שיא
כניסה

תרגול משפט פיתגורס לפסיכומטרי

פיתגורס מופיע בפסיכומטרי הרבה יותר ממה שנדמה, ולעיתים קרובות מוסתר בתוך שאלה שלא נראית כמו שאלת משולש - אלכסון של מלבן, גובה במשולש שווה שוקיים, או מרחק בין שתי נקודות.

8 שאלות עם פתרון מלא

שאלות מתוך התרגול עצמו. נסה לפתור לבד, ורק אז פתח את הפתרון.

שאלה 1·גאומטריהקלה
במערכת הצירים נתונות הנקודות A(2,1)A(2, 1) ו-B(7,13)B(7, 13). מהו המרחק בין AA ל-BB?
  1. א.7
  2. ב.12
  3. ג.17
  4. ד.13התשובה הנכונה
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונות שתי נקודות במערכת הצירים בעלות שיעורי xx ושיעורי yy שונים, כלומר הקטע ביניהן נטוי, ומבקשים את המרחק ביניהן. לכן זו בעיית גאומטריה אנליטית, המשלבת את משפט פיתגורס. בתשובות ערכים מספריים.

דרכי פתרון אפשריות

  • נוסחת המרחק (פיתגורס על ההפרשים) - זו הדרך הישירה: המרחק בין שתי נקודות הוא היתר במשולש ישר-זווית שניצביו הם הפרש שיעורי ה-xx והפרש שיעורי ה-yy.
  • פתרון אלגברי - אותה נוסחה, כתובה במלואה.

נוסחת המרחק:

המרחק בין שתי נקודות הוא היתר במשולש ישר-זווית שניצביו מקבילים לצירים. ניצב אחד הוא הפרש שיעורי ה-xx, והשני הפרש שיעורי ה-yy: Δx=7−2=5,Δy=13−1=12\displaystyle \Delta x = 7 - 2 = 5, \qquad \Delta y = 13 - 1 = 12 נציב את שני הניצבים בנוסחת המרחק: AB=(Δx)2+(Δy)2=52+122\displaystyle AB = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} נחשב את הריבועים ונסכם: AB=25+144=169=13\displaystyle AB = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 (נשים לב שהניצבים 55 ו-1212 הם חלק משלשה פיתגורית מוכרת, שהיתר בה הוא 1313, כך שאפשר לקבל את התשובה גם בלי חישוב השורש.) זו התשובה, וניתן להקיף.

פתרון אלגברי:

נציב את השיעורים ישירות בנוסחה הכללית: AB=(x2−x1)2+(y2−y1)2=(7−2)2+(13−1)2=25+144=13\displaystyle AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(7 - 2)^2 + (13 - 1)^2} = \sqrt{25 + 144} = 13 אותה תשובה, וניתן להקיף.
שאלה 2·גאומטריהבינונית
במעגל, ABAB הוא קוטר שאורכו 8 ס"מ, והנקודה CC נמצאת על המעגל. הזווית CABCAB שווה 30°. מה אורך הקטע BCBC (בס"מ)?
  1. א.4התשובה הנכונה
  2. ב.6
  3. ג.4√3
  4. ד.8
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון ש-ABAB הוא קוטר ו-CC על המעגל, נתונים אורך הקוטר וזווית של `30°`, ומבוקש אורך צלע. קוטר ← זווית היקפית `90°` ב-CC, והזווית `30°` יוצרת משולש `30-60-90` (זהב). זו בעיית מעגלים המשולבת בפיתגורס. בתשובות מופיע 434\sqrt3, רמז למשולש זהב.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי - הזווית ב-CC ישרה, ולכן המשולש ישר-זווית `30-60-90` שהיתר בו הוא הקוטר; מזהים את המבוקש BCBC כצלע שמול `30°`, ולפי יחסי המשולש היא חצי מהיתר.

