP?
x y A(1,2) B(4,6) P
  1. א.5
  2. ב.10התשובה הנכונה
  3. ג.12
  4. ד.15
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונות שתי נקודות במערכת הצירים, מעבירים דרך אחת מהן ישר המאונך לקטע שביניהן, ומבקשים את אורך הקטע מ-BB עד לחיתוך עם ציר ה-xx. לכן זו בעיית גאומטריה אנליטית המשולבת במשפט פיתגורס. בתשובות ערכים מספריים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון גיאומטרי - זו הדרך המסודרת לשאלה רב-שלבית: מוצאים את שיפוע ABAB, הופכים אותו לשיפוע המאונך (מכפלת שיפועי ישרים מאונכים היא −1-1), כותבים את משוואת הישר המאונך העובר דרך BB ופותרים אותה עבור y=0y=0 כדי למצוא את PP, ולבסוף מחשבים את המרחק BPBP. כל שלב מזין את הבא, ואי-אפשר לקצר. הצבת התשובות אינה ישימה כאן, מכיוון שהתשובות הן אורכי BPBP ובדיקת כל אחת דורשת ממילא את מציאת PP.

פתרון גיאומטרי:

תחילה נחשב את שיפוע ABAB (הפרש שיעורי ה-yy חלקי הפרש שיעורי ה-xx): mAB=6−24−1=43\displaystyle m_{AB} = \frac{6 - 2}{4 - 1} = \frac{4}{3} הישר המבוקש מאונך ל-ABAB, ולכן שיפועו הוא ההופכי-והנגדי (מכפלת שיפועיהם של ישרים מאונכים שווה −1-1): m⊥=−34\displaystyle m_{\perp} = -\frac{3}{4} נכתוב את משוואת הישר המאונך העובר דרך B(4,6)B(4, 6): y−6=−34(x−4)\displaystyle y - 6 = -\frac{3}{4}(x - 4) נמצא את PP, נקודת החיתוך עם ציר ה-xx, על ידי הצבת y=0y = 0: 0−6=−34(x−4)⇒−6=−34(x−4)\displaystyle 0 - 6 = -\frac{3}{4}(x - 4) \quad\Rightarrow\quad -6 = -\frac{3}{4}(x - 4) נכפול את שני האגפים ב-−43-\dfrac{4}{3}: x−4=8⇒x=12\displaystyle x - 4 = 8 \quad\Rightarrow\quad x = 12 לכן P=(12,0)P = (12, 0). נציב את הקונפיגורציה בשרטוט (הקטע המבוקש BPBP באדום):
x y A(1,2) B(4,6) P(12,0) BP=10
נותר לחשב את המרחק BPBP בין B(4,6)B(4, 6) ל-P(12,0)P(12, 0) בנוסחת המרחק: BP=(12−4)2+(0−6)2=82+62\displaystyle BP = \sqrt{(12 - 4)^2 + (0 - 6)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} נחשב את הריבועים ונסכם: BP=64+36=100=10\displaystyle BP = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 זו התשובה, וניתן להקיף.

כל השאלות, התשובות וההסברים נכתבו ונבדקו על ידי צוות מומחים שחי ונושם פסיכומטרי ואמירנט. כל פריט עובר בקרת איכות לפני שהוא מתפרסם ומתעדכן באופן שוטף, כדי שהתרגול ישקף את רמת הקושי, הסגנון וההיגיון של המבחן האמיתי.

שיא

© 2026 · שיא. סימולטור פסיכומטרי ואמירנט