שיא
כניסה

תרגול דמיון צורות לפסיכומטרי

בדמיון צורות הנקודה שהכי מפילה היא שיחס השטחים הוא ריבוע יחס הצלעות. אם הצלעות ביחס 1:2, השטחים ביחס 1:4.

8 שאלות עם פתרון מלא

שאלות מתוך התרגול עצמו. נסה לפתור לבד, ורק אז פתח את הפתרון.

שאלה 1·גאומטריהקלה מאוד
בסרטוט שלפניכם משולש PQRPQR, ובו הישר MNMN מקביל לצלע QRQR (MM על PQPQ, NN על PRPR). לפי הנתונים שבסרטוט, מה אורך NRNR (בס"מ)?
P Q R M N 8 12 6 ?
  1. א.9התשובה הנכונה
  2. ב.10
  3. ג.12
  4. ד.16
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

במשולש PQRPQR מועבר ישר MNMN המקביל לצלע QRQR, ונתונים חלקי שני החותכים PQPQ ו-PRPR - זהו השרטוט הנפוץ של קו-מקביל-במשולש ("אב ובנו"), שיוצר משולש קטן דומה בקודקוד PP, ומעיד שזו שאלת דמיון משולשים. מבקשים אורך חלק של צלע, והתשובות מספרים קטנים.

דרכי פתרון אפשריות

  • חישוב גאומטרי דרך פרופורציה - הישר המקביל יוצר משולש קטן (PMNPMN) דומה למשולש הגדול (PQRPQR), ולכן החלקים המתאימים על שני החותכים מקיימים אותו יחס. מוצאים את היחס מהזוג הידוע, ומחלצים את החלק החסר.

הפתרון

הישר MNMN מקביל לצלע QRQR, ולכן המשולש PMNPMN דומה למשולש PQRPQR (הזווית ב-PP משותפת, ו-∠PMN=∠PQR\angle PMN=\angle PQR כזוויות מתאימות בין מקבילים). בשני משולשים דומים, החלקים המתאימים על הצלעות מקיימים אותו יחס: PMMQ=PNNR\displaystyle \frac{PM}{MQ} = \frac{PN}{NR} נציב את הנתונים (PM=8PM=8, MQ=12MQ=12, PN=6PN=6): 812=6NR\displaystyle \frac{8}{12} = \frac{6}{NR} נבודד את NRNR בכפל-מוצלב: NR=6⋅128=728=9\displaystyle NR = \frac{6 \cdot 12}{8} = \frac{72}{8} = 9 הנה שני המשולשים הדומים (PMNPMN הקטן ירוק, PQRPQR הגדול אדום), עם החלק הנגזר NR=9NR=9 מודגש:
P Q R M N 8 12 6 9
זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 2·גאומטריהקלה
יחס השטחים בין שני ריבועים דומים הוא 9:49:4. מהו היחס בין היקפי הריבועים (בסדר המתאים)?
  1. א.9 : 4
  2. ב.3 : 2התשובה הנכונה
  3. ג.81 : 16
  4. ד.6 : 4
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון יחס השטחים בין שני ריבועים דומים, ומבוקש יחס ההיקפים. השטח דו-ממדי וההיקף חד-ממדי, ולכן זו שאלת דמיון המשלבת את עקרון השטחים. התשובות הן יחסים (לא אורכים) - רמז שאין כאן ערך מוחלט, ואפשר להיעזר בהצבת מספרים.

דרכי פתרון אפשריות

  • הסבר עקרוני - יחס השטחים שווה לריבוע יחס-הצלעות, ולכן יחס-הצלעות (וממנו יחס-ההיקפים, שגם הוא חד-ממדי) הוא השורש של יחס השטחים.
  • הצבת מספרים - מכיוון שהתשובות מופשטות (יחסים בלבד), נבחר צלעות קונקרטיות המקיימות את יחס-השטחים, נחשב את שני ההיקפים, ונקרא את היחס. דרך פסיכומטרית לאימות כשאין מספרים ממשיים.

הסבר עקרוני:

בריבוע השטח הוא הצלע בריבוע, וההיקף הוא הצלע כפול 44 (חד-ממדי). יחס השטחים 9:49:4 הוא לכן ריבוע יחס-הצלעות, ויחס-הצלעות הוא השורש שלו: 9:4=3:2\displaystyle \sqrt{9} : \sqrt{4} = 3 : 2 יחס-ההיקפים חד-ממדי בדיוק כמו יחס-הצלעות, ולכן שווה לו: 3:23:2, וניתן להקיף.

