שיא
התחבר לחשבון

תרגול שאלות משולשים לפסיכומטרי

משולשים הם הצורה הנפוצה ביותר בגאומטריה של הפסיכומטרי. רוב השאלות נשענות על שני דברים: סכום הזוויות הוא 180, ומשולש שווה שוקיים גורר זוויות בסיס שוות.

8 שאלות עם פתרון מלא

שאלות מתוך התרגול עצמו. נסה לפתור לבד, ורק אז פתח את הפתרון.

שאלה 1·גאומטריהקלה מאוד
במשולש ישר-זווית אורכי הניצבים הם 66 ס"מ ו-88 ס"מ. מה אורך היתר (בס"מ)?
  1. א.10התשובה הנכונה
  2. ב.12
  3. ג.14
  4. ד.48
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים אורכי שני הניצבים במשולש ישר-זווית, ומבקשים את אורך היתר. לכן זו בעיית פיתגורס. בתשובות ארבעה מספרים שלמים, שלושה קרובים זה לזה ואחד גדול בהרבה.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון גיאומטרי - מציבים את שני הניצבים במשפט פיתגורס ומחלצים את היתר. המספרים 66 ו-88 הם שלשה פיתגורית מוכרת, ולכן אפשר גם לקצר ולזהות את היתר ישירות, בלי לחשב שורש.

פתרון גיאומטרי:

נשרטט את המשולש, נסמן את שני הניצבים הנתונים ואת היתר המבוקש (באדום):
8 6 ?
נסמן ב-cc את היתר, ונציב במשפט פיתגורס: 62+82=c2\displaystyle 6^2 + 8^2 = c^2 36+64=c2\displaystyle 36 + 64 = c^2 c2=100\displaystyle c^2 = 100 לכן c=10c = 10, וניתן להקיף.
שאלה 2·גאומטריהקלה
במשולש שווה-שוקיים גודלה של זווית הראש הוא 40°40°. מה גודלה של כל אחת מזוויות הבסיס?
  1. א.40°
  2. ב.70°התשובה הנכונה
  3. ג.100°
  4. ד.140°
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון משולש שווה-שוקיים ונתונה בו זווית אחת, ומבקשים זווית אחרת. לכן זו בעיית משולשים. בתשובות ערכים מספריים במעלות, והם מרווחים זה מזה.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון גיאומטרי: סכום הזוויות במשולש הוא 180°180°, ובמשולש שווה-שוקיים שתי זוויות הבסיס שוות זו לזו. שני הכללים האלה יחד מספיקים כדי לחלץ את המבוקש בשלב אחד, ולכן זו הדרך היחידה שנדרשת כאן.

פתרון גיאומטרי:

סכום שלוש הזוויות במשולש הוא 180°180°, ולכן שתי זוויות הבסיס יחד משלימות את זווית הראש:
180 − 40 = 140
במשולש שווה-שוקיים שתי זוויות הבסיס שוות, ולכן כל אחת מהן היא מחצית מכך:
140 ÷ 2 = 70
נסמן את שלוש הזוויות על השרטוט:
40° 70° 70°
זו התשובה, וניתן להקיף. הערה למי שבחר 140°140°: זהו סכום שתי זוויות הבסיס יחד ולא כל אחת מהן. השאלה מבקשת את גודלה של אחת מהן.
שאלה 3·גאומטריהבינונית
בסרטוט שלפניכם משולש ישר-זווית שניצביו 55 ס"מ ו-99 ס"מ. מהו, בקירוב, אורך היתר (בס"מ)?
9 5 ?
  1. א.7
  2. ב.9
  3. ג.10התשובה הנכונה
  4. ד.14
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

מבקשים את אורך היתר בקירוב ולא במדויק - רמז שאפשר לאמוד את היתר ולפסול תשובות לפי גבולות סדר הגודל שלו, בלי לחשב את השורש.

דרכי פתרון אפשריות

  • מצבי קיצון - נבחן את שני המצבים המנוונים שבין קצותיהם היתר חייב ליפול: הוא הצלע הארוכה ביותר ולכן גדול מכל ניצב, ומאי-שוויון המשולש הוא קטן מסכום הניצבים. שני הגבולות לבדם פוסלים שלוש תשובות, והמילה "בקירוב" יחד עם התשובות המרוחקות מאותתות שדי בכך.
  • אומדן - כשרוצים לוודא, אין צורך בערך המדויק של היתר: די לכלוא אותו בין שתי חזקות שלמות סמוכות ולבחור את התשובה הקרובה.

