שיא
התחבר לחשבון

תרגול יחס ופרופורציה לפסיכומטרי

כמעט כל שאלת יחס נפתרת באותה שיטה: להבין כמה שווה יחידת יחס אחת, ומשם הכול נגזר. ברגע שיש לך את המספר הזה, השאלה נגמרה.

איך פותרים

  1. סדר את גורמי היחס בטבלה. יחס 5:2:1 פירושו 5 יחידות, 2 יחידות ויחידה אחת - לא 5, 2 ו-1 פריטים.
  2. תרגם את הנתון שבשאלה ליחידות יחס. אם ההפרש בין הראשון לשלישי נתון, ההפרש ביחידות הוא 5 פחות 1, כלומר 4 יחידות.
  3. חשב את גודל יחידת היחס - חלק את הנתון במספר היחידות שהוא מייצג. בדוגמה: הפרש של 20 חלקי 4 יחידות, כלומר 5 לכל יחידה.
  4. הכפל חזרה את היחידה במספר היחידות של מה שנשאלת עליו. זה גם המקום לוודא שענית על מה ששאלו ולא על גודל אחר.

8 שאלות עם פתרון מלא

שאלות מתוך התרגול עצמו. נסה לפתור לבד, ורק אז פתח את הפתרון.

שאלה 1·בעיות מילוליותקלה מאוד
במפה, קטע באורך 44 סנטימטרים מייצג מרחק של 1010 קילומטרים בשטח. בעיר ובכפר מרוחקים זה מזה 1515 קילומטרים בשטח. באיזה אורך, בסנטימטרים, ייוצג המרחק ביניהם במפה?
  1. א.6התשובה הנכונה
  2. ב.7½
  3. ג.9
  4. ד.21
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון קנה-מידה קבוע בין אורך במפה למרחק בשטח, ושואלים על האורך במפה של מרחק נתון. לכן זו בעיית יחס. בתשובות מספרים קטנים.

דרכי פתרון אפשריות

  • טבלת יחס - הדרך המתאימה לבעיית יחס: מסדרים בטבלה את הזוג הנתון (אורך במפה מול מרחק בשטח) ואת המרחק החדש, ומרחיבים או מצמצמים את היחס כדי להשלים את האורך החסר.
  • פתרון אלגברי - מסמנים את האורך המבוקש ב-xx ופותרים משוואת-יחס.

טבלת יחס:

נסדר בטבלה את קנה-המידה הנתון בשורה הראשונה, ואת השורה השנייה עם המרחק החדש בשטח (1515 ק"מ) והאורך במפה שאותו אנו מחפשים:
אורך במפה (ס"מ)מרחק בשטח (ק"מ)
קנה-מידה410
מבוקש?15
מהשורה הראשונה, כל 1010 ק"מ בשטח מיוצגים ב-44 ס"מ, ולכן כל קילומטר מיוצג ב-410\dfrac{4}{10} ס"מ. עבור 1515 ק"מ: 15×410=6010=6\displaystyle 15 \times \dfrac{4}{10} = \dfrac{60}{10} = 6 המרחק ייוצג במפה בקטע באורך 66 ס"מ. זו התשובה, וניתן להקיף.

פתרון אלגברי:

נסמן ב-xx את האורך המבוקש במפה, בסנטימטרים. היחס בין אורך במפה למרחק בשטח קבוע, ולכן: x15=410\displaystyle \dfrac{x}{15} = \dfrac{4}{10} נכפול את שני האגפים ב-1515: x=15×410=6\displaystyle x = 15 \times \dfrac{4}{10} = 6 אותה תשובה.
שאלה 2·אלגברה · בעיות מילוליותקלה
יחס מספר העטים למספר העפרונות בקלמר הוא 4:94{:}9 בהתאמה. בקלמר 2424 עטים. כמה עפרונות יש בקלמר?
  1. א.29
  2. ב.48
  3. ג.54התשובה הנכונה
  4. ד.78
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון יחס בין שני גורמים ונתונה הכמות בפועל של אחד מהם (העטים), ושואלים על הגורם האחר (העפרונות). לכן זו בעיית יחס המשולבת בחלוקה. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

  • טבלת יחס - הדרך המתאימה לבעיית יחס: מסדרים את גורמי היחס בטבלה, מוצאים את ערך יחידת-היחס ממספר העטים הידוע, וגוזרים את מספר העפרונות.
  • פתרון אלגברי - מסמנים את גודל יחידת היחס ב-kk ופותרים ממספר העטים.