אימות בהצבת מספרים:

נבחר צלעות המקיימות את יחס-השטחים 9:49:4. שטח ריבוע הוא הצלע בריבוע, ולכן צלע 33 נותנת שטח 99, וצלע 22 נותנת שטח 44: 32:22=9:4\displaystyle 3^2 : 2^2 = 9 : 4 ההיקף הוא הצלע כפול 44, ולכן ההיקפים הם 1212 ו-88, ויחסם: 12:8=3:2\displaystyle 12 : 8 = 3 : 2 התוצאה מאשרת: יחס-ההיקפים 3:23:2.
שאלה 3·גאומטריהבינונית
בסרטוט משולש ABCABC ששטחו 4040. הנקודות DD ו-EE הן אמצעי הצלעות ABAB ו-ACAC בהתאמה, והקטע DEDE מחבר ביניהן. מהו שטח המשולש ADEADE (המוצלל)?
A B C D E
  1. א.10התשובה הנכונה
  2. ב.13
  3. ג.20
  4. ד.30
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון משולש ששטחו ידוע, ו-DD, EE אמצעי שתי צלעות, כך ש-DEDE הוא קטע-אמצעים. קטע-אמצעים מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה, ולכן המשולש הקטן ADEADE דומה למשולש ABCABC ביחס אורכים 1:21:2. יחס-שטחים הוא ריבוע יחס-האורכים.

דרכי פתרון אפשריות

  • יחס דמיון בריבוע - המשולש ADEADE דומה ל-ABCABC ביחס אורכים 1:21:2, ולכן יחס שטחיהם 1:41:4; מכאן שטח ADEADE הוא רבע משטח ABCABC.

יחס דמיון בריבוע:

DD ו-EE אמצעי הצלעות ABAB ו-ACAC, ולכן AD=12ABAD = \dfrac{1}{2}AB ו-AE=12ACAE = \dfrac{1}{2}AC. המשולש ADEADE דומה למשולש ABCABC (זווית AA משותפת ושתי הצלעות הכולאות אותה קטנות פי 22), ויחס האורכים הוא 1:21:2. יחס השטחים בצורות דומות שווה לריבוע יחס האורכים: (12)2=14\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} ולכן שטח ADEADE הוא רבע משטח ABCABC: 404=10\displaystyle \frac{40}{4} = 10 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 4·גאומטריהקשה
בסרטוט שלפניכם, AODAOD ו-BOCBOC הם שני קטעים ישרים הנחתכים בנקודה OO, והקטע ABAB מקביל לקטע CDCD. נתון AB=4AB = 4 ו-CD=6CD = 6, ושטח המשולש ABOABO הוא 88. מהו שטח המשולש CDOCDO?
A B C D O 4 6
  1. א.12
  2. ב.16
  3. ג.18התשובה הנכונה
  4. ד.27
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

