שיא
כניסה

תרגול שאלות משולשים לפסיכומטרי

משולשים הם הצורה הנפוצה ביותר בגאומטריה של הפסיכומטרי. רוב השאלות נשענות על שני דברים: סכום הזוויות הוא 180, ומשולש שווה שוקיים גורר זוויות בסיס שוות.

8 שאלות עם פתרון מלא

שאלות מתוך התרגול עצמו. נסה לפתור לבד, ורק אז פתח את הפתרון.

שאלה 1·גאומטריהקלה מאוד
במשולש שווה-השוקיים שלפניכם (AB=ACAB = AC) זווית הראש AA היא 40°40° (כמסומן בסרטוט). מהי הזווית xx (זווית הבסיס BB)?
40° x A B C
  1. א.40°
  2. ב.50°
  3. ג.70°התשובה הנכונה
  4. ד.140°
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון משולש שווה-שוקיים (AB=ACAB = AC) שזווית הראש שלו ידועה, ומבקשים את זווית הבסיס. הרמז: שו"ש ← שתי זוויות הבסיס שוות זו לזו.

דרכי פתרון אפשריות

  • הדרך הישירה לשו"ש: סכום הזוויות במשולש הוא 180°180°, ושתי זוויות הבסיס שוות; מחסרים את זווית הראש ומחלקים את השארית לשתיים.

פתרון אלגברי:

סכום הזוויות במשולש הוא 180°180°, וזווית הראש AA היא 40°40°, ולכן שתי זוויות הבסיס יחד הן: 180°−40°=140°\displaystyle 180° - 40° = 140° במשולש שווה-שוקיים שתי זוויות הבסיס שוות, ולכן כל אחת מהן היא מחצית מ-140°140°: x=140°2=70°\displaystyle x = \frac{140°}{2} = 70° נסמן את זוויות הבסיס בשרטוט:
40° 70° 70° A B C
זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 2·גאומטריהקלה
בסרטוט שלפניכם משולש שווה-צלעות ABCABC, והצלע BCBC מוארכת אל מעבר ל-CC עד לנקודה DD. מה גודל הזווית החיצונית xx (הזווית ACDACD)?
x A B C D
  1. א.60°
  2. ב.90°
  3. ג.120°התשובה הנכונה
  4. ד.150°
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון משולש שווה-צלעות שאחת מצלעותיו מוארכת, ומבקשים את הזווית החיצונית שנוצרת ליד הקודקוד CC. במשולש שווה-צלעות כל הזוויות הפנימיות 60°60°, ומבקשים זווית חיצונית צמודה לאחת מהן - לכן זו בעיית זווית חיצונית במשולש שווה-צלעות. התשובות הן זוויות בודדות במעלות.

דרכי פתרון אפשריות

  • חישוב גאומטרי ישיר - הזווית החיצונית xx צמודה לזווית הפנימית ACBACB ומשלימה אותה ל-180°180° (זוויות צמודות על ישר). לחלופין, לפי משפט הזווית החיצונית, xx שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות הלא-סמוכות לה. בשני המקרים משתמשים בכך שכל זווית פנימית במשולש שווה-צלעות היא 60°60°.

פתרון אלגברי:

במשולש שווה-צלעות כל שלוש הזוויות הפנימיות שוות ל-60°60°, ובפרט הזווית ACB=60°ACB = 60°. הזווית החיצונית xx צמודה לה ומשלימה אותה ל-180°180°: x=180°−60°=120°\displaystyle x = 180° - 60° = 120° זו התשובה, וניתן להקיף. (אפשר להגיע לאותה תוצאה גם דרך משפט הזווית החיצונית: xx שווה לסכום שתי הפנימיות הלא-סמוכות, ∠A+∠B=60°+60°=120°\angle A + \angle B = 60° + 60° = 120°.)
שאלה 3·גאומטריהבינונית
במעגל שמרכזו OO, המיתר ABAB שווה באורכו לרדיוס המעגל. הנקודה CC נמצאת על הקשת הגדולה ABAB. מהי הזווית ההיקפית ACBACB (הנשענת על המיתר ABAB)?
  1. א.15°
  2. ב.30°התשובה הנכונה
  3. ג.45°
  4. ד.60°
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

מיתר השווה באורכו לרדיוס יוצר עם שני הרדיוסים אל קצותיו משולש שווה-צלעות, ולכן הזווית המרכזית הנשענת עליו היא 60°60°; מכאן מגיעים לזווית ההיקפית הנשענת על אותו מיתר, שהיא מחצית המרכזית.

דרכי פתרון אפשריות

  • תכונות זוויות במעגל בשני שלבים - תחילה מזהים דרך המשולש שווה-הצלעות את הזווית המרכזית AOBAOB, ואז מיישמים את הקשר בין הזווית המרכזית להיקפית הנשענות על אותה קשת (ההיקפית = מחצית המרכזית).

