תרגול בעיות הספק לפסיכומטרי

בבעיות הספק הטריק הוא לעבוד עם קצב לשעה ולא עם זמן. מי שמסיים ב-6 שעות עושה שישית מהעבודה בשעה, וקצבים אפשר לחבר - זמנים לא.

8 שאלות עם פתרון מלא

שאלות מתוך התרגול עצמו. נסה לפתור לבד, ורק אז פתח את הפתרון.

שאלה 1·בעיות מילוליותקלה מאוד

חמש מכונות תפירה הפועלות בקצב זהה וקבוע תופרות יחד ארבעים חולצות בשעתיים. בכמה חולצות יתפרו שמונה מכונות כאלה בשלוש שעות, אם כולן פועלות באותו קצב?

א.48
ב.60
ג.64
ד.96התשובה הנכונה

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונה לנו כמות עבודה שמבצעים כמה גורמים בעלי קצב זהה בזמן נתון, ושואלים על כמות העבודה שיבצעו גורמים בכמות אחרת בזמן אחר. לכן זו בעיית הספק. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

טבלת הספק-זמן-עבודה - הדרך המתאימה לבעיית הספק: מסרטטים תחילה את הטבלה (שורה למכונה בודדת ושורה לשמונה המכונות), מוצאים את הספק המכונה הבודדת ומשם את העבודה שמבצעות שמונה מכונות בזמן המבוקש.
יחס ישר - מכיוון שהמכונות בעלות קצב זהה, מספר המכונות והעבודה ביחס ישר, וכן הזמן והעבודה ביחס ישר; מתאימים את הגורמים פעם אחר פעם.

טבלת הספק-זמן-עבודה:

נסרטט תחילה את הטבלה, עם שורה לנתון (

5

מכונות בשעתיים), שורה למכונה אחת בשעה, ושורה לשמונה המכונות בשלוש שעות, ונמלא אותה צעד-צעד:

	הספק (חולצות לשעה)	זמן (שעות)	עבודה (חולצות)
5 מכונות	20	2	40
מכונה אחת	4	1	4
8 מכונות	32	3	96

עמודת ההספק: הנתון הוא ש-

5

מכונות תופרות

40

חולצות בשעתיים, ולכן הספק חמש המכונות יחד הוא

\dfrac{40}{2} = 20

חולצות לשעה, והספק מכונה אחת קטן פי

5

\dfrac{20}{5} = 4

חולצות לשעה. הספק שמונה מכונות גדול פי

8

8 \cdot 4 = 32

חולצות לשעה. עמודת העבודה (המבוקש): לפי נוסחת ההספק (הספק × זמן = עבודה), העבודה של שמונה המכונות בשלוש שעות היא:

\displaystyle 32 \cdot 3 = 96

זו התשובה, וניתן להקיף.

יחס ישר:

נתון ש-

5

מכונות תופרות

40

חולצות בשעתיים. נעבור לשמונה מכונות: מספר המכונות והעבודה לאותו זמן הם ביחס ישר, ולכן בשעתיים שמונה מכונות תופרות:

\displaystyle 40 \cdot \frac{8}{5} = 64

כעת הזמן והעבודה ביחס ישר: אם בשעתיים נתפרות

64

חולצות, אז בשלוש שעות (פי

\frac{3}{2}

) נתפרות פי

\frac{3}{2}

חולצות:

\displaystyle 64 \cdot \frac{3}{2} = 96

אותה תשובה.

שאלה 2·בעיות מילוליותקלה

שתים עשרה מכונות הפועלות בקצב זהה וקבוע מייצרות מנת סחורה בשש שעות. בכמה שעות ייצרו שמונה מכונות כאלה מנת סחורה כזו, אם כולן פועלות באותו קצב?

א.4
ב.6
ג.8
ד.9התשובה הנכונה

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון לנו הזמן שבו כמות מכונות בעלות קצב זהה מייצרות מנת סחורה, ושואלים על הזמן הדרוש לכמות מכונות אחרת לייצר מנה כזו. לכן זו בעיית הספק. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

טבלת הספק-זמן-עבודה (בשעות-מכונה) - הדרך המתאימה לבעיית הספק: מסרטטים תחילה את הטבלה, מודדים את העבודה ביחידות "שעות-מכונה" (מספר מכונות × שעות), ומחלקים במספר המכונות החדש כדי לקבל את הזמן.
יחס הפוך - מכיוון שהמכונות בעלות קצב זהה, מספר המכונות והזמן ביחס הפוך (פחות מכונות - יותר זמן לאותה עבודה); כופלים את מספר השעות ביחס ההפוך של המכונות.