טבלת יחס:

נסדר את גורמי היחס בטבלה:
עטיםעפרונות
יחידות יחס49
העטים הם 44 יחידות-יחס, ונתון שיש 2424 עטים. לכן ערך יחידת-יחס אחת הוא 244=6\dfrac{24}{4} = 6. העפרונות הם 99 יחידות: 9×6=54\displaystyle 9 \times 6 = 54 בקלמר 5454 עפרונות. זו התשובה, וניתן להקיף.

פתרון אלגברי:

נסמן ב-kk את גודל יחידת היחס. אז העטים הם 4k4k, ונתון שהם 2424: 4k=24⇒k=6\displaystyle 4k = 24 \quad\Rightarrow\quad k = 6 העפרונות הם 9k=9×6=549k = 9 \times 6 = 54. אותה תשובה.
שאלה 3·גאומטריה · בעיות מילוליותבינונית
היקפו של מלבן הוא 4848 ס"מ, והיחס בין אורכו לרוחבו הוא 5:35 {:} 3. מהו שטח המלבן?
  1. א.90
  2. ב.120
  3. ג.135התשובה הנכונה
  4. ד.144
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים היקפו של מלבן והיחס בין אורכו לרוחבו, ושואלים על שטחו. לכן זו בעיית מצולעים המשלבת יחס ושטח. בתשובות ערכים מספריים.

דרכי פתרון אפשריות

  • הפתרון נשען על התכונה העקרונית של היקף המלבן: ההיקף הוא פעמיים סכום האורך והרוחב, ולכן חצי-ההיקף שווה לסכומם. את הסכום הזה מחלק היחס 5:35{:}3 ליחידות, וכך נחלץ את האורך והרוחב הממשיים ונציב בנוסחת שטח המלבן.

פתרון עקרוני:

ההיקף הוא פעמיים סכום האורך והרוחב, ולכן חצי-ההיקף הוא סכום האורך והרוחב (בס"מ): 482=24\displaystyle \dfrac{48}{2} = 24 חצי-ההיקף מורכב מיחידות-היחס של האורך (55) ושל הרוחב (33), בסך הכול 5+3=85 + 3 = 8 יחידות. נסדר בטבלת יחס דו-שלבית, שיחידות-היחס בעמודה אחת והערך הממשי בשנייה:
גורםיחידות יחסערך ממשי (ס"מ)
אורך515
רוחב39
סכום824
88 יחידות שוות ל-2424 ס"מ, ולכן יחידה אחת שווה ל-248=3\dfrac{24}{8} = 3 ס"מ. מכאן האורך (בס"מ): 5⋅3=15\displaystyle 5 \cdot 3 = 15 והרוחב (בס"מ): 3⋅3=9\displaystyle 3 \cdot 3 = 9 נסמן את שתי הצלעות שחילצנו על שרטוט של המלבן:
15 9
שטח המלבן הוא מכפלת האורך ברוחב: S=15⋅9=135\displaystyle S = 15 \cdot 9 = 135 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 4·גאומטריה · בעיות מילוליותקשה
במערכת הצירים שלפניכם נתון קטע ABAB כאשר A(2,3)A(2, 3) ו-B(12,8)B(12, 8). על הקטע מסומנת נקודה CC המחלקת אותו כך שהיחס AC:CBAC{:}CB שווה ל-3:23{:}2. מהם שיעורי הנקודה CC?
x y A(2,3) B(12,8) C
  1. א.(6, 5)
  2. ב.(7, 5.5)
  3. ג.(8, 6)התשובה הנכונה
  4. ד.(9, 6.5)
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים שני קצות של קטע בקואורדינטות ונקודה עליו המחלקת אותו ביחס נתון, ומבקשים את שיעורי הנקודה. לכן זו בעיית גאומטריה אנליטית המשולבת עם יחס: חלוקת קטע ביחס נתון. בתשובות זוגות שיעורים.

