שיא
התחבר לחשבון

תרגול גופים במרחב לפסיכומטרי

שאלות מרחב נראות מאיימות ורובן פשוטות: נפח הוא שטח בסיס כפול גובה, כמעט תמיד. הקושי הוא לזהות מה הבסיס.

8 שאלות עם פתרון מלא

שאלות מתוך התרגול עצמו. נסה לפתור לבד, ורק אז פתח את הפתרון.

שאלה 1·גאומטריהקלה מאוד
בסרטוט שלפניכם קובייה שאורך מקצועה 44 ס"מ. מה נפח הקובייה (בסמ"ק)?
4 4 4
  1. א.12
  2. ב.16
  3. ג.64התשובה הנכונה
  4. ד.96
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון גוף תלת-ממדי (קובייה) ואורך מקצועה, ומבוקש נפחו - לכן זו בעיית תלת-מימד. בקובייה כל שלושת הממדים שווים, ולכן הנפח הוא הצבה ישירה של המקצוע בנוסחת נפח הקובייה. בתשובות ערכים מספריים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון גיאומטרי - נפח הקובייה הוא מכפלת שלושת ממדיה, ומכיוון שכולם שווים, זו העלאת המקצוע בחזקה שלישית.

פתרון גיאומטרי:

נפח קובייה הוא המקצוע בחזקה שלישית: V=a3\displaystyle V = a^3 נציב את המקצוע a=4a = 4: V=43\displaystyle V = 4^3 נחשב: 43=4⋅4⋅4=64\displaystyle 4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 2·גאומטריהקלה
בסרטוט שלפניכם תיבה שאורכי מקצועותיה 55, 44 ו-33 ס"מ. מה נפח התיבה (בסמ"ק)?
5 3 4
  1. א.12
  2. ב.20
  3. ג.60התשובה הנכונה
  4. ד.94
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

מבוקש נפח תיבה, ונתונים שלושת ממדיה - הצבה ישירה בנוסחת נפח התיבה (מכפלת שלושת הממדים). בתשובות מספרים שלמים מרווחים, מ-1212 ועד 9494, וכולם זוגיים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון גיאומטרי - נפח התיבה הוא מכפלת אורכה, רוחבה וגובהה.
נפח התיבה הוא מכפלת שלושת ממדיה: V=5⋅4⋅3\displaystyle V = 5 \cdot 4 \cdot 3 נחשב: 5⋅4⋅3=20⋅3=60\displaystyle 5 \cdot 4 \cdot 3 = 20 \cdot 3 = 60 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 3·גאומטריהבינונית
בסרטוט שלפניכם תיבה שאורכי מקצועותיה 44, 33 ו-22 ס"מ. מה שטח הפנים של התיבה (בסמ"ר)?
4 3 2
  1. א.9
  2. ב.24
  3. ג.26
  4. ד.52התשובה הנכונה
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

מבוקש שטח הפנים של תיבה - סכום שטחי כל פאותיה. לתיבה שלושה זוגות של פאות נגדיות שוות. בתשובות מספרים שלמים מרווחים, מ-99 ועד 5252.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון גיאומטרי - שטח הפנים הוא סכום שטחי שש הפאות. מכיוון שהפאות הנגדיות שוות, מחשבים שלוש פאות שונות (מכפלת כל שני ממדים) ומכפילים בשניים.
לתיבה שש פאות, בשלושה זוגות נגדיים שווים. נחשב את שטח שלוש הפאות השונות (מכפלת כל שני ממדים):
  • פאה: 4⋅3=124 \cdot 3 = 12
  • פאה: 4⋅2=84 \cdot 2 = 8
  • פאה: 3⋅2=63 \cdot 2 = 6
שטח הפנים הוא פעמיים סכום שלוש הפאות: 2⋅(12+8+6)=2⋅26=52\displaystyle 2 \cdot (12 + 8 + 6) = 2 \cdot 26 = 52 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 4·גאומטריהקשה
גליל ישר שגובהו 88 ורדיוס בסיסו 33. נמלה מטפסת מנקודה בשפת הבסיס התחתון אל הנקודה שמעליה ישירות בשפת הבסיס העליון, אך תחילה היא מקיפה בדיוק חצי מהיקף הבסיס לאורך המעטפת. מהו אורך מסלולה הקצר ביותר?
8 3
  1. א.10
  2. ב.√(64+9π²)התשובה הנכונה
  3. ג.8+3π
  4. ד.√73
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון גליל שגובהו ורדיוס בסיסו ידועים, ועליו מסלול המלפף חצי מהיקף הבסיס תוך עלייה לגובה, ומבקשים את אורכו הקצר ביותר. לכן זו בעיית גוף סיבוב המשולבת בפיתגורס. בתשובות ערכים מספריים, חלקם מכילים π\pi.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון גיאומטרי - הכלי המרכזי הוא פריסת מעטפת הגליל למלבן. לאחר הפריסה, המסלול הופך לקטע ישר שהוא יתר במשולש ישר-זווית: ניצב אחד הוא הגובה, והניצב השני הוא חצי היקף הבסיס שעליו לופפת הנמלה. נחשב את הניצבים ונציב בפיתגורס.