בסרטוט שני קטעים ישרים הנחתכים ב-OO, עם AB∥CDAB \parallel CD. זו קונפיגורציית "שעון-חול": שני זוגות זוויות מתחלפות בין הישרים המקבילים הופכות את △ABO\triangle ABO ו-△CDO\triangle CDO למשולשים דומים. הנתונים הם AB=4AB = 4, CD=6CD = 6 (בסיסים מתאימים) ושטח △ABO=8\triangle ABO = 8, ומבקשים את שטח △CDO\triangle CDO. בתשובות מספרים שלמים - שאלה קשה-משולבת.
מכיוון ש-AB∥CDAB \parallel CD, זוויות OABOAB ו-OCDOCD מתחלפות (שתיהן נוצרות על ידי החוצה ACAC בין הקווים המקבילים), וכן זוויות OBAOBA ו-ODCODC מתחלפות. בנוסף, הזוויות ב-OO (זוויות קודקודיות) שוות. לכן:
△ABO∼△CDO\displaystyle \triangle ABO \sim \triangle CDO
(שלושה זוגות זוויות שוות)
יחס-הדמיון נקבע מהבסיסים המתאימים ABAB ו-CDCD:
k=ABCD=46=23\displaystyle k = \dfrac{AB}{CD} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}
יחס-השטחים שווה לריבוע יחס-הדמיון:
S△ABOS△CDO=k2=(23)2=49\displaystyle \dfrac{S_{\triangle ABO}}{S_{\triangle CDO}} = k^2 = \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{4}{9}
נציב את שטח △ABO=8\triangle ABO = 8 ונמצא את S△CDOS_{\triangle CDO}:
8S△CDO=49\displaystyle \dfrac{8}{S_{\triangle CDO}} = \dfrac{4}{9}
S△CDO=8⋅94=18\displaystyle S_{\triangle CDO} = 8 \cdot \dfrac{9}{4} = 18
נסמן את שני המשולשים הדומים בשרטוט (כחול = ABOABO, כתום = CDOCDO):
<svg width="340" height="300" viewBox="0 0 340 300" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
<rect width="340" height="300" fill="white"/>
<polygon points="58.0,243.3 282.0,243.3 170.0,131.3" fill="#ffd9b3" stroke="none"/>
<polygon points="95.3,56.7 244.7,56.7 170.0,131.3" fill="#cde4ff" stroke="none"/>
<line x1="95.3" y1="56.7" x2="58.0" y2="243.3" stroke="black" stroke-width="1.5"/>
<line x1="244.7" y1="56.7" x2="282.0" y2="243.3" stroke="black" stroke-width="1.5"/>
<line x1="95.3" y1="56.7" x2="244.7" y2="56.7" stroke="black" stroke-width="1.5"/>
<line x1="58.0" y1="243.3" x2="282.0" y2="243.3" stroke="black" stroke-width="1.5"/>
<text x="82.8" y="41.0" font-size="14" font-family="Arial" text-anchor="middle" dominant-baseline="middle" fill="black">A</text>
<text x="257.2" y="41.0" font-size="14" font-family="Arial" text-anchor="middle" dominant-baseline="middle" fill="black">B</text>
<text x="42.6" y="256.1" font-size="14" font-family="Arial" text-anchor="middle" dominant-baseline="middle" fill="black">C</text>
<text x="297.4" y="256.1" font-size="14" font-family="Arial" text-anchor="middle" dominant-baseline="middle" fill="black">D</text>
<text x="170.0" y="113.3" font-size="14" font-family="Arial" text-anchor="middle" dominant-baseline="middle" fill="black">O</text>
<text x="170.0" y="43.7" font-size="13" font-family="Arial" text-anchor="middle" dominant-baseline="middle" fill="black">4</text>
<text x="170.0" y="256.3" font-size="13" font-family="Arial" text-anchor="middle" dominant-baseline="middle" fill="black">6</text>
<text x="170.0" y="81.6" font-size="12" font-family="Arial" text-anchor="middle" dominant-baseline="middle" fill="#1a4a8a">S = 8</text>
<text x="170.0" y="206.0" font-size="12" font-family="Arial" text-anchor="middle" dominant-baseline="middle" fill="#c0392b">S = 18</text>
</svg>
שטח המשולש CDOCDO הוא 1818. זו התשובה, וניתן להקיף.

דרכי פתרון אפשריות

  • שיטת הדמיון ויחס-השטחים: מזהים את הדמיון בין שני המשולשים, קובעים את יחס-הדמיון מהבסיסים המקבילים, ומיישמים את עקרון יחס-שטחים = (יחס-הדמיון)².

הסבר

שיטת הדמיון ויחס-השטחים: מזהים את הדמיון בין שני המשולשים, קובעים את יחס-הדמיון מהבסיסים המקבילים, ומיישמים את עקרון יחס-שטחים = (יחס-הדמיון)².
שאלה 5·גאומטריהקשה מאוד
בסרטוט, משולש ABCABC שבסיסו BCBC, ומועבר בו קו DEDE המקביל לבסיס BCBC (הנקודה DD על הצלע ABAB, הנקודה EE על הצלע ACAC). ידוע ש-ADAD שווה לשליש מ-ABAB, ושטח המשולש הקטן ADEADE הוא 55. מהו שטח הטרפז DBCEDBCE (החלק שבין הקו DEDE לבסיס)?
A B C D E
  1. א.10
  2. ב.15
  3. ג.40התשובה הנכונה
  4. ד.45
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון משולש שהועבר בו קו מקביל לבסיס, ויחס האורכים של חלק הצלע הקטן לצלע השלמה נתון (AD=13ABAD = \frac{1}{3} AB). שטח המשולש הקטן נתון, ושואלים על שטח הטרפז. לכן זו בעיית שטחים ודמיון משולבת. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון אלגברי רב-שלבי - ראשית קובעים את יחס הדמיון בין המשולש הקטן למשולש הגדול, ממנו גוזרים את יחס השטחים (ריבוע יחס האורכים), ולבסוף מחסרים את שטח המשולש הקטן משטח הגדול כדי לקבל את שטח הטרפז.

