תרגול גופים במרחב לפסיכומטרי

שאלות מרחב נראות מאיימות ורובן פשוטות: נפח הוא שטח בסיס כפול גובה, כמעט תמיד. הקושי הוא לזהות מה הבסיס.

8 שאלות עם פתרון מלא

שאלות מתוך התרגול עצמו. נסה לפתור לבד, ורק אז פתח את הפתרון.

שאלה 1·גאומטריהקלה מאוד

בסרטוט שלפניכם תיבה שאורכי מקצועותיה

6

5

ו-

2

ס"מ. מה נפח התיבה (בסמ"ק)?

א.13
ב.30
ג.60התשובה הנכונה
ד.104

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

צורת-הבסיס היא מלבן, והגוף תיבה. מבוקש נפח, ונתונים שלושת ממדי התיבה, לכן זו בעיית תלת-מימד של נפח תיבה. בתשובות ערכים מספריים.

דרכי פתרון אפשריות

חישוב גאומטרי ישיר - נפח התיבה הוא מכפלת שלושת ממדיה (אורך, רוחב וגובה); מציבים ומכפילים.

פתרון אלגברי:

נפח התיבה הוא מכפלת שלושת ממדיה:

\displaystyle V = 6 \cdot 5 \cdot 2

נחשב מדורג:

\displaystyle 6 \cdot 5 = 30

\displaystyle 30 \cdot 2 = 60

זו התשובה, וניתן להקיף.

שאלה 2·גאומטריהקלה

בסרטוט שלפניכם תיבה שאורכי מקצועותיה

8

3

ו-

3

ס"מ. מה נפח התיבה (בסמ"ק)?

א.14
ב.24
ג.48
ד.72התשובה הנכונה

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

דרכי פתרון אפשריות

חישוב גאומטרי ישיר - נפח התיבה הוא מכפלת שלושת ממדיה; מציבים ומכפילים.

פתרון אלגברי:

נפח התיבה הוא מכפלת שלושת ממדיה:

\displaystyle V = 8 \cdot 3 \cdot 3

נחשב מדורג:

\displaystyle 8 \cdot 3 = 24

\displaystyle 24 \cdot 3 = 72

זו התשובה, וניתן להקיף.

שאלה 3·גאומטריהבינונית

נפחה של קובייה גדול פי

8

מנפחה של קובייה אחרת. פי כמה גדול אורך הצלע של הקובייה הראשונה מאורך צלע הקובייה השנייה?

א.פי 2התשובה הנכונה
ב.פי 4
ג.פי 8
ד.פי 512

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

הגוף קובייה, ונתון שהנפח גדול פי

8

; מבוקש פי כמה גדול אורך הצלע, בלי מספרים ממשיים, לכן זו בעיית תלת-מימד של קנה-מידה, בכיוון ההפוך (מנפח לצלע). בתשובות פקטורי-הגדלה.

דרכי פתרון אפשריות

פתרון אלגברי - הנפח תלוי בצלע בחזקה שלישית, ולכן פקטור-הצלע הוא השורש השלישי של פקטור-הנפח.
הצבת מספרים מהראש - בוחרים אורך-צלע נוח לקובייה השנייה, מציבים את הנפח הגדול פי $8$ , מחלצים ממנו את צלע הקובייה הראשונה ומשווים.

פתרון אלגברי:

הנפח הוא גודל תלת-ממדי התלוי בצלע בחזקה שלישית, ולכן פקטור-הנפח הוא פקטור-הצלע בחזקה שלישית. פקטור-הצלע הוא אפוא השורש השלישי של פקטור-הנפח:

\displaystyle \sqrt[3]{8} = 2

אורך הצלע גדול פי

2

. זו התשובה, וניתן להקיף.

הצבת מספרים:

נבחר קובייה שנייה שצלעה

1

, ולכן נפחה

1^3 = 1

. הקובייה הראשונה נפחה גדול פי

8

, כלומר

8

, ואורך צלעה הוא השורש השלישי של הנפח:

\displaystyle \sqrt[3]{8} = 2

אורך צלע הקובייה הראשונה (

2

) גדול פי

2

מאורך צלע הקובייה השנייה (

1

). אותה תשובה, וניתן להקיף.

שאלה 4·גאומטריהקשה

מהו אורך האלכסון הראשי (המחבר שני קדקודים מנוגדים דרך פנים הגוף) של התיבה שלפניכם, שמידותיה

8

9

ו-

12

א.15
ב.17התשובה הנכונה
ג.21
ד.29

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

מבקשים את אורך האלכסון הראשי של תיבה, הקטע המחבר שני קדקודים מנוגדים דרך פנים הגוף. זו שאלה משולבת של תלת-מימד ופיתגורס, שכן האלכסון הראשי בתיבה נמצא בפיתגורס דו-שלבי, תחילה אלכסון פאת הבסיס ואז האלכסון הראשי. בתשובות ערכים מספריים.