פתרון גיאומטרי:

נפרוס את מעטפת הגליל למלבן. הניצב האנכי הוא הגובה, 88. הניצב האופקי הוא חצי מהיקף הבסיס. היקף הבסיס הוא 2πr=2π⋅3=6π2 \pi r = 2 \pi \cdot 3 = 6\pi, וחציו: 6π2=3π\displaystyle \frac{6\pi}{2} = 3\pi נשרטט את המעטפת הפרוסה ואת המסלול כיתר:
8 3π ?
המסלול הוא היתר במשולש ישר-זווית שניצביו 88 ו-3π3\pi. לפי משפט פיתגורס: 82+(3π)2=64+9π2\displaystyle \sqrt{8^2 + (3\pi)^2} = \sqrt{64 + 9\pi^2} זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 5·גאומטריהקשה מאוד
בסרטוט שלפניכם קובייה שאורך מקצועה 22 ס"מ. שלוש הנקודות AA, BB ו-CC הן קודקודים של הקובייה, וכל אחת משלוש צלעות המשולש ABCABC היא אלכסון של פאה של הקובייה. מה שטח המשולש ABCABC (בסמ"ר)?
A B C 2 2 2
  1. א.√3
  2. ב.2
  3. ג.2√3התשובה הנכונה
  4. ד.4
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונה קובייה ונתון שכל אחת משלוש צלעות המשולש ABCABC היא אלכסון של פאה, ומבוקש שטח המשולש - לכן זו בעיית משולש-במרחב בקובייה (משולבת עם פיתגורס). בתשובות מופיע 3\sqrt3 (רמז לנוסחת שטח משולש שווה-צלעות).

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון גיאומטרי - נחשב את אלכסון-הפאה (פיתגורס על שני מקצועות), נזהה שהמשולש שווה-צלעות (שלוש הצלעות אלכסוני-פאה שווים), ונציב את אורך הצלע בנוסחת שטח משולש שווה-צלעות.

פתרון גיאומטרי:

שלב 1 - אורך הצלע (אלכסון-פאה). כל צלע של המשולש היא אלכסון של פאה מרובעת שמקצועה 22. אלכסון-הפאה הוא היתר של משולש ישר-זווית ששני ניצביו מקצועות הקובייה, 22 ו-22: 22+22=8=22\displaystyle \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} מכיוון ששלוש צלעות המשולש הן אלכסוני-פאה שווים, המשולש ABCABC שווה-צלעות שאורך צלעו 222\sqrt2. נסמן זאת בשרטוט:
A B C 2√2 2√2 2√2
שלב 2 - שטח המשולש שווה-הצלעות. שטח משולש שווה-צלעות שאורך צלעו ss הוא: S=34s2\displaystyle S = \dfrac{\sqrt3}{4} s^2 נציב s=22s = 2\sqrt2, ונשים לב ש-(22)2=4⋅2=8\left(2\sqrt2\right)^2 = 4 \cdot 2 = 8: S=34⋅8=23\displaystyle S = \dfrac{\sqrt3}{4} \cdot 8 = 2\sqrt3 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 6·גאומטריהקלה מאוד
בסרטוט שלפניכם תיבה שאורכי מקצועותיה 66, 55 ו-22 ס"מ. מה נפח התיבה (בסמ"ק)?
6 5 2
  1. א.13
  2. ב.30
  3. ג.60התשובה הנכונה
  4. ד.104
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

צורת-הבסיס היא מלבן, והגוף תיבה. מבוקש נפח, ונתונים שלושת ממדי התיבה, לכן זו בעיית תלת-מימד. בתשובות ערכים מספריים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון גיאומטרי - נפח התיבה הוא מכפלת שלושת ממדיה (אורך, רוחב וגובה); מציבים ומכפילים.