מצבי קיצון:

נחסום את היתר בין שני המצבים המנוונים, בלי לחשב אותו במדויק:
  • היתר ניצב מול הזווית הישרה, והוא הצלע הארוכה ביותר במשולש ישר-זווית. לכן היתר גדול מהניצב הארוך, 99.
  • לפי אי-שוויון המשולש, כל צלע קטנה מסכום שתי האחרות. לכן היתר קטן מ-5+9=145 + 9 = 14.
מכאן היתר נמצא בין 99 ל-1414. נבדוק את התשובות מול התחום:
  • תשובה (1), 77: קטנה מ-99 - נפסלת (היתר חייב להיות גדול מכל ניצב).
  • תשובה (2), 99: שווה לניצב הארוך - נפסלת (היתר גדול ממש מכל ניצב).
  • תשובה (4), 1414: שווה לסכום הניצבים - נפסלת (היתר קטן ממש מהסכום).
נשארת תשובה (3), 1010, היחידה שבתחום, וניתן להקיף.

אומדן:

נסמן את היתר cc ונציב את הניצבים במשפט פיתגורס: c2=52+92=25+81=106\displaystyle c^2 = 5^2 + 9^2 = 25 + 81 = 106 מכאן c=106c = \sqrt{106}. אין צורך לחלץ את השורש: מאחר ש-102=10010^2 = 100 ו-112=12111^2 = 121, היתר כלוא בין 1010 ל-1111 וקרוב הרבה יותר ל-1010 - מאשר את התשובה.
שאלה 4·גאומטריהקשה
בסרטוט שלפניכם מתומן משוכלל ABCDEFGHABCDEFGH, ובו מסומן האלכסון ACAC. לפי נתונים אלה, מה גודל הזווית בין האלכסון ACAC לצלע AHAH (הזווית המסומנת ב-?)?
? A B C D E F G H
  1. א.22.5°
  2. ב.45°
  3. ג.90°
  4. ד.112.5°התשובה הנכונה
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון מתומן משוכלל ובו האלכסון ACAC, ומבקשים את הזווית בין האלכסון ACAC לצלע AHAH בקודקוד AA. לכן זו בעיית מצולעים המשולבת במשולשים. בתשובות ערכי-זווית במעלות.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון גיאומטרי - בנוי משלושה שלבים. תחילה נחשב את הזווית הפנימית של המתומן המשוכלל. אחר-כך נבחין שהמשולש ABCABC שווה-שוקיים (שתי צלעות המתומן ABAB ו-BCBC שוות), נחשב את זווית-הראש שלו בקודקוד BB (היא הזווית הפנימית של המתומן), ומזוויות-הבסיס נמצא את הזווית BACBAC. לבסוף נחסר את BACBAC מהזווית הפנימית המלאה HABHAB בקודקוד AA, ונקבל את הזווית המבוקשת CAHCAH. הצבת-תשובות אינה עוזרת כאן, שכן אין נעלם בגוף השאלה אלא שרשרת גזירה.

פתרון גיאומטרי:

הזווית הפנימית של מתומן משוכלל (n=8n = 8): (8−2)⋅180°8=1080°8=135°\displaystyle \dfrac{(8-2) \cdot 180°}{8} = \dfrac{1080°}{8} = 135° לכן כל זווית פנימית של המתומן, ובכללן הזווית HABHAB בקודקוד AA והזווית ABCABC בקודקוד BB, שווה ל-135°135°. נתבונן במשולש ABCABC: צלעותיו ABAB ו-BCBC הן שתי צלעות של המתומן המשוכלל, ולכן הן שוות זו לזו, והמשולש שווה-שוקיים עם זווית-ראש ABC=135°ABC = 135°. שתי זוויות-הבסיס BACBAC ו-BCABCA שוות, וסכום הזוויות במשולש 180°180°:
135° 22.5° 22.5° A B C
BAC=180°−135°2=45°2=22.5°\displaystyle BAC = \dfrac{180° - 135°}{2} = \dfrac{45°}{2} = 22.5° בקודקוד AA, הזווית הפנימית המלאה HAB=135°HAB = 135° מתחלקת על-ידי האלכסון ACAC לשני חלקים: הזווית BAC=22.5°BAC = 22.5° (בין הצלע ABAB לאלכסון), והזווית המבוקשת CAHCAH (בין האלכסון לצלע AHAH):
22.5° ? A B C D E F G H
נחסר את BACBAC מהזווית הפנימית המלאה: CAH=135°−22.5°=112.5°\displaystyle CAH = 135° - 22.5° = 112.5° זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 5·גאומטריהקשה מאוד
בסרטוט שלפניכם מחומש-כוכב (פנטגרם) הנוצר על-ידי חמישה קטעים ישרים, כאשר חמשת קודקודי-החוד שלו אינם בהכרח סימטריים. לפי נתונים אלה, מהו סכום חמש זוויות-החוד של הכוכב (חמש הזוויות המסומנות ב-?)?
? ? ? ? ?
  1. א.180°התשובה הנכונה
  2. ב.360°
  3. ג.540°
  4. ד.900°
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון מחומש-כוכב (פנטגרם) שקודקודי-החוד שלו אינם בהכרח סימטריים, ומבקשים את סכום חמש זוויות-החוד. לכן זו בעיית מצולעים המשולבת במשולשים. בתשובות ארבעה ערכי-זווית קבועים במעלות, מרווחים זה מזה, בלי נעלם ובלי טווח.