תכונות זוויות במעגל:

נחבר את המרכז OO לשתי הקצוות AA ו-BB ברדיוסים. מכיוון ש-OA=OB=ROA = OB = R (רדיוסים) והמיתר AB=RAB = R (נתון), שלוש הצלעות שוות והמשולש AOBAOB שווה-צלעות, ולכן כל זוויותיו 60°60°. בפרט הזווית המרכזית AOB=60°AOB = 60°. נסמן את הגדלים בשרטוט (הזווית המרכזית בירוק, ההיקפית באדום):
60° 30° A B C O
הזווית ההיקפית ACBACB והזווית המרכזית AOBAOB נשענות על אותו מיתר ABAB (מאותו צד), והזווית ההיקפית שווה למחצית המרכזית: ∠ACB=60°2=30°\displaystyle \angle ACB = \dfrac{60°}{2} = 30° זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 4·גאומטריהקשה
בסרטוט שלפניכם מתומן משוכלל ABCDEFGH, ובו מסומן האלכסון AC. לפי נתונים אלה, מה גודל הזווית בין האלכסון AC לצלע AH (הזווית המסומנת ב-?)?
? A B C D E F G H
  1. א.22.5°
  2. ב.45°
  3. ג.90°
  4. ד.112.5°התשובה הנכונה
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון מתומן משוכלל ובו האלכסון ACAC, ומבקשים את הזווית בין האלכסון ACAC לצלע AHAH בקודקוד AA. האלכסון ACAC יוצר יחד עם הצלעות ABAB ו-BCBC משולש שווה-שוקיים, שהוא המפתח לפתרון. לכן זו בעיית מצולעים המשולבת במשולשים, סביב נוסחת הזווית הפנימית של משוכלל וזוויות-הבסיס בשווה-שוקיים. בתשובות ערכי-זווית במעלות.

דרכי פתרון אפשריות

  • הדרך המתאימה היא אלגברית ובנויה משלושה שלבים. תחילה נחשב את הזווית הפנימית של המתומן המשוכלל. אחר-כך נבחין שהמשולש ABCABC שווה-שוקיים (שתי צלעות המתומן ABAB ו-BCBC שוות), נחשב את זווית-הראש שלו בקודקוד BB (היא הזווית הפנימית של המתומן), ומזוויות-הבסיס נמצא את הזווית BACBAC. לבסוף נחסר את BACBAC מהזווית הפנימית המלאה HABHAB בקודקוד AA, ונקבל את הזווית המבוקשת CAHCAH. הצבת-תשובות אינה עוזרת כאן, שכן אין נעלם בגוף השאלה אלא שרשרת גזירה.

פירוט שיטתי:

הזווית הפנימית של מתומן משוכלל (n=8n = 8): (8−2)⋅180°8=1080°8=135°\displaystyle \dfrac{(8-2) \cdot 180°}{8} = \dfrac{1080°}{8} = 135° לכן כל זווית פנימית של המתומן, ובכללן הזווית HABHAB בקודקוד AA והזווית ABCABC בקודקוד BB, שווה ל-135°135°. נתבונן במשולש ABCABC: צלעותיו ABAB ו-BCBC הן שתי צלעות של המתומן המשוכלל, ולכן הן שוות זו לזו, והמשולש שווה-שוקיים עם זווית-ראש ABC=135°ABC = 135°. שתי זוויות-הבסיס BACBAC ו-BCABCA שוות, וסכום הזוויות במשולש 180°180°:
135° 22.5° 22.5° A B C
BAC=180°−135°2=45°2=22.5°\displaystyle BAC = \dfrac{180° - 135°}{2} = \dfrac{45°}{2} = 22.5° בקודקוד AA, הזווית הפנימית המלאה HAB=135°HAB = 135° מתחלקת על-ידי האלכסון ACAC לשני חלקים: הזווית BAC=22.5°BAC = 22.5° (בין הצלע ABAB לאלכסון), והזווית המבוקשת CAHCAH (בין האלכסון לצלע AHAH):
22.5° ? A B C D E F G H
נחסר את BACBAC מהזווית הפנימית המלאה: CAH=135°−22.5°=112.5°\displaystyle CAH = 135° - 22.5° = 112.5° זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 5·גאומטריהקשה מאוד
בסרטוט שלפניכם מחומש-כוכב (פנטגרם) הנוצר על-ידי חמישה קטעים ישרים, כאשר חמשת קודקודי-החוד שלו אינם בהכרח סימטריים. לפי נתונים אלה, מהו סכום חמש זוויות-החוד של הכוכב (חמש הזוויות המסומנות ב-?)?
? ? ? ? ?
  1. א.180°התשובה הנכונה
  2. ב.360°
  3. ג.540°
  4. ד.900°
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון מחומש-כוכב (פנטגרם) שקודקודיו אינם בהכרח סימטריים, ומבקשים את סכום חמש זוויות-החוד. חמש זוויות-החוד הן זוויות של חמישה משולשים הנוצרים סביב המחומש הפנימי שבמרכז הכוכב. לכן זו בעיית מצולעים המשולבת במשולשים, סביב משפט הזווית החיצונית וסכום הזוויות. בתשובות ערכי-זווית במעלות, מרווחים זה מזה, ואחד מהם (180°180°) הוא ערך קבוע פשוט.

