שיא
התחבר לחשבון

תרגול דמיון צורות לפסיכומטרי

בדמיון צורות הנקודה שהכי מפילה היא שיחס השטחים הוא ריבוע יחס הצלעות. אם הצלעות ביחס 1:2, השטחים ביחס 1:4.

8 שאלות עם פתרון מלא

שאלות מתוך התרגול עצמו. נסה לפתור לבד, ורק אז פתח את הפתרון.

שאלה 1·גאומטריהקלה מאוד
בסרטוט שלפניכם משולש PQRPQR, ובו הישר MNMN מקביל לצלע QRQR (MM על PQPQ, NN על PRPR). לפי הנתונים שבסרטוט, מה אורך NRNR (בס"מ)?
P Q R M N 8 12 6 ?
  1. א.9התשובה הנכונה
  2. ב.10
  3. ג.12
  4. ד.16
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

במשולש PQRPQR מועבר ישר MNMN המקביל לצלע QRQR, ונתונים חלקי שני החותכים PQPQ ו-PRPR - זהו השרטוט הנפוץ של קו-מקביל-במשולש ("אב ובנו"), שיוצר משולש קטן דומה בקודקוד PP, ומעיד שזו שאלת דמיון משולשים. מבקשים אורך חלק של צלע, והתשובות מספרים קטנים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון גיאומטרי - הישר המקביל יוצר משולש קטן (PMNPMN) דומה למשולש הגדול (PQRPQR), ולכן החלקים המתאימים על שני החותכים מקיימים אותו יחס. מוצאים את היחס מהזוג הידוע, ומחלצים את החלק החסר.
הישר MNMN מקביל לצלע QRQR, ולכן המשולש PMNPMN דומה למשולש PQRPQR (הזווית ב-PP משותפת, ו-∠PMN=∠PQR\angle PMN=\angle PQR כזוויות מתאימות בין מקבילים). בשני משולשים דומים, החלקים המתאימים על הצלעות מקיימים אותו יחס: PMMQ=PNNR\displaystyle \frac{PM}{MQ} = \frac{PN}{NR} נציב את הנתונים (PM=8PM=8, MQ=12MQ=12, PN=6PN=6): 812=6NR\displaystyle \frac{8}{12} = \frac{6}{NR} נבודד את NRNR בכפל-מוצלב: NR=6⋅128=728=9\displaystyle NR = \frac{6 \cdot 12}{8} = \frac{72}{8} = 9 הנה שני המשולשים הדומים (PMNPMN הקטן ירוק, PQRPQR הגדול אדום), עם החלק הנגזר NR=9NR=9 מודגש:
P Q R M N 8 12 6 9
זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 2·גאומטריהקלה
בסרטוט שלפניכם משולש ABCABC, ובו הישר DEDE מקביל לבסיס BCBC (DD על ABAB, EE על ACAC). לפי נתונים אלו והנתונים שבסרטוט, מה אורך DEDE (בס"מ)?
4 6 ? 15 A B C D E
  1. א.4
  2. ב.6התשובה הנכונה
  3. ג.9
  4. ד.10
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

במשולש ABCABC מועבר ישר DEDE המקביל לבסיס BCBC - זהו השרטוט הנפוץ "אב ובנו" (משולש קטן בתוך גדול החולקים את אותה זווית), המעיד בחוזקה שזו שאלת דמיון משולשים. מבקשים אורך צלע. בתשובות מספרים שלמים קרובים זה לזה, מ-44 ועד 1010.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון גיאומטרי - מהקבלת DEDE ל-BCBC נובע שהמשולש ADEADE דומה למשולש ABCABC, ולכן הצלעות המתאימות מקיימות יחס קבוע (יחס הדמיון). מוצאים את יחס הדמיון מהצלעות הידועות, ומחשבים את הצלע החסרה.
הישר DEDE מקביל לבסיס BCBC, ולכן המשולש ADEADE דומה למשולש ABCABC (הזווית ב-AA משותפת, והזוויות ∠ADE\angle ADE ו-∠ABC\angle ABC שוות כזוויות מתאימות בין מקבילים). במשולשים דומים יחס הצלעות המתאימות קבוע. תחילה נמצא את צלע המשולש הגדול ABAB (סכום שני חלקיה): AB=AD+DB=4+6=10\displaystyle AB = AD + DB = 4 + 6 = 10 יחס הדמיון בין המשולש הקטן לגדול הוא היחס בין הצלעות המתאימות ADAD ו-ABAB: ADAB=410=25\displaystyle \frac{AD}{AB} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} הצלע DEDE (במשולש הקטן) מתאימה לבסיס BCBC (במשולש הגדול), ולכן מקיימת אותו יחס: DE=25⋅BC=25⋅15=6\displaystyle DE = \frac{2}{5} \cdot BC = \frac{2}{5} \cdot 15 = 6 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 3·גאומטריהבינונית
בסרטוט שלפניכם שני ישרים הנחתכים בנקודה OO, והקצוות ABAB ו-DCDC מקבילים זה לזה. לפי נתונים אלו והנתונים שבסרטוט, מה אורך OCOC (בס"מ)?
8 12 6 ? A B C D O
  1. א.4
  2. ב.6
  3. ג.9התשובה הנכונה
  4. ד.12
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