טבלת הספק-זמן-עבודה (בשעות-מכונה):

נסרטט תחילה את הטבלה, עם שורה לנתון ושורה למבוקש. נמדוד את העבודה ביחידות "שעות-מכונה" (מספר מכונות × שעות):

	מספר מכונות	זמן (שעות)	עבודה (שעות-מכונה)
המנה (נתון)	12	6	72
המנה (מבוקש)	8	9	72

עמודת העבודה: שתים עשרה מכונות מייצרות מנה בשש שעות, כלומר העבודה היא

12 \cdot 6 = 72

שעות-מכונה, וזו אותה עבודה גם עבור שמונה המכונות. עמודת הזמן (המבוקש): הזמן הוא העבודה חלקי מספר המכונות. עבור שמונה מכונות:

\displaystyle \frac{72}{8} = 9

זו התשובה, וניתן להקיף.

יחס הפוך:

מספר המכונות והזמן ביחס הפוך. עברנו משתים עשרה מכונות לשמונה מכונות, כלומר פי

\dfrac{8}{12}

מכונות, ולכן הזמן גדל פי

\dfrac{12}{8}

\displaystyle 6 \cdot \frac{12}{8} = 9

אותה תשובה.

שאלה 3·בעיות מילוליותבינונית

3

מכונות מסוג א' ממלאות מכל מים ב-

8

שעות.

4

מכונות מסוג ב' ממלאות את אותו מכל ב-

9

שעות. כל המכונות מאותו סוג עובדות בקצב זהה. פי כמה גדול קצב-המילוי של מכונה בודדת מסוג א' מקצב-המילוי של מכונה בודדת מסוג ב'?

א.23
ב.89
ג.98
ד.32התשובה הנכונה

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים שני צוותי מכונות הממלאים את אותו מכל בזמנים שונים ובמספרים שונים, ומבקשים את יחס קצב-המילוי של מכונה בודדת מכל סוג. גופים העובדים בקצב קבוע מסמנים בעיית הספק. בתשובות ערכים מספריים (שברים).

דרכי פתרון אפשריות

הכלי הקנוני הוא טבלת הספק-זמן-עבודה: העבודה השלמה היא מכל אחד ( $1$ ); מחשבים את קצב כל צוות (עבודה חלקי זמן), מחלקים במספר המכונות כדי לקבל קצב מכונה בודדת, וגוזרים את היחס המבוקש.

טבלת הספק-זמן-עבודה:

נציב את הנתונים בטבלה, כשהעבודה השלמה היא מכל אחד:

צוות	עבודה	זמן	קצב הצוות
$3$ מכונות א׳	$1$	$8$ שעות	$\dfrac{1}{8}$
$4$ מכונות ב׳	$1$	$9$ שעות	$\dfrac{1}{9}$

קצב מכונה בודדת הוא קצב הצוות חלקי מספר המכונות בו. מכונת א׳ בודדת:

\displaystyle \frac{1}{8} \div 3 = \frac{1}{24}

מכונת ב׳ בודדת:

\displaystyle \frac{1}{9} \div 4 = \frac{1}{36}

היחס המבוקש הוא קצב א׳ בודדת חלקי קצב ב׳ בודדת:

\displaystyle \frac{1/24}{1/36} = \frac{36}{24} = \frac{3}{2}

כלומר קצב מכונת א׳ גדול פי

\dfrac{3}{2}

מקצב מכונת ב׳. זו התשובה, וניתן להקיף.

שאלה 4·בעיות מילוליותקשה

צינור ממלא בריכה ריקה בשמונה שעות. הצינור נפתח כשהבריכה ריקה, וכעבור ארבע שעות נפתח גם פתח ניקוז שבתחתית הבריכה, המרוקן בריכה מלאה בעשרים וארבע שעות. מאותו רגע פועלים השניים יחד עד שהבריכה מתמלאת. בכמה שעות סך הכול תתמלא הבריכה?

