תרגול יחס ופרופורציה לפסיכומטרי

כמעט כל שאלת יחס נפתרת באותה שיטה: להבין כמה שווה יחידת יחס אחת, ומשם הכול נגזר. ברגע שיש לך את המספר הזה, השאלה נגמרה.

איך פותרים

סדר את גורמי היחס בטבלה. יחס 5:2:1 פירושו 5 יחידות, 2 יחידות ויחידה אחת - לא 5, 2 ו-1 פריטים.
תרגם את הנתון שבשאלה ליחידות יחס. אם ההפרש בין הראשון לשלישי נתון, ההפרש ביחידות הוא 5 פחות 1, כלומר 4 יחידות.
חשב את גודל יחידת היחס - חלק את הנתון במספר היחידות שהוא מייצג. בדוגמה: הפרש של 20 חלקי 4 יחידות, כלומר 5 לכל יחידה.
הכפל חזרה את היחידה במספר היחידות של מה שנשאלת עליו. זה גם המקום לוודא שענית על מה ששאלו ולא על גודל אחר.

8 שאלות עם פתרון מלא

שאלות מתוך התרגול עצמו. נסה לפתור לבד, ורק אז פתח את הפתרון.

שאלה 1·בעיות מילוליותקלה מאוד

מתכון לעוגה דורש קמח, סוכר וחמאה ביחס

4:2:1

(בהתאמה, לפי מספר כוסות). במתכון השתמשו בשלוש כוסות חמאה, ובכמות המתאימה של קמח ושל סוכר לפי היחס. בכמה כוסות מרכיבים בסך הכול השתמשו?

א.18
ב.21התשובה הנכונה
ג.24
ד.28

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון לנו יחס בין שלושה גורמים ואת כמותו של אחד מהם, ושואלים על הכמות הכוללת. לכן זו בעיית יחס. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

טבלת יחס - הדרך המתאימה לבעיית יחס: מסדרים את גורמי היחס בטבלה, מוצאים את גודל יחידת היחס מהגורם הנתון, וגוזרים את הסכום.
פתרון אלגברי - מסמנים את גודל יחידת היחס ומבטאים את הסכום באמצעותו.

טבלת יחס:

נסרטט טבלה שכותרותיה הן שלושת המרכיבים וסך הכול, ונכניס בשורה את גורמי היחס הנתונים ואת הסכום שלהם (

4 + 2 + 1 = 7

	קמח	סוכר	חמאה	סך הכול
יחידות יחס	4	2	1	7

החמאה מיוצגת ביחס על ידי יחידה אחת, ובפועל השתמשו בה בשלוש כוסות. לכן גודל יחידת יחס אחת הוא

3

כוסות:

\displaystyle \dfrac{3}{1} = 3

הסכום הכולל בנוי מ-

7

יחידות יחס שוות, ולכן:

\displaystyle 7 \cdot 3 = 21

זו התשובה, וניתן להקיף.

פתרון אלגברי:

נסמן ב-

k

את גודל יחידת היחס (בכוסות). כמות החמאה היא

1 \cdot k = k

, והיא נתונה כשלוש כוסות, ולכן

k = 3

. הסכום הכולל:

\displaystyle 4k + 2k + k = 7k = 7 \cdot 3 = 21

אותה תשובה.

שאלה 2·בעיות מילוליותקלה

בקבוצת ריקוד היחס בין מספר הבנות למספר הבנים הוא

5:3

, והיחס בין מספר הבנים למספר המדריכים הוא

6:1

. אם בקבוצה

18

בנים, כמה בנות ומדריכים יש בה יחד?

א.33התשובה הנכונה
ב.30
ג.36
ד.45

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים שני יחסים המקשרים שלושה גדלים (בנות, בנים, מדריכים) דרך גורם משותף (הבנים), ונתון ערכו של אחד הגדלים. לכן זו בעיית יחס. בתשובות ערכים מספריים.

דרכי פתרון אפשריות

הכלי הקנוני לבעיית יחס הוא טבלת יחס: מוצאים את ערך היחידה מהגורם הידוע (הבנים), וגוזרים ממנו את שאר הגדלים. לחלופין אפשר לתרגם כל יחס למשוואת פרופורציה ולפתור אלגברית.