דרכי פתרון אפשריות

  • הצבת תשובות - התשובות הן זוגות-שיעורים מוצעים ל-CC, וניתן לבדוק לכל אחד אם היחס AC:CBAC{:}CB בין ההפרשים אכן יוצא 3:23{:}2. דרך פסיכומטרית מעשית, שכן די בבדיקת הפרשי-שיעורים לכל מועמד.
  • פתרון גיאומטרי - היחס AC:CB=3:2AC{:}CB = 3{:}2 מחלק את הקטע ל-55 יחידות שוות, ולכן CC נמצאת 35\dfrac{3}{5} מהדרך מ-AA ל-BB. מתקדמים חלק זה מהדרך בכל אחד מהצירים בנפרד: מוסיפים לכל שיעור של AA את החלק המתאים מהפרש השיעורים עד BB.

הצבת תשובות:

נבדוק לכל מועמד אם ההפרש מ-AA אליו (ACAC) עומד ביחס 3:23{:}2 עם ההפרש ממנו ל-BB (CBCB). מכיוון שהיחס 3:23{:}2 ממקם את CC מעבר לאמצע וקרוב יותר ל-BB, נתחיל מתשובה (3), C(8,6)C(8, 6). ההפרש מ-A(2,3)A(2, 3) ל-C(8,6)C(8, 6) הוא (6,3)(6, 3), וההפרש מ-C(8,6)C(8, 6) ל-B(12,8)B(12, 8) הוא (4,2)(4, 2). היחס בין ההפרשים הוא 6:4=3:26 {:} 4 = 3 {:} 2 בציר ה-xx, וגם 3:23 {:} 2 בציר ה-yy, בדיוק היחס הנדרש. זו התשובה, וניתן להקיף.

פתרון גיאומטרי:

היחס AC:CB=3:2AC{:}CB = 3{:}2 מחלק את הקטע ל-3+2=53 + 2 = 5 יחידות שוות, ו-CC מרוחקת 33 מהן מ-AA. לכן CC נמצאת 35\dfrac{3}{5} מהדרך מ-AA ל-BB. את שיעורי CC נקבל מהוספת חלק זה של הפרש-השיעורים לשיעורי AA. לשיעור ה-xx: הפרש ה-xx מ-AA ל-BB הוא 12−2=1012 - 2 = 10, ו-35\dfrac{3}{5} ממנו הם 66: xC=2+35⋅(12−2)=2+35⋅10=2+6=8\displaystyle x_C = 2 + \dfrac{3}{5} \cdot (12 - 2) = 2 + \dfrac{3}{5} \cdot 10 = 2 + 6 = 8 לשיעור ה-yy: הפרש ה-yy מ-AA ל-BB הוא 8−3=58 - 3 = 5, ו-35\dfrac{3}{5} ממנו הם 33: yC=3+35⋅(8−3)=3+35⋅5=3+3=6\displaystyle y_C = 3 + \dfrac{3}{5} \cdot (8 - 3) = 3 + \dfrac{3}{5} \cdot 5 = 3 + 3 = 6 שיעורי הנקודה הם (8,6)(8, 6), כפי שרואים בשרטוט (הנקודה CC באדום, קרובה יותר ל-BB):
x y A(2,3) B(12,8) C(8,6)
אותה תשובה, וניתן להקיף.
שאלה 5·בעיות מילוליותקשה מאוד
חוט נחתך לארבע חתיכות, כך שכל חתיכה ארוכה פי 22 מהחתיכה שאחריה (החתיכה הראשונה היא הארוכה ביותר, והרביעית הקצרה ביותר). מהו היחס בין אורך החתיכה הראשונה לאורכו של החוט כולו?
  1. א.8:15התשובה הנכונה
  2. ב.1:2
  3. ג.4:7
  4. ד.2:3
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונות ארבע חתיכות שכל אחת היא מחצית קודמתה (סדרה שבה היחס בין איברים עוקבים קבוע), ושואלים על יחס החתיכה הארוכה לאורך החוט כולו. לכן זו בעיית יחס. בתשובות יחסים.