א.8
ב.10התשובה הנכונה
ג.12
ד.24

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים לנו זמן מילוי הצינור, זמן ריקון פתח הניקוז, ומשך ההשהיה עד שנפתח הניקוז; שואלים על הזמן הכולל עד שהבריכה מתמלאת. לכן זו בעיית הספק דו-שלבית עם גורם מרוקן (הספק שלילי). בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

טבלת הספק-זמן-עבודה - הדרך המתאימה לבעיית הספק: מסרטטים תחילה את הטבלה עם שורה לכל שלב, גוזרים כמה מולא בשלב הראשון (הצינור לבדו), את החלק שנותר, ואת הזמן שדורש השלב השני בהספק הנטו (מילוי פחות ריקון). את זמן השלב השני אי-אפשר לחשב עד שגוזרים כמה מולא לפני שנפתח הניקוז.

טבלת הספק-זמן-עבודה:

נסרטט תחילה את הטבלה, עם שורה לצינור לבדו, שורה לפתח הניקוז, ושורות לשני השלבים. נציב עבודה

1

(בריכה שלמה) ואת הזמנים הנתונים; לפתח הניקוז ההספק שלילי:

	הספק (בריכה לשעה)	זמן (שעות)	עבודה (בריכות)
צינור ממלא	¹⁄₈	8	1
פתח ניקוז	−¹⁄₂₄	24	1
שלב ראשון (צינור לבד)	¹⁄₈	4	¹⁄₂
שלב שני (נטו)	¹⁄₁₂	6	¹⁄₂

שלב ראשון (הצינור לבדו): בארבע השעות הראשונות פועל רק הצינור, בקצב

\dfrac{1}{8}

בריכה לשעה, ולכן מולא:

\displaystyle \frac{1}{8} \cdot 4 = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}

ולכן נותר למלא

1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}

מהבריכה. שלב שני (הספק נטו): מרגע פתיחת הניקוז ההספק הוא מילוי פחות ריקון:

\displaystyle \frac{1}{8} - \frac{1}{24} = \frac{3}{24} - \frac{1}{24} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}

הזמן למילוי החצי הנותר הוא העבודה חלקי ההספק הנטו:

\displaystyle \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{12}} = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6

הזמן הכולל (המבוקש): סכום שני השלבים:

\displaystyle 4 + 6 = 10

זו התשובה, וניתן להקיף.

שאלה 5·בעיות מילוליות · אלגברהקשה מאוד

שני פועלים העובדים בקצבים קבועים משלימים משימה יחד בשש שעות. ידוע שהפועל הראשון, אילו עבד לבדו, היה זקוק לחמש שעות יותר מהפועל השני העובד לבדו. בכמה שעות משלים הפועל השני לבדו את המשימה?

א.5
ב.6
ג.10התשובה הנכונה
ד.15

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים לנו הזמן המשותף שבו שני פועלים משלימים יחד את המשימה, וההפרש בין זמניהם לבדם; שואלים על זמן הפועל השני לבדו. לכן זו בעיית הספק משותף שהמעבר בה לזמן הבודד עובר דרך משוואה. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

הצבת תשובות - התשובות מספרים שלמים קטנים המייצגים את זמן הפועל השני; מציבים כל אחת (זמן שני $=$ הערך, זמן ראשון $=$ הערך $+5$ ), בודקים אם ההספק המשותף יוצא מילוי בשש שעות, ובוחרים את זו שמקיימת. זו הדרך הקצרה כאן.
פתרון אלגברי - מסמנים ב- $x$ את זמן הפועל השני, כותבים את משוואת ההספק המשותף, ופותרים את המשוואה הריבועית המתקבלת.

הצבת תשובות:

זמן הפועל השני הוא הנעלם, וזמן הראשון גדול ב-

5

ממנו. נציב כל תשובה ונבדוק אם ההספק המשותף מסתכם ב-

\dfrac{1}{6}

(מילוי בשש שעות):

זמן שני	זמן ראשון	הספק משותף	האם ¹⁄₆?
5	10	³⁄₁₀	לא
6	11	> ¹⁄₆	לא
10	15	¹⁄₆	כן
15	20	< ¹⁄₆	לא

נבחן את תשובה (3), זמן שני

=10

שעות וזמן ראשון

=15

שעות. ההספק המשותף הוא סכום ההספקים:

\displaystyle \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}

כלומר יחד ממלאים בשש שעות, בדיוק כנתון. זו התשובה, וניתן להקיף.