דרכי פתרון אפשריות

  • ההדגשה בשאלה שהכוכב אינו סימטרי היא רמז מכריע: התשובה חייבת להיות קבועה, זהה לכל צורת-כוכב. לכן שתי דרכים ישימות. מצבי-קיצון: נבחר את המקרה הנוח ביותר, כוכב סימטרי (פנטגרם משוכלל), נחשב בו את הסכום, וכיוון שהשאלה מבטיחה שהסכום אינו תלוי בצורה, ערך זה הוא התשובה לכל כוכב. ופתרון עקרוני: נוכיח דרך משפט הזווית החיצונית שהסכום קבוע 180°180° תמיד. נדגים את שתיהן.

מצבי-קיצון:

נבחר את המקרה הנוח: פנטגרם משוכלל (סימטרי). בפנטגרם משוכלל כל זוויות-החוד שוות. כל זווית-חוד היא זווית היקפית הנשענת על קשת של 360°5=72°\dfrac{360°}{5} = 72°, וגודלה חצי מכך, 36°36°. סכום חמש זוויות-החוד: 5⋅36°=180°\displaystyle 5 \cdot 36° = 180° מכיוון שהשאלה קובעת שהסכום אינו תלוי בצורת הכוכב, ערך זה, 180°180°, הוא הסכום לכל פנטגרם. זו התשובה.

פתרון עקרוני:

נסמן את חמש זוויות-החוד ב-a,b,c,d,ea, b, c, d, e:
a b c d e
נשתמש בטיול סביב הכוכב לאורך חמשת הקטעים. בכל חוד, כדי לעבור מהצלע הנכנסת לצלע היוצאת, הכיוון "מסתובב" בזווית ההשלמה של זווית-החוד ל-180°180°, כלומר בזווית 180°−a180° - a בחוד הראשון, וכן הלאה. הליכה מלאה סביב פנטגרם חוזרת לכיוון ההתחלה אחרי שני סיבובים שלמים (זהו כוכב שבו מדלגים על קודקוד בכל צעד), כלומר סך-כל הסיבוב הוא 2⋅360°=720°2 \cdot 360° = 720°: (180°−a)+(180°−b)+(180°−c)+(180°−d)+(180°−e)=720°\displaystyle (180° - a) + (180° - b) + (180° - c) + (180° - d) + (180° - e) = 720° נפתח את חמשת הביטויים: 5⋅180°−(a+b+c+d+e)=720°\displaystyle 5 \cdot 180° - (a + b + c + d + e) = 720° 900°−(a+b+c+d+e)=720°\displaystyle 900° - (a + b + c + d + e) = 720° נבודד את סכום זוויות-החוד: a+b+c+d+e=900°−720°=180°\displaystyle a + b + c + d + e = 900° - 720° = 180° שני המסלולים מובילים לאותה תוצאה, 180°180°, ללא תלות בצורת הכוכב. זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 6·גאומטריהקלה מאוד
במשולש שתיים מזוויותיו הן 40°40° ו-75°75°. מהי הזווית השלישית במשולש?
  1. א.55°
  2. ב.65°התשובה הנכונה
  3. ג.75°
  4. ד.115°
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונות שתיים משלוש זוויות משולש, ומבקשים את הזווית השלישית. שלוש זוויות של משולש הן הרמז לתכונת סכום-הזוויות במשולש. בתשובות מעלות.

דרכי פתרון אפשריות

  • חיסור מסכום-הזוויות - סכום שלוש זוויות המשולש הוא 180°180°; מחברים את שתי הזוויות הנתונות ומחסרים מ-180°180° כדי לקבל את השלישית.