פתרון אלגברי:

הזווית ACBACB נשענת על הקוטר, ולכן היא ישרה, והמשולש הוא `30-60-90` שהיתר בו הוא הקוטר AB=8AB = 8. יחסי הצלעות במשולש זהב:
יתר : ניצב מול 60 : ניצב מול 30 2 : √3 : 1
הצלע המבוקשת BCBC נמצאת מול הזווית CAB=30∘CAB = 30^\circ, ולכן היא הצלע הקצרה, השווה לחצי מהיתר: BC=AB2=82=4\displaystyle BC = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{8}{2} = 4 בשרטוט-הפתרון מודגשים הזווית הישרה ב-CC (הנגזרת מהקוטר), הזווית הנתונה `30°` ליד AA, והצלע המבוקשת BC=4BC = 4 באדום:
A B C 4 8 30° O
זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 3·גאומטריהקשה
במערכת הצירים נתונות הנקודות A(1,2)A(1, 2) ו-B(4,6)B(4, 6). מהנקודה BB מורידים אנך לקטע ABAB (כלומר ישר המאונך ל-ABAB ועובר דרך BB), והוא חותך את ציר ה-xx בנקודה PP. מהו אורך הקטע BPBP?
x y A(1,2) B(4,6) P
  1. א.5
  2. ב.10התשובה הנכונה
  3. ג.12
  4. ד.15
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונות שתי נקודות במערכת הצירים, מעבירים דרך אחת מהן ישר המאונך לקטע שביניהן, ומבקשים את אורך הקטע מ-BB עד לחיתוך עם ציר ה-xx. יש כאן ניצבות (שיפועים) ושרשרת של כמה שלבים תלויים. לכן זו בעיית גאומטריה אנליטית משולבת (עם משפט פיתגורס), ברמה קשה. בתשובות ערכים מספריים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פירוט שיטתי לפי שלבים - זו הדרך המסודרת לשאלה רב-שלבית: מוצאים את שיפוע ABAB, הופכים אותו לשיפוע המאונך (מכפלת שיפועי ישרים מאונכים היא −1-1), כותבים את משוואת הישר המאונך העובר דרך BB, מוצאים את הנקודה PP שבה הוא חותך את ציר ה-xx (הצבת y=0y=0), ולבסוף מחשבים את המרחק BPBP בנוסחת המרחק. כל שלב מזין את הבא, ואי-אפשר לקצר.
  • פתרון אלגברי - אותה שרשרת שלבים, מנוסחת בסימונים.

פירוט שיטתי:

תחילה נחשב את שיפוע ABAB (הפרש שיעורי ה-yy חלקי הפרש שיעורי ה-xx): mAB=6−24−1=43\displaystyle m_{AB} = \frac{6 - 2}{4 - 1} = \frac{4}{3} הישר המבוקש מאונך ל-ABAB, ולכן שיפועו הוא ההופכי-והנגדי (מכפלת שיפועיהם של ישרים מאונכים שווה −1-1): m⊥=−34\displaystyle m_{\perp} = -\frac{3}{4} נכתוב את משוואת הישר המאונך העובר דרך B(4,6)B(4, 6): y−6=−34(x−4)\displaystyle y - 6 = -\frac{3}{4}(x - 4) נמצא את PP, נקודת החיתוך עם ציר ה-xx, על ידי הצבת y=0y = 0: 0−6=−34(x−4)⇒−6=−34(x−4)\displaystyle 0 - 6 = -\frac{3}{4}(x - 4) \quad\Rightarrow\quad -6 = -\frac{3}{4}(x - 4) נכפול את שני האגפים ב-−43-\dfrac{4}{3}: x−4=8⇒x=12\displaystyle x - 4 = 8 \quad\Rightarrow\quad x = 12 לכן P=(12,0)P = (12, 0). נציב את הקונפיגורציה בשרטוט (הקטע המבוקש BPBP באדום):
x y A(1,2) B(4,6) P(12,0) BP=10
נותר לחשב את המרחק BPBP בין B(4,6)B(4, 6) ל-P(12,0)P(12, 0) בנוסחת המרחק: BP=(12−4)2+(0−6)2=82+62\displaystyle BP = \sqrt{(12 - 4)^2 + (0 - 6)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} נחשב את הריבועים ונסכם: BP=64+36=100=10\displaystyle BP = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 זו התשובה, וניתן להקיף.