פתרון גיאומטרי:

נפח התיבה הוא מכפלת שלושת ממדיה: V=6⋅5⋅2\displaystyle V = 6 \cdot 5 \cdot 2 נחשב מדורג: 6⋅5=30\displaystyle 6 \cdot 5 = 30 30⋅2=60\displaystyle 30 \cdot 2 = 60 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 7·גאומטריהקלה
אורכי מקצועותיה של תיבה הם 77, 55 ו-33 ס"מ. מהו סכום אורכי כל מקצועות התיבה (בס"מ)?
  1. א.15
  2. ב.60התשובה הנכונה
  3. ג.105
  4. ד.120
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונה תיבה ושלושת ממדיה, ומבוקש סכום אורכי כל מקצועותיה - לכן זו בעיית תלת-מימד. בתשובות ערכים מספריים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון גיאומטרי - כל אחד משלושת הממדים מופיע בארבעה מקצועות, ולכן סכום כל המקצועות הוא ארבע פעמים סכום שלושת הממדים.

פתרון גיאומטרי:

נשרטט את התיבה, ונצבע בנפרד את המקצועות של כל אחד משלושת הממדים:
7 5 3
לתיבה שנים-עשר מקצועות, וכפי שנראה בצבעים, ארבעה מהם בכל ממד. לכן סכום כל המקצועות הוא ארבע פעמים סכום שלושת הממדים: 4⋅(7+5+3)\displaystyle 4 \cdot (7 + 5 + 3) נחשב תחילה את הסכום שבסוגריים: 7+5+3=15\displaystyle 7 + 5 + 3 = 15 ונכפול בארבע: 4⋅15=60\displaystyle 4 \cdot 15 = 60 זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 8·גאומטריהבינונית
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה שבסיסה טרפז שאורכי בסיסיו המקבילים 33 ס"מ ו-77 ס"מ וגובהו 44 ס"מ, ואורך המנסרה 55 ס"מ. מה נפח המנסרה (בסמ"ק)?
7 3 4 5
  1. א.60
  2. ב.80
  3. ג.100התשובה הנכונה
  4. ד.140
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונה מנסרה ישרה שבסיסה טרפז, נתונים ממדי הטרפז ואורך המנסרה, ומבוקש נפחה - לכן זו בעיית תלת-מימד. הצעד הראשון הוא לזהות את הצורה הדו-ממדית של הבסיס (טרפז) ולחשב את שטחו, ורק אז להכפיל באורך המנסרה. בתשובות ערכים מספריים.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון גיאומטרי - נחשב את שטח הטרפז שהוא הבסיס (חצי סכום הבסיסים המקבילים כפול הגובה), ונכפיל באורך המנסרה.

פתרון גיאומטרי:

נשרטט את המנסרה ונדגיש את בסיסה, הטרפז:
7 3 4 5
נפח מנסרה הוא שטח הבסיס כפול אורכה. הבסיס טרפז, ושטחו הוא מחצית סכום הבסיסים המקבילים כפול גובה הטרפז: Sbase=3+72⋅4\displaystyle S_{\text{base}} = \dfrac{3 + 7}{2} \cdot 4 נחשב: Sbase=102⋅4=5⋅4=20\displaystyle S_{\text{base}} = \dfrac{10}{2} \cdot 4 = 5 \cdot 4 = 20 נכפיל את שטח הבסיס באורך המנסרה (55): V=20⋅5=100\displaystyle V = 20 \cdot 5 = 100 זו התשובה, וניתן להקיף.

כל השאלות, התשובות וההסברים נכתבו ונבדקו על ידי צוות מומחים שחי ונושם פסיכומטרי ואמירנט. כל פריט עובר בקרת איכות לפני שהוא מתפרסם ומתעדכן באופן שוטף, כדי שהתרגול ישקף את רמת הקושי, הסגנון וההיגיון של המבחן האמיתי.

שיא

© 2026 · שיא. סימולטור פסיכומטרי ואמירנט