דרכי פתרון אפשריות

  • מצבי קיצון - צורת הכוכב אינה קבועה (הקודקודים אינם בהכרח סימטריים), ואילו ארבע התשובות הן ערכים קבועים, בלי נעלם ובלי טווח. מכאן שקיים ערך אחד שנכון לכל כוכב אפשרי, ולכן מותר לבחור את המקרה הנוח ביותר, כוכב סימטרי, ולחשב רק בו. זו הדרך המהירה, והיא מנצלת את מבנה התשובות.
  • פתרון גיאומטרי - נחשב את הסכום לכוכב כללי, בעזרת סכום הזוויות במשולש וסכום הזוויות החיצוניות של מצולע. הדרך ארוכה יותר, אך אינה נשענת על מבנה התשובות. נדגים את שתיהן.

מצבי קיצון:

נבחר את המקרה הנוח: פנטגרם משוכלל, שחמשת חודיו יושבים על מעגל ומחלקים אותו לחמש קשתות שוות. נסמן את החודים AA עד EE. שני הקטעים היוצאים מהחוד AA מגיעים אל CC ואל DD, ולכן זווית-החוד ב-AA היא ∠CAD\angle CAD:
A B C D E ?
קודקוד הזווית ∠CAD\angle CAD נמצא על המעגל, ולכן זו זווית היקפית. הקשת שעליה היא נשענת היא הקשת CDCD, זו שאינה מכילה את AA, והיא אחת מחמש הקשתות השוות: 360°5=72°\displaystyle \dfrac{360°}{5} = 72° זווית היקפית שווה למחצית הקשת שעליה היא נשענת: ∠CAD=72°2=36°\displaystyle \angle CAD = \dfrac{72°}{2} = 36°
A B C D E 72° 36°
בפנטגרם משוכלל חמשת החודים זהים, ולכן סכומם: 5⋅36°=180°\displaystyle 5 \cdot 36° = 180° זו התשובה.

פתרון גיאומטרי:

חמשת הקטעים נחתכים זה בזה ויוצרים בתוך הכוכב מחומש (באדום), וכל חוד הוא קודקוד-הראש של משולש שבסיסו צלע של אותו מחומש. נסמן את זוויות-החוד ב-a,b,c,d,ea, b, c, d, e, ונתבונן במשולש המוצלל, שזווית-הראש שלו היא aa ובסיסו הצלע PQPQ:
a b c d e p q P Q
בקודקוד PP הקטע העולה אל החוד הוא ההמשך של הצלע השנייה של המחומש, שכן שניהם שוכבים על אותו קטע-כוכב. לכן זווית-הבסיס pp (בירוק) צמודה לזווית הפנימית של המחומש ב-PP (בכחול), כלומר pp היא הזווית החיצונית של המחומש ב-PP. באותו אופן qq היא הזווית החיצונית ב-QQ. סכום הזוויות במשולש הוא 180°180°, ולכן זווית-החוד היא: a=180°−p−q\displaystyle a = 180° - p - q אותו דבר נכון לכל אחד מחמשת המשולשים. נחבר את חמש המשוואות: סכום זוויות-החוד שווה ל-5⋅180°=900°5 \cdot 180° = 900° פחות סכום עשר זוויות-הבסיס. כל קודקוד של המחומש הוא קודקוד-בסיס של שני משולשים (זה שמימינו וזה שמשמאלו), ובשניהם זווית-הבסיס שם היא אותה זווית חיצונית. לכן כל זווית חיצונית נספרת פעמיים, וסכום הזוויות החיצוניות של מצולע קמור הוא 360°360°: 2⋅360°=720°\displaystyle 2 \cdot 360° = 720° נציב ונקבל: a+b+c+d+e=900°−720°=180°\displaystyle a + b + c + d + e = 900° - 720° = 180° שתי הדרכים נותנות 180°180°, ללא תלות בצורת הכוכב. זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 6·גאומטריהקלה מאוד
בסרטוט שלפניכם משולש ABCABC שבו AB=6AB = 6 ס"מ ו-BC=11BC = 11 ס"מ. אורך הצלע ACAC אינו נתון. מבין הערכים הבאים, איזה מהם יכול להיות אורך הצלע ACAC (בס"מ)?
6 11 ? A B C
  1. א.4
  2. ב.5
  3. ג.12התשובה הנכונה
  4. ד.17
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים אורכי שתי צלעות במשולש, ומבקשים איזה ערך יכול להיות אורך הצלע השלישית. השאלה על טווח האורכים האפשריים לצלע, ולכן זו בעיית אי-שוויון המשולש. התשובות ארבעה מספרים בודדים, שאותם אפשר לבחון אחד-אחד מול התנאי.

דרכי פתרון אפשריות

  • הצבת תשובות - התשובות הן מספרים בודדים, ולכן נבחן כל אחד מהם מול אי-שוויון המשולש ונפסול את החורגים מהטווח.
  • פתרון גיאומטרי - נקבע תחילה את הטווח החוקי לצלע השלישית מתוך אי-שוויון המשולש, ונבדוק איזו תשובה נופלת בתוכו. שתי הדרכים מובילות לאותו מקום; נדגים את שתיהן.

פתרון גיאומטרי:

אי-שוויון המשולש קובע שכל צלע גדולה מהפרש שתי האחרות וקטנה מסכומן. עבור הצלע ACAC: 11−6<AC<11+6\displaystyle 11 - 6 < AC < 11 + 6 5<AC<17\displaystyle 5 < AC < 17 נסמן את הטווח שהתקבל על הצלע ACAC בשרטוט:
6 11 5 < AC < 17 A B C
הצלע חייבת להיות גדולה ממש מ-55 וקטנה ממש מ-1717. מבין ארבע התשובות, רק 1212 נמצא בטווח זה. זו התשובה, וניתן להקיף.

הצבת תשובות:

נבחן כל מועמד מול התנאי (הצלע חייבת להיות גדולה מ-55 וקטנה מ-1717): תשובה (1), 44: קטנה מ-55 (וגם 6+4=10<116 + 4 = 10 < 11), אינה מקיימת את אי-השוויון. תשובה (2), 55: שווה לגבול התחתון, ואי-השוויון חמור (AC>5AC > 5), לכן אינה מקיימת. תשובה (3), 1212: גדולה מ-55 וקטנה מ-1717, מקיימת. תשובה (4), 1717: שווה לגבול העליון, ואי-השוויון חמור (AC<17AC < 17), לכן אינה מקיימת. נותרה תשובה (3). זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 7·גאומטריהקלה
בסרטוט שלפניכם משולש שווה-צלעות ABCABC, והצלע BCBC מוארכת אל מעבר ל-CC עד לנקודה DD. מה גודל הזווית החיצונית xx (הזווית ACDACD)?
x A B C D
  1. א.60°
  2. ב.90°
  3. ג.120°התשובה הנכונה
  4. ד.150°
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון משולש שווה-צלעות שאחת מצלעותיו מוארכת, ומבקשים את הזווית החיצונית שנוצרת ליד הקודקוד CC. במשולש שווה-צלעות כל הזוויות הפנימיות 60°60°, ומבקשים זווית חיצונית צמודה לאחת מהן - לכן זו בעיית זווית חיצונית במשולש שווה-צלעות. התשובות הן זוויות בודדות במעלות.