שני ישרים נחתכים ב-OO, וקצותיהם ABAB ו-DCDC מקבילים - תבנית "שעון חול" שיוצרת שני משולשים דומים (OABOAB ו-OCDOCD). מבקשים אורך צלע. בתשובות מספרים שלמים מרווחים, מ-44 ועד 1212.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון גיאומטרי - הזוויות ב-OO שוות (קודקודיות), והמקבילות AB∥DCAB \parallel DC נותנות זוויות מתחלפות שוות; לכן המשולש OABOAB דומה למשולש OCDOCD. מהיחס בין הבסיסים המקבילים נגזר יחס הדמיון, וממנו הצלע המבוקשת.
הזוויות ∠AOB\angle AOB ו-∠COD\angle COD שוות (זוויות קודקודיות), והישרים ABAB ו-DCDC מקבילים, ולכן גם ∠OAB=∠OCD\angle OAB = \angle OCD (זוויות מתחלפות בין מקבילים). מכאן המשולש OABOAB דומה למשולש OCDOCD. יחס הדמיון הוא היחס בין הצלעות המתאימות - הבסיסים המקבילים DCDC ו-ABAB: DCAB=128=32\displaystyle \frac{DC}{AB} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} הצלע OCOC (במשולש OCDOCD) מתאימה לצלע OAOA (במשולש OABOAB), ולכן גדולה ממנה באותו יחס: OC=32⋅OA=32⋅6=9\displaystyle OC = \frac{3}{2} \cdot OA = \frac{3}{2} \cdot 6 = 9 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 4·גאומטריהקשה
בסרטוט, DEDE מקביל לצלע BCBC של המשולש ABCABC. נתון AD=4AD = 4, DB=6DB = 6, ו-DE=8DE = 8. מהו אורך BCBC?
A B C D E 4 6 8
  1. א.12
  2. ב.16
  3. ג.20התשובה הנכונה
  4. ד.24
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון משולש ובתוכו קו המקביל לאחת הצלעות וחותך את שתי האחרות, צורת "אב ובנו", ונתונים אורכי הקטעים שנוצרו. מבקשים את אורך הצלע שהקו מקביל לה. לכן זו בעיית דמיון משולשים. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון גיאומטרי - מהמקבילות נובע ש-ADEADE דומה ל-ABCABC, ולכן יחס הצלעות הנגזרות שווה ליחס הצלעות המתאימות. נמצא תחילה את יחס הדמיון מהצלע ש-DD מחלקת, ואז נציב אותו בצלע המבוקשת.