דרכי פתרון אפשריות

אלכסון מרחבי בתיבה נמצא בפיתגורס דו-שלבי. תחילה מחשבים את אלכסון פאת הבסיס כיתר במלבן הבסיס, ואז את האלכסון הראשי כיתר במשולש ישר-זווית שניצביו אלכסון-הבסיס וגובה התיבה.

פיתגורס דו-שלבי:

שלב א, אלכסון פאת הבסיס. הבסיס הוא מלבן שצלעותיו

8

ו-

12

, ואלכסונו

d

הוא היתר. נסמן אותו (באדום) על התיבה:

לפי פיתגורס:

\displaystyle d = \sqrt{8^2 + 12^2} = \sqrt{64 + 144} = \sqrt{208}

שלב ב, האלכסון הראשי. הוא היתר במשולש ישר-זווית שניצביו אלכסון-הבסיס

d=\sqrt{208}

וגובה התיבה

9

לפי פיתגורס, ומאחר ש-

(\sqrt{208})^2 = 208

\displaystyle \sqrt{(\sqrt{208})^2 + 9^2} = \sqrt{208 + 81} = \sqrt{289} = 17

זו התשובה, וניתן להקיף.

שאלה 5·גאומטריהקשה מאוד

בסרטוט חרוט ישר שקדקודו

V

. רדיוס בסיסו

3

ואורך המצלע (הקו מהקדקוד אל שפת הבסיס) הוא

5

. פורשים את מעטפת החרוט למישור, ומקבלים גזרה של מעגל. מהי מידת הזווית המרכזית של הגזרה המתקבלת?

א.108°
ב.120°
ג.180°
ד.216°התשובה הנכונה

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון חרוט שרדיוס בסיסו והמצלע שלו ידועים, ומעטפתו נפרשת למישור לגזרת-מעגל, ומבקשים את הזווית המרכזית של הגזרה. לכן זו בעיית תלת-מימד המשולבת במעגלים. המפתח הוא זיהוי שני גדלים שנשמרים בפרישה: המצלע הופך לרדיוס הגזרה, וההיקף של בסיס החרוט הופך לאורך הקשת של הגזרה.

בפרישה, המצלע

5

הופך לרדיוס הגזרה, ואורך הקשת של הגזרה שווה להיקף בסיס החרוט. היקף בסיס החרוט (מעגל שרדיוסו

3

\displaystyle 2\pi \cdot 3 = 6\pi

הגזרה היא חלק ממעגל שלם שרדיוסו

5

, שהיקפו:

\displaystyle 2\pi \cdot 5 = 10\pi

</svg>

הזווית המרכזית היא אותו חלק מ-

360°

שאורך הקשת (

6\pi

) מהווה מההיקף השלם (

10\pi

\displaystyle 360° \cdot \frac{6\pi}{10\pi} = 360° \cdot \frac{3}{5} = 216°

זו התשובה, וניתן להקיף.

דרכי פתרון אפשריות

זיהוי הגדלים הנשמרים ויחס-הזוויות - כשפורשים את המעטפת, המצלע (הקו מהקדקוד לשפת הבסיס) הופך לרדיוס הגזרה, שכן כל נקודה על שפת הבסיס מרוחקת מהקדקוד באורך המצלע. אורך הקשת של הגזרה שווה להיקף בסיס החרוט, שכן שפת הבסיס היא בדיוק הקצה המעוגל של המעטפת. הזווית המרכזית היא אותו חלק מ- $360°$ שאורך הקשת מהווה מהיקף המעגל השלם שרדיוסו המצלע.

הסבר

זיהוי הגדלים הנשמרים ויחס-הזוויות - כשפורשים את המעטפת, המצלע (הקו מהקדקוד לשפת הבסיס) הופך לרדיוס הגזרה, שכן כל נקודה על שפת הבסיס מרוחקת מהקדקוד באורך המצלע. אורך הקשת של הגזרה שווה להיקף בסיס החרוט, שכן שפת הבסיס היא בדיוק הקצה המעוגל של המעטפת. הזווית המרכזית היא אותו חלק מ-

360°

שאורך הקשת מהווה מהיקף המעגל השלם שרדיוסו המצלע.

שאלה 6·גאומטריהקלה

בסרטוט שלפניכם תיבה שאורכי מקצועותיה

7

4

ו-

3

ס"מ. מה נפח התיבה (בסמ"ק)?