פתרון אלגברי:

נסמן ב-

x

את זמן הפועל השני לבדו (שעות), ולכן זמן הפועל הראשון הוא

x+5

. ההספק המשותף הוא סכום ההספקים, והוא שווה למילוי בשש שעות:

\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{1}{6}

נכפול את שני האגפים ב-

6x(x+5)

כדי לפטור מהמכנים:

\displaystyle 6(x+5) + 6x = x(x+5)

\displaystyle 6x + 30 + 6x = x^2 + 5x

\displaystyle x^2 - 7x - 30 = 0

נפרק לגורמים (מחפשים שני מספרים שמכפלתם

-30

וסכומם

-7

, והם

-10

ו-

3

\displaystyle (x - 10)(x + 3) = 0

הפתרון החיובי הוא

x = 10

(הפתרון

x=-3

נפסל שכן זמן אינו שלילי). זמן הפועל השני לבדו הוא

10

שעות. אותה תשובה.

שאלה 6·בעיות מילוליותקלה

פועל אחד מרצף רחבה בעשרים שעות, ופועל אחר מרצף את אותה רחבה בשלושים שעות. בכמה שעות ירצפו שני הפועלים יחד את הרחבה, אם כל אחד עובד בקצבו הקבוע?

א.12התשובה הנכונה
ב.20
ג.25
ד.50

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון לנו הזמן שבו כל אחד משני פועלים מרצף לבדו את הרחבה, ושואלים על הזמן הדרוש לשניהם לרצף אותה יחד. לכן זו בעיית הספק משותף. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

טבלת הספק-זמן-עבודה - הדרך המתאימה לבעיית הספק משותף: מסרטטים תחילה את הטבלה, מציבים לכל פועל עבודה $1$ (רחבה שלמה) ואת זמנו, מחשבים את הספקו (עבודה חלקי זמן), מחברים את ההספקים להספק משותף, ומבודדים ממנו את הזמן המשותף.

טבלת הספק-זמן-עבודה:

נסרטט תחילה את הטבלה, עם שורה לכל פועל ושורה להספק המשותף. נציב לכל פועל עבודה

1

(רחבה שלמה) ואת הזמן הנתון:

	הספק (רחבה לשעה)	זמן (שעות)	עבודה (רחבות)
פועל ראשון	¹⁄₂₀	20	1
פועל שני	¹⁄₃₀	30	1
שניהם יחד	¹⁄₁₂	12	1

עמודת ההספק: הספק כל פועל הוא העבודה חלקי הזמן - הראשון

\dfrac{1}{20}

רחבה לשעה, השני

\dfrac{1}{30}

רחבה לשעה. ההספק המשותף הוא סכום ההספקים:

\displaystyle \frac{1}{20} + \frac{1}{30} = \frac{3}{60} + \frac{2}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}

עמודת הזמן (המבוקש): העבודה המבוקשת היא רחבה שלמה (

1

), והזמן המשותף הוא העבודה חלקי ההספק המשותף:

\displaystyle \frac{1}{\frac{1}{12}} = 12

זו התשובה, וניתן להקיף.

שאלה 7·בעיות מילוליותבינונית

ברז אחד ממלא בריכה ריקה במשך

6

שעות. ברז ניקוז מרוקן בריכה מלאה במשך

9

שעות. הבריכה ריקה, ושני הברזים נפתחים בו-זמנית. בתוך כמה שעות תתמלא הבריכה?

א.12
ב.15
ג.15.6
ד.18התשובה הנכונה

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים שני ברזים הפועלים בו-זמנית, אחד ממלא ואחד מרוקן, ומבקשים את הזמן לסיום המילוי. לכן זו בעיית הספק. בתשובות מספרים.

דרכי פתרון אפשריות

טבלת הספק - מסדרים לכל ברז את זמנו ואת ההספק שלו (חלק הבריכה בשעה). ברז הניקוז פועל בכיוון ההפוך, ולכן הספקו שלילי, וההספק המשותף הוא סכום ההספקים (המילוי פחות הריקון). מהספק זה גוזרים את הזמן. זו המלכודת המרכזית: אין לחבר או למצע את הזמנים ( $6$ ו- $9$ ), אלא לעבוד דרך ההספקים.
פתרון אלגברי - מסמנים את הזמן בנעלם ומשווים את העבודה שהצטברה ל- $1$ ; אך העבודה דרך הטבלה ישירה יותר.