פתרון אלגברי:

נסמן את הישר המאונך ב-y=m⊥x+by = m_{\perp}x + b עם m⊥=−34m_{\perp} = -\dfrac{3}{4}. נציב את B(4,6)B(4, 6) למציאת bb: 6=−34⋅4+b⇒6=−3+b⇒b=9\displaystyle 6 = -\frac{3}{4} \cdot 4 + b \quad\Rightarrow\quad 6 = -3 + b \quad\Rightarrow\quad b = 9 הישר המאונך הוא y=−34x+9y = -\dfrac{3}{4}x + 9. חיתוך עם ציר ה-xx (y=0y = 0): 34x=9\dfrac{3}{4}x = 9, כלומר x=12x = 12, ו-P=(12,0)P = (12, 0). המרחק BP=82+62=10BP = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10. אותה תשובה, וניתן להקיף.
שאלה 4·גאומטריהקשה מאוד
במערכת הצירים נתונות שתי הנקודות A(1,4)A(1, 4) ו-B(7,2)B(7, 2). מבקשים את הנקודה שעל ציר ה-xx הנמצאת במרחק שווה מ-AA ומ-BB. מהם שיעורי נקודה זו?
  1. א.(0, 0)
  2. ב.(4, 0)
  3. ג.(5, 0)
  4. ד.(3, 0)התשובה הנכונה
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונות שתי נקודות בקואורדינטות, ומבקשים את הנקודה שעל ציר ה-xx הנמצאת במרחק שווה משתיהן. לכן זו בעיית גאומטריה אנליטית המשולבת עם פיתגורס: תנאי מרחק-שווה דרך נוסחת המרחק. בתשובות זוגות שיעורים, כולם עם y=0y = 0 (על ציר ה-xx), ולכן ההבדל ביניהם רק בשיעור ה-xx.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי - הנקודה על ציר ה-xx היא מהצורה (x,0)(x, 0). התנאי "מרחק שווה מ-AA ומ-BB" מתורגם למשוואה שבה המרחק (בריבוע) מ-AA שווה למרחק (בריבוע) מ-BB; פותחים את הריבועים, מבטלים את אברי ה-x2x^2, ומקבלים משוואה ליניארית ל-xx.
  • הצבת תשובות - השיעורים כבר בתשובות; מציבים כל נקודה ובודקים בנוסחת המרחק אם שני המרחקים שווים. דרך מעשית כאן, שכן צריך רק לבדוק ארבע נקודות.

פתרון אלגברי:

הנקודה המבוקשת נמצאת על ציר ה-xx, ולכן היא מהצורה (x,0)(x, 0). התובנה הפותרת: אם מרחקה מ-AA שווה למרחקה מ-BB, אז גם ריבועי המרחקים שווים; בעבודה עם הריבועים נפטרים מהשורשים של נוסחת המרחק. נכתוב אפוא ש-AP2=BP2AP^2 = BP^2, כאשר P=(x,0)P = (x, 0): (x−1)2+(0−4)2=(x−7)2+(0−2)2\displaystyle (x - 1)^2 + (0 - 4)^2 = (x - 7)^2 + (0 - 2)^2 נפתח את הריבועים בשני האגפים: x2−2x+1+16=x2−14x+49+4\displaystyle x^2 - 2x + 1 + 16 = x^2 - 14x + 49 + 4 אבר ה-x2x^2 מופיע בשני האגפים ומתבטל, ונשארת משוואה ליניארית: −2x+17=−14x+53\displaystyle -2x + 17 = -14x + 53 נכנס את אברי ה-xx לאגף אחד ואת המספרים לשני: −2x+14x=53−17\displaystyle -2x + 14x = 53 - 17 12x=36\displaystyle 12x = 36 x=3\displaystyle x = 3 הנקודה המבוקשת היא (3,0)(3, 0). בשרטוט רואים שהמרחקים ממנה ל-AA ול-BB (מקווקווים בירוק) אכן שווים:
x y A(1,4) B(7,2) (3,0)
לאימות: המרחק מ-(3,0)(3,0) ל-A(1,4)A(1,4) הוא (3−1)2+(0−4)2=4+16=20\sqrt{(3-1)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}, והמרחק ל-B(7,2)B(7,2) הוא (3−7)2+(0−2)2=16+4=20\sqrt{(3-7)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}. המרחקים שווים. זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 5·גאומטריהבינונית
בסרטוט שלפניכם מעגל שמרכזו OO. ABAB מיתר שאורכו 24 ס"מ, ומרחקו של המרכז OO מהמיתר הוא 9 ס"מ. מה שטח המעגל (בסמ"ר)?
O A B 9 24
  1. א.81π
  2. ב.144π
  3. ג.169π
  4. ד.225πהתשובה הנכונה
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים אורך מיתר ומרחקו של המרכז מהמיתר, ומבוקש שטח המעגל. האנך מהמרכז אל המיתר חוצה אותו, ולכן נוצר משולש ישר-זווית (חצי-מיתר, מרחק, רדיוס). זו בעיית מעגלים המשולבת בפיתגורס לחילוץ הרדיוס. `π` מופיע בתשובות.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי - האנך מהמרכז חוצה את המיתר לשני חצאים; חצי-המיתר, המרחק והרדיוס יוצרים משולש ישר-זווית שבו הרדיוס הוא היתר; מחלצים את הרדיוס בפיתגורס ומציבים בנוסחת השטח. הנתונים 99 ו-1212 (חצי-המיתר) הם ניצבים בשלשה `9-12-15`.