טבלת יחס:

היחס בנות : בנים הוא

5 : 3

, והיחס בנים : מדריכים הוא

6 : 1

. נבנה טבלה של יחידות היחס. כדי לחבר את שני היחסים דרך הגורם המשותף (הבנים), נשווה את מספר יחידות הבנים בשניהם: בראשון

3

ובשני

6

, ולכן נכפיל את היחס הראשון פי

2

ל-

10 : 6

	בנות	בנים	מדריכים
יחידות	$10$	$6$	$1$

נתון שיש

18

בנים, המתאימים ל-

6

יחידות, ולכן ערך יחידה אחת:

\displaystyle 18 \div 6 = 3

נגזור את שאר הגדלים:

בנות: $10 \cdot 3 = 30$
מדריכים: $1 \cdot 3 = 3$

סך הבנות והמדריכים יחד:

\displaystyle 30 + 3 = 33

זו התשובה, וניתן להקיף.

פתרון אלגברי:

נסמן ב-

g

את מספר הבנות. מהיחס בנות : בנים

= 5 : 3

עם

18

בנים נקבל

\dfrac{g}{18} = \dfrac{5}{3}

, ולכן

g = 18 \cdot \dfrac{5}{3} = 30

. נסמן ב-

m

את מספר המדריכים; מהיחס בנים : מדריכים

= 6 : 1

נקבל

m = 18 \div 6 = 3

. יחד

30 + 3 = 33

. זו התשובה, וניתן להקיף.

שאלה 3·בעיות מילוליותבינונית

רווח חולק בין שני שותפים ביחס

3 : 5

. ההפרש בין החלק של השותף שקיבל יותר לבין החלק של השותף שקיבל פחות הוא

480

שקלים. כמה שקלים קיבל השותף שקיבל יותר?

א.720
ב.960
ג.1,000
ד.1,200התשובה הנכונה

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון יחס בין שני גורמים וגם ההפרש ביניהם, ומבקשים את הגורם הגדול. לכן זו בעיית יחס. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

טבלת יחס - מסדרים את גורמי היחס בטבלה, מוסיפים עמודת הפרש, מוצאים את גודל יחידת היחס מהחלוקה, וגוזרים את החלק הגדול.
פתרון אלגברי - מסמנים את גודל יחידת היחס ופותרים משוואה מההפרש הנתון.

טבלת יחס:

נסדר את גורמי היחס בטבלה ונוסיף עמודה להפרש (הגדול פחות הקטן):

	שותף גדול	שותף קטן	הפרש
יחידות יחס	5	3	2

ההפרש בנוי מ-

5 - 3 = 2

יחידות יחס, והוא שווה ל-

480

שקלים. לכן גודל יחידת יחס אחת:

\displaystyle \frac{480}{2} = 240

החלק של השותף שקיבל יותר בנוי מ-

5

יחידות:

\displaystyle 5 \cdot 240 = 1{,}200

זו התשובה, וניתן להקיף.

פתרון אלגברי:

נסמן ב-

k

את גודל יחידת היחס. החלקים הם

5k

ו-

3k

, וההפרש ביניהם

480

\displaystyle 5k - 3k = 480 \quad\Rightarrow\quad 2k = 480 \quad\Rightarrow\quad k = 240

החלק הגדול הוא

5k = 5 \cdot 240 = 1{,}200

. אותה תשובה.

שאלה 4·גאומטריה · בעיות מילוליותקשה

במערכת הצירים שלפניכם נתון קטע

AB

כאשר

A(2, 3)

ו-

B(12, 8)

. על הקטע מסומנת נקודה

C

המחלקת אותו כך שהיחס

AC:CB

שווה ל-

3:2

. מהם שיעורי הנקודה

C

א.(6, 5)
ב.(7, 5.5)
ג.(8, 6)התשובה הנכונה
ד.(9, 6.5)

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים שני קצות של קטע בקואורדינטות ונקודה עליו המחלקת אותו ביחס נתון, ומבקשים את שיעורי הנקודה. לכן זו בעיית גאומטריה אנליטית המשולבת עם יחס: חלוקת קטע ביחס נתון. בתשובות זוגות שיעורים.