שלב א - יחס הדמיון:

נתון ש-AD=13ABAD = \dfrac{1}{3} AB, ולכן יחס הדמיון בין המשולש הקטן ADEADE למשולש הגדול ABCABC הוא: ADAB=13\displaystyle \frac{AD}{AB} = \frac{1}{3}

שלב ב - יחס השטחים:

יחס שטחי צורות דומות שווה לריבוע יחס הדמיון: SADESABC=(13)2=19\displaystyle \frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}

שלב ג - שטח המשולש הגדול:

שטח ADE=5ADE = 5, ולכן: SABC=5⋅9=45\displaystyle S_{ABC} = 5 \cdot 9 = 45

שלב ד - שטח הטרפז:

הטרפז DBCEDBCE הוא ההפרש בין המשולש הגדול למשולש הקטן: SDBCE=45−5=40\displaystyle S_{DBCE} = 45 - 5 = 40 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 6·גאומטריהקלה מאוד
בסרטוט שלפניכם משולש ABCABC, ובו הישר DEDE מקביל לבסיס BCBC (DD על ABAB, EE על ACAC). לפי הנתונים שבסרטוט, מה אורך DEDE (בס"מ)?
A B C D E 6 9 20 ?
  1. א.6
  2. ב.8התשובה הנכונה
  3. ג.12
  4. ד.15
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

במשולש ABCABC מועבר ישר DEDE המקביל לבסיס, ומבקשים אורך צלע. זהו השרטוט הנפוץ "אב ובנו" (משולש קטן בקודקוד המשולש הגדול, החולקים אותה זווית-ראש), ולכן זו שאלת דמיון משולשים. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

  • חישוב דרך יחס-הדמיון - זו הדרך הישירה: מהקבלת DEDE ל-BCBC נובע שהמשולש ADEADE דומה למשולש ABCABC, והצלעות המתאימות מקיימות יחס קבוע. מוצאים את יחס-הדמיון מזוג צלעות ידועות, ומיישמים אותו על הצלע החסרה.

חישוב דרך יחס-הדמיון:

הישר DEDE מקביל לבסיס BCBC, ולכן המשולש ADEADE דומה למשולש ABCABC (הזווית ב-AA משותפת, והזוויות ∠ADE\angle ADE ו-∠ABC\angle ABC שוות כזוויות מתאימות בין מקבילים). במשולשים דומים יחס הצלעות המתאימות קבוע.
A B C D E 6 9 20 DE=8
תחילה נמצא את הצלע השלמה ABAB (סכום שני חלקיה): AB=AD+DB=6+9=15\displaystyle AB = AD + DB = 6 + 9 = 15 יחס-הדמיון בין המשולש הקטן לגדול הוא היחס בין הצלע ADAD לצלע השלמה המתאימה לה ABAB (ולא בין ADAD לחלק DBDB): ADAB=615=25\displaystyle \frac{AD}{AB} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} הצלע DEDE (במשולש הקטן) מתאימה לבסיס BCBC (במשולש הגדול), ולכן מקיימת אותו יחס: DE=25⋅BC=25⋅20=8\displaystyle DE = \frac{2}{5} \cdot BC = \frac{2}{5} \cdot 20 = 8 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 7·גאומטריהקלה
בשעת בוקר מטיל מקל אנכי שגובהו שני מטרים צל שאורכו שלושה מטרים. באותה שעה מטיל עמוד אנכי, העומד בקרבת מקום, צל שאורכו שנים-עשר מטרים. לפי הנתונים שבסרטוט, מה גובה העמוד (במטרים)?
2 3 ? 12
  1. א.8התשובה הנכונה
  2. ב.12
  3. ג.16
  4. ד.18
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

מקל ועמוד אנכיים מטילים צל באותה שעה, כלומר קרני-השמש מקבילות - זהו השרטוט הנפוץ של "צל ומקל", שבו כל גוף עם צלו יוצר משולש ישר-זווית, ושני המשולשים דומים (הזווית הישרה משותפת, וזווית-השמש שווה בשניהם). מבקשים אורך (גובה) חסר, והתשובות מספרים קטנים.