פתרון גיאומטרי:

מהמקבילות DE∥BCDE \parallel BC נובע שהמשולש הקטן ADEADE דומה למשולש הגדול ABCABC (זוויות מתאימות שוות). ביחס דמיון, היחס בין צלעות מתאימות קבוע: ADAB=DEBC\displaystyle \frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC} תחילה נמצא את ABAB, הצלע השלמה ש-DD מונחת עליה. היא מורכבת משני חלקים נתונים: AB=AD+DB=4+6=10\displaystyle AB = AD + DB = 4 + 6 = 10 יחס הדמיון בין המשולש הקטן לגדול: ADAB=410=25\displaystyle \frac{AD}{AB} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} נסמן את הצלעות המתאימות בשרטוט:
A B C D E 8 ?
הצלע DEDE במשולש הקטן מתאימה ל-BCBC במשולש הגדול, ולכן היחס ביניהן זהה: DEBC=25\displaystyle \frac{DE}{BC} = \frac{2}{5} נציב DE=8DE = 8 ונבודד את BCBC: 8BC=25⇒BC=8⋅52=20\displaystyle \frac{8}{BC} = \frac{2}{5} \quad\Rightarrow\quad BC = \frac{8 \cdot 5}{2} = 20 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 5·גאומטריהקשה מאוד
בסרטוט שלפניכם טרפז ABCDABCD, ובו ABAB מקביל ל-DCDC. אלכסוני הטרפז נחתכים בנקודה OO. נתון: AB=6AB=6, DC=9DC=9, ושטח המשולש OABOAB הוא שמונה סמ"ר. לפי נתונים אלו והנתונים שבסרטוט, מהו שטח המשולש OBCOBC (בסמ"ר)?
A B C D O 6 9
  1. א.6
  2. ב.8
  3. ג.12התשובה הנכונה
  4. ד.16
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

בטרפז ABCDABCD שבו ABAB מקביל ל-DCDC, האלכסונים נחתכים ב-OO - זהו השרטוט הנפוץ של "שעון חול", שבו המשולש העליון OABOAB דומה למשולש התחתון OCDOCD. נתונים שני הבסיסים ושטח המשולש העליון, ומבקשים את שטח אחד משני המשולשים הצדדיים (OBCOBC). לכן זו שאלת דמיון המשלבת את עקרון השטחים, עם תובנה נסתרת על המשולש הצדדי. התשובות מספרים קטנים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון גיאומטרי - המשולש הצדדי OBCOBC אינו דומה למשולש העליון, ולכן אי אפשר להחיל עליו ישירות את יחס-הדמיון, ומגיעים אליו בשלושה שלבים: מנצלים את דמיון שני המשולשים שעל הבסיסים המקבילים (OABOAB ו-OCDOCD) כדי לחלץ את יחס-הדמיון, מעלים אותו בריבוע כדי לקבל את שטח המשולש התחתון OCDOCD, ומשם מגיעים אל השטח המבוקש בעזרת חיסור-שטחים.

פתרון גיאומטרי:

מהמקבילות AB∥DCAB \parallel DC נובע שהמשולש OABOAB דומה למשולש OCDOCD (שעון-חול): הזוויות בקודקוד OO שוות (זוויות קודקודיות), והזוויות ∠OAB\angle OAB ו-∠OCD\angle OCD שוות כזוויות מתחלפות בין הישרים המקבילים. לכן לפי שתי זוויות המשולשים דומים, ויחס-הדמיון הוא יחס הבסיסים: k=ABDC=69=23\displaystyle k = \frac{AB}{DC} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} יחס-השטחים בין שני משולשים דומים שווה לריבוע יחס-הדמיון. המשולש OCDOCD גדול מ-OABOAB, ולכן שטחו: SOCD=(DCAB)2⋅SOAB\displaystyle S_{OCD} = \left(\frac{DC}{AB}\right)^2 \cdot S_{OAB} SOCD=(32)2⋅8=94⋅8=18\displaystyle S_{OCD} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 \cdot 8 = \frac{9}{4} \cdot 8 = 18 כעת נעבור לחיסור-שטחים. המשולשים ABDABD ו-ABCABC חולקים את הבסיס ABAB, וגם הגובה אליו זהה: הקודקודים DD ו-CC יושבים על הישר DCDC המקביל ל-ABAB, ולכן שניהם מרוחקים מ-ABAB באותה מידה. משולשים בעלי בסיס משותף וגובה שווה שווים בשטחם: SABD=SABC\displaystyle S_{ABD} = S_{ABC} כל אחד משני המשולשים האלה מורכב מהמשולש המשותף OABOAB וממשולש צדדי אחד: SABD=SOAB+SOADS_{ABD} = S_{OAB} + S_{OAD}, ואילו SABC=SOAB+SOBCS_{ABC} = S_{OAB} + S_{OBC}. נחסר משני האגפים את המשולש המשותף OABOAB, ונקבל ששני המשולשים הצדדיים שווי-שטח: SOAD=SOBC\displaystyle S_{OAD} = S_{OBC} די לנו אפוא למצוא את SOADS_{OAD}, ואותו נחלץ מהמשולש ACDACD: הנקודה OO יושבת על הצלע ACAC ומחלקת אותה לשני הקטעים AOAO ו-OCOC, ולכן היא מחלקת את המשולש ACDACD לשני המשולשים OADOAD ו-OCDOCD. לשניהם אותו גובה, המרחק מהקודקוד DD אל הישר ACAC, ולכן יחס שטחיהם שווה ליחס הבסיסים: SOADSOCD=AOOC\displaystyle \frac{S_{OAD}}{S_{OCD}} = \frac{AO}{OC} הקטעים AOAO ו-OCOC הם צלעות מתאימות במשולשים הדומים שמצאנו בשלב הראשון, ולכן יחסם הוא יחס-הדמיון: AOOC=ABDC=23\displaystyle \frac{AO}{OC} = \frac{AB}{DC} = \frac{2}{3} נציב את שטח המשולש OCDOCD שחילצנו: SOAD=23⋅18=12\displaystyle S_{OAD} = \frac{2}{3} \cdot 18 = 12 ומאחר ששני המשולשים הצדדיים שווי-שטח, זהו גם השטח המבוקש: SOBC=12S_{OBC} = 12. הנה השרטוט עם השטחים הנגזרים (OAB=8OAB=8 ירוק, OCD=18OCD=18 אדום, והשטח המבוקש OBC=12OBC=12 בכחול):
A B C D O 6 9 8 18 12
זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 6·גאומטריהקלה מאוד
בסרטוט שלפניכם שני מלבנים דומים זה לזה (הצלע הקצרה של האחד מתאימה לצלע הקצרה של האחר). לפי הנתונים שבסרטוט, מה אורך הצלע המסומנת ב-?? (בס"מ)?
14 8 ? 12
  1. א.8
  2. ב.14
  3. ג.18
  4. ד.21התשובה הנכונה
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים שני מלבנים דומים זה לזה, ונתון בסרטוט זוג צלעות מתאימות (הקצרות) של השניים וצלע נוספת של האחד. מבקשים את הצלע המתאימה במלבן השני, לכן זו בעיית דמיון צורות. בתשובות ערכים מספריים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון גיאומטרי - בשתי צורות דומות היחס בין כל זוג צלעות מתאימות קבוע (יחס הדמיון). מוצאים את יחס הדמיון מזוג הצלעות המתאימות הידועות, ומיישמים אותו על הצלע הנתונה כדי לקבל את המתאימה לה.

פתרון גיאומטרי:

הצלע הקצרה של המלבן הקטן (88) מתאימה לצלע הקצרה של המלבן הגדול (1212), ומהן נגזר יחס הדמיון בין הגדול לקטן: k=128=32\displaystyle k = \dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2} הצלע המבוקשת במלבן הגדול מתאימה לצלע 1414 במלבן הקטן, ולכן גדולה ממנה באותו יחס: ?=32⋅14=21\displaystyle ? = \dfrac{3}{2} \cdot 14 = 21
14 8 21 12
זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 7·גאומטריהקלה
יחס השטחים בין שני ריבועים דומים הוא 9:49{:}4. מהו היחס בין היקפי הריבועים (בסדר המתאים)?
  1. א.9 : 4
  2. ב.3 : 2התשובה הנכונה
  3. ג.81 : 16
  4. ד.6 : 4
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון יחס השטחים בין שני ריבועים דומים, ומבוקש יחס ההיקפים. השטח דו-ממדי וההיקף חד-ממדי, ולכן זו שאלת דמיון המשלבת את עקרון השטחים. התשובות הן יחסים (לא אורכים) - רמז שאין כאן ערך מוחלט.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון עקרוני - יחס השטחים שווה לריבוע יחס-הצלעות, ולכן יחס-הצלעות (וממנו יחס-ההיקפים, שגם הוא חד-ממדי) הוא השורש של יחס השטחים.
  • הצבת מספרים - מכיוון שהתשובות מופשטות (יחסים בלבד), נבחר צלעות קונקרטיות המקיימות את יחס-השטחים, נחשב את שני ההיקפים, ונקרא את היחס. דרך פסיכומטרית לאימות כשאין מספרים ממשיים.