פתרון אלגברי:

האנך מהמרכז OO אל המיתר חוצה אותו, ולכן חצי-המיתר הוא 242=12\dfrac{24}{2} = 12. חצי-המיתר, המרחק 99 והרדיוס יוצרים משולש ישר-זווית שהרדיוס בו הוא היתר: r=122+92=144+81=225=15\displaystyle r = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15 הנתונים תואמים לשלשה `9-12-15`. שטח המעגל: πr2=π⋅152=225π\displaystyle \pi r^2 = \pi \cdot 15^2 = 225\pi בשרטוט-הפתרון מודגשים האנך מהמרכז (הזווית הישרה על המיתר), חצי-המיתר `12`, המרחק `9`, והרדיוס הנגזר r=15r = 15 באדום:
O A B 9 12 15
זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 6·גאומטריהקשה
בסרטוט שלפניכם טרפז שווה-שוקיים. אורך הבסיס התחתון שש-עשרה ס"מ, אורך הבסיס העליון עשר ס"מ, ואורך כל אחת מהשוקיים חמש ס"מ. מה שטח הטרפז (בסמ"ר)?
16 10 5 5
  1. א.39
  2. ב.44
  3. ג.48
  4. ד.52התשובה הנכונה
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון טרפז שווה-שוקיים עם שני בסיסים ושתי שוקיים, ומבוקש שטחו. לכן זו בעיית שטחים, אך הגובה הדרוש לנוסחת השטח אינו נתון: נתונות השוקיים במקומו. הורדת הגובה יוצרת משולש ישר-זווית שיתרו הוא השוק, ולכן הגובה נגזר בשלב פיתגורס מקדים לפני ההצבה בנוסחת השטח (שילוב שטחים ופיתגורס).

דרכי פתרון אפשריות

  • חישוב גאומטרי דו-שלבי - מורידים גובה מקצה הבסיס העליון לבסיס התחתון, ובכך יוצרים משולש ישר-זווית שניצביו הגובה והיטל-השוק האופקי, ויתרו השוק. גוזרים את הגובה בפיתגורס, ורק אז מציבים בנוסחת שטח הטרפז.

הפתרון

נוריד גובה מקצה הבסיס העליון (הקו הירוק בשרטוט). היות שהטרפז שווה-שוקיים, הבסיס העליון (1010) ממורכז מעל הבסיס התחתון (1616), ולכן היטל-השוק האופקי משני הצדדים הוא מחצית הפרש הבסיסים:
16 10 5 5 h 3
16−102=62=3\displaystyle \dfrac{16 - 10}{2} = \dfrac{6}{2} = 3 נתקבל משולש ישר-זווית שיתרו השוק (55), ניצבו האופקי 33, וניצבו האנכי הוא הגובה המבוקש hh. נגזור את הגובה בפיתגורס: h2=52−32=25−9=16\displaystyle h^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16 h=16=4\displaystyle h = \sqrt{16} = 4 (זו השלשה הפיתגורית 3,4,53, 4, 5.) עכשיו יש לנו את הגובה, ונציב בנוסחת שטח הטרפז: S=(16+10)2⋅4\displaystyle S = \dfrac{(16 + 10)}{2} \cdot 4 נחשב את חצי-סכום הבסיסים תחילה: 262=13\displaystyle \dfrac{26}{2} = 13 ולבסוף נכפיל בגובה: 13⋅4=52\displaystyle 13 \cdot 4 = 52 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 7·גאומטריהקשה מאוד
בסרטוט שלפניכם מעוין. אורך צלע המעוין עשר ס"מ, ואורך אחד מאלכסוניו שתים-עשרה ס"מ. מה שטח המעוין (בסמ"ר)?
10 12
  1. א.48
  2. ב.60
  3. ג.96התשובה הנכונה
  4. ד.192
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון מעוין שאורך צלעו נתון ואחד מאלכסוניו נתון, ומבוקש שטחו. לכן זו בעיית שטחים, אך נוסחת שטח המעוין דורשת את שני האלכסונים, והשני חסר. אלכסוני המעוין ניצבים וחוצים זה את זה, ולכן חצי-הצלע, חצי-האלכסון-הנתון וחצי-האלכסון-החסר מרכיבים משולש ישר-זווית; האלכסון השני נגזר בשלב פיתגורס מקדים לפני ההצבה בנוסחת השטח (שילוב שטחים ופיתגורס).