דרכי פתרון אפשריות

  • חישוב גאומטרי דרך פרופורציה - במשולשים הדומים היחס בין הגובה לצל קבוע. מוצאים אותו מהמקל (שגובהו וצלו ידועים), ומכפילים בו את צל העמוד כדי לקבל את גובהו.

הפתרון

שני המשולשים דומים, ולכן היחס בין הגובה לצל זהה בשניהם:
גובה המקל / צל המקל = גובה העמוד / צל העמוד
נציב את הנתונים (גובה המקל 22, צלו 33, וצל העמוד 1212), ונסמן ב-hh את גובה העמוד: 23=h12\displaystyle \frac{2}{3} = \frac{h}{12} נבודד את גובה העמוד: h=23⋅12=8\displaystyle h = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8 הנה שני משולשי-הצל הדומים (המקל ירוק, העמוד אדום), עם הגובה הנגזר 88 מודגש:
2 3 8 12
זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 8·גאומטריהבינונית
בסרטוט שלפניכם משולש ABCABC, ובתוכו מלבן שצלעו התחתונה מונחת על הבסיס BCBC, ושתי פינותיו העליונות EE ו-FF על הצלעות ABAB ו-ACAC בהתאמה. גובה המשולש (מ-AA לבסיס) הוא שישה ס"מ, וגובה המלבן הוא שני ס"מ. לפי הנתונים שבסרטוט, מה אורך הצלע העליונה EFEF של המלבן (בס"מ)?
A B C E F 18 2 6 ?
  1. א.3
  2. ב.6
  3. ג.9
  4. ד.12התשובה הנכונה
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

מלבן חסום במשולש, כשצלעו העליונה EFEF נמצאת על שוקי המשולש - הצלע EFEF מקבילה לבסיס BCBC, ולכן היא חותכת מהמשולש משולש קטן דומה מלמעלה (קונפיגורציית קו-מקביל-במשולש). נתונים גובה המשולש וגובה המלבן, ומבקשים את אורך EFEF, כלומר את בסיס המשולש הקטן - לכן זו שאלת דמיון משולשים.

דרכי פתרון אפשריות

  • חישוב גאומטרי דרך פרופורציה - המשולש העליון (שקודקודו AA ובסיסו EFEF) דומה למשולש הכולל ABCABC, ויחס הדמיון הוא יחס הגבהים. תחילה גוזרים את גובה המשולש הקטן מהפרש הגבהים, ואז מכפילים את הבסיס BCBC ביחס.

הפתרון

הצלע EFEF מקבילה לבסיס BCBC (שתי הפינות העליונות של המלבן נמצאות בגובה קבוע), ולכן המשולש העליון AEFAEF דומה למשולש ABCABC. יחס הדמיון הוא יחס הגבהים שלהם. גובה המשולש הקטן AEFAEF הוא הפרש בין גובה המשולש כולו לגובה המלבן: 6−2=4\displaystyle 6 - 2 = 4 יחס הדמיון בין המשולש הקטן לגדול הוא היחס בין הגבהים: k=46=23\displaystyle k = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} הבסיס EFEF (במשולש הקטן) מתאים לבסיס BCBC (במשולש הגדול), ולכן מקיים אותו יחס: EF=23⋅BC=23⋅18=12\displaystyle EF = \frac{2}{3} \cdot BC = \frac{2}{3} \cdot 18 = 12 הנה המשולש העליון הדומה AEFAEF (ירוק) בתוך המשולש הכולל ABCABC (אדום), עם גובהו הנגזר 44 והבסיס EF=12EF=12 מודגשים:
A B C E F 18 2 4 12
זו התשובה, וניתן להקיף.

כל השאלות, התשובות וההסברים נכתבו ונבדקו על ידי צוות מומחים שחי ונושם פסיכומטרי. כל פריט עובר בקרת איכות לפני שהוא מתפרסם ומתעדכן באופן שוטף, כדי שהתרגול ישקף את רמת הקושי, הסגנון וההיגיון של המבחן האמיתי.