דרכי פתרון אפשריות

  • טבלת יחס - הדרך המתאימה כאן: מבטאים את ארבע החתיכות ביחידות-יחס משותפות (הקצרה = יחידה אחת), מסכמים אותן לאורך החוט, ומחשבים את יחס הארוכה לסכום. עדיף להתחיל מהחתיכה הקצרה ביותר כדי שכל החתיכות יצאו מספרים שלמים.
  • פתרון אלגברי - מסמנים את החתיכה הקצרה ב-aa, מבטאים דרכה את השאר ואת הסכום, וגוזרים את היחס.

טבלת יחס:

כל חתיכה ארוכה פי 22 מזו שאחריה, ולכן נוח להתחיל מהקצרה (הרביעית) ולהגדיר אותה כיחידה אחת. אז הרביעית = 11, השלישית = 22, השנייה = 44, והראשונה = 88 יחידות. נסדר בטבלה ונשלים את עמודת סך-הכול, שהוא אורך החוט: 8+4+2+1=158 + 4 + 2 + 1 = 15:
ראשונהשנייהשלישיתרביעיתסך הכול
יחידות יחס842115
היחס בין החתיכה הראשונה (88 יחידות) לאורך החוט כולו (1515 יחידות) הוא: 8:15\displaystyle 8 : 15 זו התשובה, וניתן להקיף.

פתרון אלגברי:

נסמן ב-aa את אורך החתיכה הרביעית (הקצרה). כל חתיכה כפולה מזו שאחריה, ולכן החתיכה השלישית היא 2a2a, השנייה 4a4a והראשונה 8a8a. אורך החוט הוא סכום ארבע החתיכות: 8a+4a+2a+a=15a\displaystyle 8a + 4a + 2a + a = 15a היחס בין החתיכה הראשונה לחוט כולו: 8a15a=815\displaystyle \dfrac{8a}{15a} = \dfrac{8}{15} כלומר 8:158 {:} 15. אותה תשובה.
שאלה 6·בעיות מילוליותקלה מאוד
בחוג ספורט 4040 ילדים, ויחס מספר הבנים למספר הבנות בו הוא 3:23{:}2 בהתאמה. כמה בנים יש בחוג?
  1. א.16
  2. ב.20
  3. ג.24התשובה הנכונה
  4. ד.27
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון יחס בין שני גורמים וגם הכמות הכוללת שלהם, ושואלים על אחד הגורמים. לכן זו בעיית יחס. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

  • טבלת יחס - הדרך המתאימה לבעיית יחס: מסדרים את גורמי היחס בטבלה, משלימים את עמודת סך-הכול, מוצאים ערך יחידה מהכמות הכוללת, וגוזרים את מספר הבנים.
  • פתרון אלגברי - מסמנים את גודל יחידת היחס ב-kk ופותרים מהכמות הכוללת.

טבלת יחס:

נסדר בטבלה את גורמי היחס (שסכומם 3+2=53 + 2 = 5 יחידות) בשורה העליונה, ומתחתם את הכמות בפועל, שבה בשלב זה ידוע רק סך-הכול, 4040 ילדים:
בניםבנותסך הכול
יחידות יחס325
בפועל??40
עכשיו רואים את פקטור-ההכפלה בעיניים: עמודת סך-הכול עברה מ-55 יחידות-יחס ל-4040 ילדים, כלומר כל יחידת-יחס שווה ל-405=8\dfrac{40}{5} = 8 ילדים, וכל השורה מוכפלת פי 88. נחיל את אותו פקטור ×8\times 8 על שאר התאים, ובפרט על התא המבוקש - מספר הבנים, שהוא 33 יחידות:
בניםבנותסך הכול
יחידות יחס325
בפועל241640
הבנים הם 3×8=243 \times 8 = 24. זו התשובה, וניתן להקיף.