א.14
ב.28
ג.84התשובה הנכונה
ד.122

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

דרכי פתרון אפשריות

חישוב גאומטרי ישיר - נפח התיבה הוא מכפלת שלושת ממדיה; מציבים ומכפילים.

פתרון אלגברי:

נפח התיבה הוא מכפלת שלושת ממדיה:

\displaystyle V = 7 \cdot 4 \cdot 3

נחשב מדורג:

\displaystyle 7 \cdot 4 = 28

\displaystyle 28 \cdot 3 = 84

זו התשובה, וניתן להקיף.

שאלה 7·גאומטריהבינונית

אורך הצלע של קובייה גדל פי

4

. פי כמה גדל נפח הקובייה?

א.פי 64התשובה הנכונה
ב.פי 4
ג.פי 12
ד.פי 16

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

הגוף קובייה, ונתון שהצלע גדלה פי

4

; מבוקש פי כמה גדל הנפח, בלי מספרים ממשיים, לכן זו בעיית תלת-מימד של קנה-מידה. בתשובות פקטורי-הגדלה.

דרכי פתרון אפשריות

הצבת מספרים מהראש - מכיוון שאין מספרים ממשיים ומבקשים יחס בלבד, בוחרים אורך-צלע נוח, מכפילים אותו פי $4$ , מחשבים את שני הנפחים ומוצאים את היחס. זו הדרך הפסיכומטרית המתאימה.
פתרון אלגברי - הנפח תלוי בצלע בחזקה שלישית, ולכן פקטור-הגדלת הנפח הוא פקטור-הגדלת הצלע בחזקה שלישית.

הצבת מספרים:

נבחר קובייה שצלעה

1

. נפחה הוא הצלע בחזקה שלישית:

\displaystyle 1^3 = 1

הקובייה החדשה - צלעה גדלה פי

4

, כלומר

4

. נפחה:

\displaystyle 4^3 = 64

היחס בין הנפחים:

\displaystyle \dfrac{64}{1} = 64

הנפח גדל פי

64

. זו התשובה, וניתן להקיף.

פתרון אלגברי:

הנפח הוא גודל תלת-ממדי התלוי בצלע בחזקה שלישית. לכן כשהצלע גדלה פי

4

, הנפח גדל פי:

\displaystyle 4^3 = 64

לא פי

4

כמו הצלע (חד-ממדי), ולא פי

16 = 4^2

כמו שטח הפנים (דו-ממדי). אותה תשובה, וניתן להקיף.

שאלה 8·גאומטריהקשה

בסרטוט שלפניך תיבה שאורכי מקצועותיה

4

2

ו-

4

(במטרים), והקו העבה הוא האלכסון הראשי שלה (המחבר שני קדקודים נגדיים). מהו אורך האלכסון הראשי?

א.4√2
ב.6התשובה הנכונה
ג.8
ד.10

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

מבקשים את האלכסון הראשי של תיבה, הקטע החוצה את פנים הגוף בין שני קדקודים נגדיים. אלכסון מרחבי בתיבה מצביע על שימוש במשפט פיתגורס, בשני שלבים.

דרכי פתרון אפשריות

פיתגורס דו-שלבי - תחילה מוצאים את אלכסון פאת-הבסיס במשולש ישר-זווית שניצביו שתי מידות הבסיס, ואז את האלכסון הראשי כיתר במשולש ישר-זווית שניצביו אלכסון-הבסיס והגובה. מידות התיבה $4, 2, 4$ אינן שלשה פיתגורית מוכרת, ולכן נדרש חישוב מלא ולא זיהוי-שלשה.

פיתגורס דו-שלבי:

שלב א - אלכסון פאת-הבסיס, במלבן שמידותיו

4

ו-

2

. נסמן אותו (באדום) על התיבה:

לפי פיתגורס אורך אלכסון-הבסיס:

\displaystyle \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}

שלב ב - האלכסון הראשי הוא היתר במשולש ישר-זווית שניצביו אלכסון-הבסיס (

\sqrt{20}

) והגובה (

4

לפי פיתגורס:

\displaystyle \sqrt{(\sqrt{20})^2 + 4^2} = \sqrt{20 + 16} = \sqrt{36} = 6

זו התשובה, וניתן להקיף.

כל השאלות, התשובות וההסברים נכתבו ונבדקו על ידי צוות מומחים שחי ונושם פסיכומטרי. כל פריט עובר בקרת איכות לפני שהוא מתפרסם ומתעדכן באופן שוטף, כדי שהתרגול ישקף את רמת הקושי, הסגנון וההיגיון של המבחן האמיתי.