דרכי פתרון אפשריות

פתרון אלגברי - היחס $AC:CB = 3:2$ מחלק את הקטע ל- $5$ יחידות שוות, ולכן $C$ נמצאת $\frac{3}{5}$ מהדרך מ- $A$ ל- $B$ . מתקדמים חלק זה מהדרך בכל אחד מהצירים בנפרד: מוסיפים לכל שיעור של $A$ את החלק המתאים מהפרש השיעורים עד $B$ .

פתרון אלגברי:

היחס

AC:CB = 3:2

מחלק את הקטע ל-

3 + 2 = 5

יחידות שוות, ו-

C

מרוחקת

3

מהן מ-

A

. לכן

C

נמצאת

\frac{3}{5}

מהדרך מ-

A

ל-

B

. את שיעורי

C

נקבל מהוספת חלק זה של הפרש-השיעורים לשיעורי

A

. לשיעור ה-

x

: הפרש ה-

x

מ-

A

ל-

B

הוא

12 - 2 = 10

, ו-

\frac{3}{5}

ממנו הם

6

\displaystyle x_C = 2 + \dfrac{3}{5} \cdot (12 - 2) = 2 + \dfrac{3}{5} \cdot 10 = 2 + 6 = 8

לשיעור ה-

y

: הפרש ה-

y

מ-

A

ל-

B

הוא

8 - 3 = 5

, ו-

\frac{3}{5}

ממנו הם

3

\displaystyle y_C = 3 + \dfrac{3}{5} \cdot (8 - 3) = 3 + \dfrac{3}{5} \cdot 5 = 3 + 3 = 6

שיעורי הנקודה הם

(8, 6)

, כפי שרואים בשרטוט (הנקודה

C

באדום, קרובה יותר ל-

B

זו התשובה, וניתן להקיף.

שאלה 5·אלגברה · בעיות מילוליותקשה מאוד

לפני 6 שנים היה גיל האב פי 3 מגיל בנו. בעוד 8 שנים יהיה יחס גיל האב לגיל הבן שווה ל-2:1. מה גילו הנוכחי של האב?

א.24
ב.36
ג.40
ד.48התשובה הנכונה

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים שני יחסי-גיל בין אב לבנו בשתי נקודות-זמן שונות (לפני

6

שנים, ובעוד

8

שנים), ומבקשים את גילו הנוכחי של האב. זו שאלה משולבת של יחס (גיל האב פי כך מגיל הבן) ומשוואות (בניית שתי משוואות בשני נעלמים ופתרונן). בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

הצבת תשובות - התשובות הן ערכי גיל האב הנוכחי. אפשר להציב כל ערך מוצע, לשחזר ממנו את גיל הבן דרך התנאי של העבר (לפני $6$ שנים), ואז לבדוק שהתנאי של העתיד (בעוד $8$ שנים) מתקיים. דרך פסיכומטרית שמצליחה כאן משום שכל שלב מוחשי.
פישוט אלגברי - מסמנים את גיל האב ואת גיל הבן הנוכחיים בשני נעלמים, מתרגמים כל תנאי-זמן למשוואה (תוך הצמדת אותה תוספת/גריעה לשני הגילים), ופותרים את המערכת.

הצבת תשובות:

נתחיל מהערך

48

עבור גיל האב הנוכחי. נעבוד בשלבים, ונשמור על העיקרון שכל שינוי-זמן חל גם על גיל האב וגם על גיל הבן. תחילה נשחזר את גיל הבן מן התנאי של העבר. לפני

6

שנים היה האב בן

48 - 6 = 42

, וזה היה פי

3

מגיל הבן אז, ולכן הבן היה בן

\dfrac{42}{3} = 14

. מכאן גיל הבן הנוכחי הוא

14 + 6 = 20

. כעת נבדוק את התנאי של העתיד. בעוד

8

שנים יהיה האב בן

48 + 8 = 56

והבן בן

20 + 8 = 28

, והיחס ביניהם:

\displaystyle \frac{56}{28} = \frac{2}{1}

היחס יוצא

2:1

, בדיוק כנדרש. שני התנאים מתקיימים, וזו התשובה. ניתן להקיף.