דרכי פתרון אפשריות

  • חישוב גאומטרי דו-שלבי - מנצלים את התכונה שאלכסוני המעוין ניצבים וחוצים זה את זה: כל צלע היא יתר במשולש ישר-זווית שניצביו חצאי-האלכסונים. גוזרים בפיתגורס את חצי-האלכסון החסר, מכפילים ב-22 לאלכסון השלם, ורק אז מציבים בנוסחת שטח המעוין.

הפתרון

אלכסוני המעוין ניצבים וחוצים זה את זה. לכן הצלע (1010) היא יתר במשולש ישר-זווית שניצביו הם חצי-האלכסון הנתון וחצי-האלכסון החסר (הקו האדום בשרטוט):
10 12 6 8
חצי-האלכסון הנתון הוא מחצית האלכסון 1212: 122=6\displaystyle \dfrac{12}{2} = 6 נסמן ב-mm את חצי-האלכסון החסר, ונגזור אותו בפיתגורס מהמשולש ישר-הזווית שיתרו 1010: m2=102−62=100−36=64\displaystyle m^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64 m=64=8\displaystyle m = \sqrt{64} = 8 (זו השלשה הפיתגורית 6,8,106, 8, 10.) האלכסון השני השלם הוא כפול חצי-האלכסון: 2⋅8=16\displaystyle 2 \cdot 8 = 16 עכשיו יש לנו את שני האלכסונים, ונציב בנוסחת שטח המעוין (מכפלת האלכסונים לחלק ל-22): S=12⋅162\displaystyle S = \dfrac{12 \cdot 16}{2} נחשב את המכפלה תחילה: 12⋅16=192\displaystyle 12 \cdot 16 = 192 ולבסוף נחלק ב-22: 1922=96\displaystyle \dfrac{192}{2} = 96 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 8·גאומטריהבינונית
במעגל שמרכזו OO, מיתר ABAB אורכו 24 ס"מ, ומרחקו של המרכז מהמיתר הוא 5 ס"מ. מה היקף המעגל (בס"מ)?
  1. א.13π
  2. ב.26πהתשובה הנכונה
  3. ג.29π
  4. ד.52π
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים אורך מיתר ומרחקו של המרכז מהמיתר, ומבוקש היקף המעגל. האנך מהמרכז חוצה את המיתר ← משולש ישר-זווית (חצי-מיתר, מרחק, רדיוס). זו בעיית מעגלים המשולבת בפיתגורס לחילוץ הרדיוס. `π` מופיע בתשובות.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי - מחלצים את הרדיוס מהמשולש הישר-זווית (חצי-מיתר, מרחק, רדיוס-כיתר) ומציבים בנוסחת ההיקף. הנתונים 55 ו-1212 (חצי-המיתר) הם ניצבים בשלשה `5-12-13`.

פתרון אלגברי:

האנך מהמרכז חוצה את המיתר, ולכן חצי-המיתר הוא 242=12\dfrac{24}{2} = 12. חצי-המיתר, המרחק 55 והרדיוס יוצרים משולש ישר-זווית שהרדיוס בו הוא היתר: r=122+52=144+25=169=13\displaystyle r = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 הנתונים תואמים לשלשה `5-12-13`. היקף המעגל: 2πr=2π⋅13=26π\displaystyle 2\pi r = 2\pi \cdot 13 = 26\pi בשרטוט-הפתרון מודגשים האנך מהמרכז (הזווית הישרה על המיתר), חצי-המיתר `12`, המרחק `5`, והרדיוס הנגזר r=13r = 13 באדום:
O A B 5 12 13
זו התשובה, וניתן להקיף.

כל השאלות, התשובות וההסברים נכתבו ונבדקו על ידי צוות מומחים שחי ונושם פסיכומטרי. כל פריט עובר בקרת איכות לפני שהוא מתפרסם ומתעדכן באופן שוטף, כדי שהתרגול ישקף את רמת הקושי, הסגנון וההיגיון של המבחן האמיתי.