פתרון אלגברי:

נסמן ב-kk את גודל יחידת היחס. אז הבנים הם 3k3k והבנות 2k2k, וסכומם 4040: 3k+2k=5k=40⇒k=8\displaystyle 3k + 2k = 5k = 40 \quad\Rightarrow\quad k = 8 הבנים הם 3k=3×8=243k = 3 \times 8 = 24. אותה תשובה.
שאלה 7·אלגברה · בעיות מילוליותקלה
בגן חולקו פרחים לשלוש ערוגות ביחס 2:3:62{:}3{:}6 בהתאמה. איזה מהמספרים הבאים יכול להיות מספר הפרחים בשלוש הערוגות יחד?
  1. א.80
  2. ב.84
  3. ג.88התשובה הנכונה
  4. ד.96
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון יחס בין שלושה גורמים, ושואלים איזה מספר יכול להיות סכומם. מכיוון שהגורמים הם פרחים שלמים, הסכום חייב להיות כפולה של סך-יחידות-היחס. לכן זו בעיית יחס המשולבת בחלוקה. בתשובות מספרים שלמים, המרמזים על פסילה לפי חלוקה.

דרכי פתרון אפשריות

  • טבלת יחס - הדרך המתאימה כאן: משלימים את עמודת סך-הכול (סכום יחידות-היחס), ובודקים איזו מהתשובות מתחלקת בו.
  • פתרון אלגברי - מבטאים את הסכום כמכפלה של גודל יחידת-היחס בסך-היחידות, ומסיקים שהוא חייב להיות כפולה של סך-היחידות.

טבלת יחס:

נסדר את גורמי היחס בטבלה ונשלים את עמודת סך-הכול, 2+3+6=112 + 3 + 6 = 11:
ערוגה אערוגה בערוגה גסך הכול
יחידות יחס23611
הסכום הכולל בנוי מ-1111 יחידות-יחס שוות, ולכן הוא תמיד כפולה של 1111. נבדוק את התשובות: רק 88=11×888 = 11 \times 8 מתחלק ב-1111 (ואילו 8080, 8484 ו-9696 אינם). זו התשובה, וניתן להקיף.

פתרון אלגברי:

נסמן ב-kk את גודל יחידת היחס. אז מספרי הפרחים בערוגות הם 2k2k, 3k3k ו-6k6k, וסכומם: 2k+3k+6k=11k\displaystyle 2k + 3k + 6k = 11k הסכום הוא כפולה של 1111, ולכן רק 8888 (המתאים ל-k=8k = 8) מתאים. אותה תשובה.
שאלה 8·אלגברה · בעיות מילוליותבינונית
היחס בין xx ל-yy הוא 3:53 {:} 5, וגם x+y=40x + y = 40. מה ערכו של ההפרש y−xy - x?
  1. א.8
  2. ב.10התשובה הנכונה
  3. ג.15
  4. ד.25
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים יחס בין שני נעלמים וגם סכומם. מבקשים את ההפרש ביניהם, ובתשובות מספרים שלמים קטנים. לכן זו בעיית משוואות המשולבת ביחס.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון עקרוני - היחס אומר שהסכום מתחלק למספר חלקים שווים; נמצא את גודל החלק היחיד ומכאן כל נעלם וההפרש. זו הדרך הקנונית לבעיית יחס-וסכום.
  • הצבת תשובות - התשובות הן ערכי הפרש ולא ערכי נעלם בודד, ולכן הצבתן פחות ישירה; נעדיף את דרך יחידת-היחס.

פתרון עקרוני:

היחס 3:53 {:} 5 מחלק את הסכום ל-3+5=83 + 5 = 8 חלקים שווים. נחלק את הסכום במספר החלקים כדי למצוא את גודל החלק: 408=5\displaystyle \dfrac{40}{8} = 5 הנעלם הקטן שווה ל-33 חלקים והגדול ל-55 חלקים, ולכן ההפרש הוא 5−3=25 - 3 = 2 חלקים: y−x=2⋅5=10\displaystyle y - x = 2 \cdot 5 = 10 זו התשובה, וניתן להקיף.

כל השאלות, התשובות וההסברים נכתבו ונבדקו על ידי צוות מומחים שחי ונושם פסיכומטרי ואמירנט. כל פריט עובר בקרת איכות לפני שהוא מתפרסם ומתעדכן באופן שוטף, כדי שהתרגול ישקף את רמת הקושי, הסגנון וההיגיון של המבחן האמיתי.

שיא

© 2026 · שיא. סימולטור פסיכומטרי ואמירנט