חיסור מסכום-הזוויות:

סכום שלוש הזוויות במשולש הוא 180°180°. נחבר את שתי הזוויות הנתונות: 40°+75°=115°\displaystyle 40° + 75° = 115° נחסר מ-180°180° כדי לקבל את הזווית השלישית: 180°−115°=65°\displaystyle 180° - 115° = 65° זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 7·גאומטריהקלה
בסרטוט שלפניכם משולש ABCABC שבו ∠ABC=60°\angle ABC = 60°. הקטע ADAD הוא חוצה-הזווית של הזווית AA, והוא פוגש את הצלע BCBC בנקודה DD. שני חלקיה של הזווית AA שווים, וכל אחד מהם 40°40°. מה גודל הזווית ADCADC?
40° 40° 60° ? A B C D
  1. א.80°
  2. ב.100°התשובה הנכונה
  3. ג.120°
  4. ד.140°
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים משולש שבו זווית אחת (∠B\angle B), וקטע ADAD שהוא חוצה-הזווית של הזווית AA (כל אחד מחלקיה נתון). מבקשים את הזווית ADCADC. הקטע ADAD מחלק את המשולש לשני משולשים, והזווית ADCADC היא זווית חיצונית של המשולש ABDABD - לכן זו בעיית שרשרת-זוויות עם משפט הזווית החיצונית. התשובות הן זוויות בודדות במעלות.

דרכי פתרון אפשריות

  • חישוב גאומטרי ישיר - הזווית ADCADC היא זווית חיצונית של המשולש ABDABD (הקודקוד DD על הישר BCBC). לפי משפט הזווית החיצונית היא שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות הלא-סמוכות במשולש ABDABD, כלומר ∠ABD+∠BAD\angle ABD + \angle BAD. לחלופין, אפשר למצוא תחילה את הזווית ADBADB מסכום הזוויות במשולש ABDABD, ואז את הצמודה לה ADCADC.

פתרון אלגברי:

נתבונן במשולש ABDABD. הזווית ADCADC צמודה לזווית ADBADB על הישר BCBC, ולכן היא זווית חיצונית של המשולש ABDABD בקודקוד DD. משפט הזווית החיצונית קובע שהיא שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות הלא-סמוכות לה: ∠ADC=∠ABD+∠BAD\displaystyle \angle ADC = \angle ABD + \angle BAD הזווית ∠ABD\angle ABD היא בדיוק הזווית הנתונה ∠ABC=60°\angle ABC = 60°, והזווית ∠BAD\angle BAD היא מחצית הזווית AA (חוצה-הזווית), כלומר 40°40°. נציב: ∠ADC=60°+40°=100°\displaystyle \angle ADC = 60° + 40° = 100° זו התשובה, וניתן להקיף.
שאלה 8·גאומטריהבינונית
בסרטוט, ABAB מקביל ל-CDCD. הנקודה EE נמצאת ביניהם, וקטע-השבר AA-EE-CC מחבר ביניהן. נתון שהזווית שבין EAEA ל-ABAB (בקדקוד AA) היא 40°40°, והזווית שבין ECEC ל-CDCD (בקדקוד CC) היא 30°30°. מהי הזווית AECAEC (בקדקוד EE)?
A B D C E 40° 30°
  1. א.50°
  2. ב.60°
  3. ג.70°התשובה הנכונה
  4. ד.110°
▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים שני ישרים מקבילים וקטע-שבר החוצה אותם ב-EE, עם זווית בכל קצה. ישרים מקבילים → זוויות מתחלפות, וקטע-השבר מרמז על העברת ישר-עזר דרך EE המקביל לשני הישרים.

דרכי פתרון אפשריות

  • בניית-עזר וזוויות מתחלפות - מעבירים דרך EE ישר המקביל ל-ABAB ול-CDCD, המחלק את הזווית המבוקשת לשתי זוויות. כל אחת מהן מתחלפת עם אחת הזוויות הנתונות (בין ישר-העזר לישר המקביל לו), וסכומן הוא הזווית המבוקשת.

בניית-עזר וזוויות מתחלפות:

נעביר דרך EE ישר-עזר המקביל ל-ABAB ול-CDCD (מקווקו, ירוק בשרטוט), המחלק את הזווית AECAEC לשתי זוויות:
A B C D E 40° 30° 40° 30°
הזווית העליונה שנוצרה ב-EE (בין EAEA לישר-העזר) מתחלפת עם הזווית ב-AA (בין AEAE ל-ABAB), ולכן היא 40°40°. הזווית התחתונה שנוצרה ב-EE (בין ישר-העזר ל-ECEC) מתחלפת עם הזווית ב-CC (בין CECE ל-CDCD), ולכן היא 30°30°. הזווית המבוקשת היא סכום שתיהן: 40°+30°=70°\displaystyle 40° + 30° = 70° זו התשובה, וניתן להקיף.

כל השאלות, התשובות וההסברים נכתבו ונבדקו על ידי צוות מומחים שחי ונושם פסיכומטרי. כל פריט עובר בקרת איכות לפני שהוא מתפרסם ומתעדכן באופן שוטף, כדי שהתרגול ישקף את רמת הקושי, הסגנון וההיגיון של המבחן האמיתי.