פתרון אלגברי:

נסמן ב-

A

את גיל האב הנוכחי וב-

B

את גיל הבן הנוכחי. לפני

6

שנים היה האב בן

A - 6

והבן בן

B - 6

, וגיל האב היה פי

3

מגיל הבן:

\displaystyle A - 6 = 3(B - 6)

בעוד

8

שנים יהיה האב בן

A + 8

והבן בן

B + 8

, והיחס ביניהם

2:1

, כלומר גיל האב פי

2

מגיל הבן:

\displaystyle A + 8 = 2(B + 8)

נפתח את הסוגריים בשתי המשוואות. הראשונה:

\displaystyle A - 6 = 3B - 18 \quad\Rightarrow\quad A = 3B - 12

השנייה:

\displaystyle A + 8 = 2B + 16 \quad\Rightarrow\quad A = 2B + 8

שני הביטויים שווים ל-

A

, ולכן נשווה אותם זה לזה:

\displaystyle 3B - 12 = 2B + 8

נרכז את איברי

B

באגף אחד ואת המספרים באגף השני:

\displaystyle 3B - 2B = 8 + 12 \quad\Rightarrow\quad B = 20

נציב חזרה כדי למצוא את גיל האב:

\displaystyle A = 2B + 8 = 2 \cdot 20 + 8 = 48

אותה תשובה.

שאלה 6·בעיות מילוליותקלה מאוד

בכיתה היחס בין מספר הבנים למספר הבנות הוא

3:5

, ובסך הכול

32

תלמידים בכיתה. כמה בנות בכיתה?

א.12
ב.15
ג.18
ד.20התשובה הנכונה

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון יחס בין שני גורמים וגם הכמות הכוללת שלהם, ושואלים על מספרו של אחד הגורמים. לכן זו בעיית יחס. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

טבלת יחס - הדרך המתאימה לבעיית יחס: מסדרים את גורמי היחס ואת הכמות הכוללת בטבלה, מוצאים את גודל יחידת היחס מהחלוקה, וגוזרים את הגורם המבוקש.
הצבת תשובות - מאחר שהתשובות מספרים שלמים, אפשר לבדוק כל אחת: בודקים אם מספר-הבנות שבתשובה מתאים ליחס ולסך הכול.
פתרון אלגברי - מסמנים את גודל יחידת היחס ב- $k$ ובונים משוואה מהכמות הכוללת.

טבלת יחס:

נסדר את הנתונים בטבלה - הבנים, הבנות וסך הכול:

	בנים	בנות	סך הכול
יחידות יחס	3	5	8

גודל יחידת יחס אחת מתקבל מחלוקת הכמות הכוללת במספר יחידות היחס (

3 + 5 = 8

\displaystyle \frac{32}{8} = 4

כל יחידת יחס שווה ל-

4

תלמידים, ולכן מספר הבנות הוא

5 \cdot 4 = 20

. זו התשובה, וניתן להקיף.

הצבת תשובות:

נבדוק תשובה (4),

20

בנות. אם יש

20

בנות, הבנים הם

32 - 20 = 12

, והיחס בנים לבנות הוא

12 : 20

. נצמצם בחלוקה ב-

4

ונקבל

3 : 5

- בדיוק היחס הנתון. זו התשובה, וניתן להקיף.

פתרון אלגברי:

נסמן ב-

k

את גודל יחידת היחס. הבנים הם

3k

והבנות

5k

, וסכומם:

\displaystyle 3k + 5k = 8k = 32

מכאן

k = 4

, ומספר הבנות

5k = 20

. אותה תשובה.

שאלה 7·בעיות מילוליותקלה

בחווה שלושה סוגי עצי-פרי: תפוח, אגס ושזיף. היחס בין מספר עצי התפוח למספר עצי האגס הוא

2:3

, והיחס בין מספר עצי האגס למספר עצי השזיף הוא

4:5

. בחווה

105

עצים בסך הכול. כמה עצי שזיף בחווה?