טבלת הספק:

נבחר את נפח הבריכה כיחידת עבודה שלמה,

1

. נסדר בטבלה את זמן כל ברז ואת הספקו (חלק הבריכה בשעה); לברז הניקוז הספק שלילי, שכן הוא מפחית מים:

ברז	זמן (שעות)	הספק (חלק בריכה בשעה)
מילוי	6	$+\dfrac{1}{6}$
ניקוז	9	$-\dfrac{1}{9}$

ההספק המשותף הוא סכום ההספקים:

\displaystyle \frac{1}{6} - \frac{1}{9} = \frac{3}{18} - \frac{2}{18} = \frac{1}{18}

כלומר בכל שעה מתמלא

\dfrac{1}{18}

מהבריכה. הזמן למילוי בריכה שלמה:

\displaystyle \frac{1}{\frac{1}{18}} = 18

זו התשובה, וניתן להקיף.

שאלה 8·בעיות מילוליותקשה

פועל אחד מרצף שביל בשמונה שעות, ופועל אחר מרצף אותו שביל בעשרים וארבע שעות. השניים החלו לעבוד יחד, ולאחר שלוש שעות עזב הפועל המהיר, והשני המשיך לבדו עד שהשביל הושלם. בכמה שעות סך הכול הושלם ריצוף השביל?

א.6
ב.7
ג.12
ד.15התשובה הנכונה

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים לנו זמן הריצוף של כל אחד משני פועלים לבדו, משך הזמן שעבדו יחד עד שהמהיר עזב, והמשך של האיטי לבדו; שואלים על הזמן הכולל. לכן זו בעיית הספק משותף דו-שלבית. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

טבלת הספק-זמן-עבודה - הדרך המתאימה לבעיית הספק משותף: מסרטטים תחילה את הטבלה, מחשבים את החלק שרוצף בשלב המשותף (הספק משותף כפול שלוש שעות), את החלק שנותר, ואת הזמן שהפועל האיטי לבדו דורש לחלק שנותר. את הזמן הנותר אי-אפשר לחשב עד שגוזרים כמה נותר אחרי השלב המשותף, ושהוא נעשה בקצב הפועל שנשאר בלבד.

טבלת הספק-זמן-עבודה:

נסרטט תחילה את הטבלה, עם שורה לכל פועל ושורות לשני השלבים. נציב עבודה

1

(שביל שלם) ואת הזמנים הנתונים:

	הספק (שביל לשעה)	זמן (שעות)	עבודה (שבילים)
פועל מהיר	¹⁄₈	8	1
פועל איטי	¹⁄₂₄	24	1
שלב ראשון (יחד)	¹⁄₆	3	¹⁄₂
שלב שני (איטי לבד)	¹⁄₂₄	12	¹⁄₂

עמודת ההספק: הפועל המהיר מרצף

\dfrac{1}{8}

שביל לשעה, והאיטי

\dfrac{1}{24}

שביל לשעה. ההספק המשותף הוא סכום ההספקים:

\displaystyle \frac{1}{8} + \frac{1}{24} = \frac{3}{24} + \frac{1}{24} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}

שלב ראשון (יחד): בשלוש השעות המשותפות רוצף:

\displaystyle \frac{1}{6} \cdot 3 = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

ולכן נותר לריצוף

1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}

מהשביל. שלב שני (האיטי לבדו): את החצי הנותר מרצף הפועל האיטי לבדו, בקצבו

\dfrac{1}{24}

שביל לשעה. הזמן הוא העבודה חלקי ההספק:

\displaystyle \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{24}} = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12

הזמן הכולל (המבוקש): סכום שני השלבים:

\displaystyle 3 + 12 = 15

זו התשובה, וניתן להקיף.

כל השאלות, התשובות וההסברים נכתבו ונבדקו על ידי צוות מומחים שחי ונושם פסיכומטרי. כל פריט עובר בקרת איכות לפני שהוא מתפרסם ומתעדכן באופן שוטף, כדי שהתרגול ישקף את רמת הקושי, הסגנון וההיגיון של המבחן האמיתי.