דרכי פתרון אפשריות

  • פתרון גיאומטרי - הזווית החיצונית xx צמודה לזווית הפנימית ACBACB ומשלימה אותה ל-180°180° (זוויות צמודות על ישר). לחלופין, לפי משפט הזווית החיצונית, xx שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות הלא-סמוכות לה. בשני המקרים משתמשים בכך שכל זווית פנימית במשולש שווה-צלעות היא 60°60°.

פתרון גיאומטרי:

במשולש שווה-צלעות כל שלוש הזוויות הפנימיות שוות ל-60°60°, ובפרט הזווית ACB=60°ACB = 60°. הזווית החיצונית xx צמודה לה ומשלימה אותה ל-180°180°: x=180°−60°=120°\displaystyle x = 180° - 60° = 120°
60° 120° A B C D
זו התשובה, וניתן להקיף. (אפשר להגיע לאותה תוצאה גם דרך משפט הזווית החיצונית: xx שווה לסכום שתי הפנימיות הלא-סמוכות, ∠A+∠B=60°+60°=120°\angle A + \angle B = 60° + 60° = 120°.)
שאלה 8·גאומטריהבינונית
במשולש, אורך הגובה לבסיס גדול פי 22 מאורך הבסיס. נסמן את אורך הבסיס ב-aa. מה שטח המשולש (במונחי aa)?
  1. א.a
  2. ב.a²2
  3. ג.2a
  4. ד.a²התשובה הנכונה
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

מבקשים את שטח המשולש, והנעלם aa מופיע בתשובות בווריאציות שונות - עם חזקה (a2a^2) או חלקי 22. מבנה תשובות כזה הוא רמז חזק להצבת מספרים מהראש.

דרכי פתרון אפשריות

  • הצבת מספרים מהראש - הנעלם aa מופיע גם בתשובות, ולכן נבחר ערך נוח לבסיס, נחשב את השטח, ונמצא איזו תשובה נותנת אותו ערך. זוהי הדרך הפסיכומטרית המובהקת לשאלת גאומטריה שתשובותיה ביטויים.
  • פתרון אלגברי - מציבים את הבסיס ואת הגובה בנוסחת שטח המשולש כביטויים ב-aa, ומפשטים עד לביטוי שמופיע באחת התשובות.

הצבת מספרים מהראש:

נשרטט תחילה משולש שעונה על תנאי השאלה - בסיס aa וגובה הגדול ממנו פי 22 (כלומר 2a2a):
a 2a
הנעלם aa מופיע בתשובות, ולכן נציב בו ערך נוח. נימנע ממספרים בנאליים כמו 11 או 22: ב-a=1a=1 הביטויים aa ו-a2a^2 שווים שניהם ל-11, וב-a=2a=2 הביטויים 2a2a ו-a2a^2 שווים שניהם ל-44 - הצבות כאלה משאירות יותר מתשובה אחת ואינן מכריעות. המספר 33 הוא הקטן ביותר שנוח לחישוב וגם נותן ערך שונה לכל ארבע התשובות. נציב a=3a = 3: הבסיס 33, הגובה 66, ושטח המשולש (בסיס כפול גובה חלקי 22): 3⋅62=182=9\displaystyle \frac{3 \cdot 6}{2} = \frac{18}{2} = 9 כעת נציב a=3a = 3 בכל תשובה ונפסול את אלה שאינן נותנות 99: תשובה (1): a=3a = 3 - נפסלת. תשובה (2): a22=92=4.5\dfrac{a^2}{2} = \dfrac{9}{2} = 4.5 - נפסלת. תשובה (3): 2a=62a = 6 - נפסלת. תשובה (4): a2=9a^2 = 9 - מתאים. שלוש התשובות נפסלו ונותרה תשובה (4). זו התשובה, וניתן להקיף.

פתרון אלגברי:

הבסיס הוא aa, והגובה גדול פי 22, כלומר 2a2a. שטח המשולש הוא בסיס כפול גובה חלקי 22: S=a⋅2a2=2a22=a2\displaystyle S = \frac{a \cdot 2a}{2} = \frac{2a^2}{2} = a^2 אותה תשובה.

כל השאלות, התשובות וההסברים נכתבו ונבדקו על ידי צוות מומחים שחי ונושם פסיכומטרי ואמירנט. כל פריט עובר בקרת איכות לפני שהוא מתפרסם ומתעדכן באופן שוטף, כדי שהתרגול ישקף את רמת הקושי, הסגנון וההיגיון של המבחן האמיתי.

שיא

© 2026 · שיא. סימולטור פסיכומטרי ואמירנט