א.24
ב.36
ג.45התשובה הנכונה
ד.63

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים שני יחסים חופפים בגורם משותף (האגס), וסך הכול של כל הגורמים; מבקשים את גודלו של אחד הגורמים. לכן זו בעיית יחס, שבה מאחדים את שני היחסים לשרשרת אחת דרך הגורם המשותף. בתשובות ערכים מספריים.

דרכי פתרון אפשריות

הכלי הישיר הוא טבלת יחס, מאחדים את שני היחסים ליחס משולש דרך מכנה משותף לאגס, סוכמים את סך יחידות היחס, מוצאים את ערך היחידה מהסכום הכולל, וגוזרים את המבוקש.

פתרון אלגברי:

היחס תפוח לאגס הוא

2:3

, והיחס אגס לשזיף הוא

4:5

. כדי לחבר את שני היחסים לשרשרת אחת נשווה את הגורם המשותף, האגס, שמופיע כ-

3

בראשון וכ-

4

בשני. המכנה המשותף שלהם הוא

12

, ולכן נרחיב כל יחס עד שהאגס יהיה

12

: היחס תפוח לאגס מורחב פי

4

\displaystyle 2:3 \;\longrightarrow\; 8:12

היחס אגס לשזיף מורחב פי

3

\displaystyle 4:5 \;\longrightarrow\; 12:15

מכאן היחס המשולש תפוח לאגס לשזיף הוא:

\displaystyle 8:12:15

נסכום את יחידות היחס:

\displaystyle 8 + 12 + 15 = 35

ערך יחידה אחת הוא הסכום הכולל חלקי מספר היחידות:

\displaystyle \dfrac{105}{35} = 3

מספר עצי השזיף הוא

15

יחידות, ולכן:

\displaystyle 15 \cdot 3 = 45

זו התשובה, וניתן להקיף.

שאלה 8·בעיות מילוליותבינונית

בקופסה כדורים אדומים, כחולים וירוקים ביחס

5:2:1

(בהתאמה). ההפרש בין מספר הכדורים האדומים למספר הכדורים הירוקים הוא

20

. כמה כדורים כחולים יש בקופסה?

א.5
ב.10התשובה הנכונה
ג.25
ד.40

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון יחס בין שלושה גורמים וגם ההפרש בין שניים מהם, ושואלים על כמות גורם שלישי. לכן זו בעיית יחס. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

טבלת יחס - גוזרים את ערך יחידת היחס מתוך ההפרש הנתון (הפרש בין שני גורמים = הפרש-יחידות כפול גודל היחידה), ואז מכפילים ביחידות הגורם המבוקש.
פתרון אלגברי - מסמנים את גודל יחידת היחס ב- $k$ , מבטאים את כל הגורמים, ופותרים מההפרש.

טבלת יחס:

נסדר בטבלה את גורמי היחס ועמודת הפרש (אדום פחות ירוק):

	אדום	כחול	ירוק	הפרש אדום-ירוק
יחידות יחס	5	2	1	4

גודל יחידת היחס מתקבל מחלוקת ההפרש הנתון במספר יחידות ההפרש:

\displaystyle \frac{20}{4} = 5

כל יחידת יחס שווה ל-

5

כדורים. הכחולים הם

2

יחידות:

\displaystyle 2 \cdot 5 = 10

זו התשובה, וניתן להקיף.

פתרון אלגברי:

נסמן ב-

k

את גודל יחידת היחס. אז אדום

= 5k

, כחול

= 2k

, ירוק

= k

. מההפרש:

\displaystyle 5k - k = 20

\displaystyle 4k = 20

\displaystyle k = 5

הכחולים:

2k = 2 \cdot 5 = 10

. ניתן להקיף.

כל השאלות, התשובות וההסברים נכתבו ונבדקו על ידי צוות מומחים שחי ונושם פסיכומטרי. כל פריט עובר בקרת איכות לפני שהוא מתפרסם ומתעדכן באופן שוטף, כדי שהתרגול ישקף את רמת הקושי, הסגנון וההיגיון של המבחן האמיתי.