פתרון עקרוני:

בריבוע השטח הוא הצלע בריבוע, וההיקף הוא הצלע כפול 44 (חד-ממדי). יחס השטחים 9:49{:}4 הוא לכן ריבוע יחס-הצלעות, ויחס-הצלעות הוא השורש שלו: 9:4=3:2\displaystyle \sqrt{9} : \sqrt{4} = 3 : 2 יחס-ההיקפים חד-ממדי בדיוק כמו יחס-הצלעות, ולכן שווה לו: 3:23{:}2, וניתן להקיף.

הצבת מספרים:

נבחר צלעות המקיימות את יחס-השטחים 9:49{:}4. שטח ריבוע הוא הצלע בריבוע, ולכן צלע 33 נותנת שטח 99, וצלע 22 נותנת שטח 44: 32:22=9:4\displaystyle 3^2 : 2^2 = 9 : 4 נשרטט את שני הריבועים ונחלק אותם למשבצות-יחידה, כדי לראות את שני היחסים זה מול זה:
3 2 שטח 9 שטח 4
בשרטוט רואים את שני הגדלים בבת אחת: הצלעות ביחס 3:23{:}2, ומספר המשבצות ביחס 9:49{:}4. ההיקף הוא הצלע כפול 44, ולכן ההיקפים הם 1212 ו-88, ויחסם: 12:8=3:2\displaystyle 12 : 8 = 3 : 2 התוצאה מאשרת: יחס-ההיקפים 3:23{:}2.
שאלה 8·גאומטריהבינונית
יחס אורכי הצלעות של שני ריבועים הוא 2:52{:}5 בהתאמה. מה היחס בין שטח הריבוע הקטן לשטח הריבוע הגדול?
  1. א.8:125
  2. ב.2:25
  3. ג.4:25התשובה הנכונה
  4. ד.2:5
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון יחס בין אורכי הצלעות של שני ריבועים, ומבוקש היחס בין שטחיהם. שני ריבועים הם תמיד צורות דומות, והשטח גודל דו-ממדי, ולכן זו שאלת דמיון בשילוב שטחים. בתשובות ביטויי-יחס.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון גיאומטרי - שני הריבועים דומים, ובצורות דומות יחס השטחים שווה לריבוע יחס האורכים; שטח ריבוע הוא אורך צלעו בריבוע, ולכן מעלים כל גורם ביחס בריבוע. זו הדרך המתאימה לבעיית דמיון בשילוב שטחים.
  • הצבת מספרים - כשהתשובות הן ביטויי-יחס אפשר גם לבחור אורכי-צלע קונקרטיים המקיימים את היחס, לחשב את שני השטחים, ולקרוא מהם את היחס.

פתרון גיאומטרי:

שני הריבועים דומים, ובצורות דומות יחס השטחים שווה לריבוע יחס האורכים. אורכי הצלעות ביחס 2:52{:}5, ולכן מעלים כל גורם בריבוע: 22:52=4:25\displaystyle 2^2 : 5^2 = 4 : 25 זו התשובה, וניתן להקיף.

הצבת מספרים:

נבחר צלעות באורכים 22 ו-55 (המקיימים את היחס). שטח הריבוע הקטן הוא 22=42^2 = 4, ושטח הגדול 52=255^2 = 25. יחס השטחים הקטן-לגדול הוא 4:254{:}25. אותה תשובה.

כל השאלות, התשובות וההסברים נכתבו ונבדקו על ידי צוות מומחים שחי ונושם פסיכומטרי ואמירנט. כל פריט עובר בקרת איכות לפני שהוא מתפרסם ומתעדכן באופן שוטף, כדי שהתרגול ישקף את רמת הקושי, הסגנון וההיגיון של המבחן האמיתי.

שיא

© 2026 · שיא. סימולטור פסיכומטרי ואמירנט