תרגול בעיות הספק לפסיכומטרי

בבעיות הספק הטריק הוא לעבוד עם קצב לשעה ולא עם זמן. מי שמסיים ב-6 שעות עושה שישית מהעבודה בשעה, וקצבים אפשר לחבר - זמנים לא.

8 שאלות עם פתרון מלא

שאלות מתוך התרגול עצמו. נסה לפתור לבד, ורק אז פתח את הפתרון.

שאלה 1·בעיות מילוליותקלה מאוד

עשרה סבלים העובדים בקצב זהה וקבוע פורקים משאית בשעתיים. בכמה שעות יפרקו ארבעה סבלים כאלה משאית כזו, אם כולם עובדים באותו קצב?

א.5התשובה הנכונה
ב.8
ג.12
ד.20

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון לנו הזמן שבו מספר גורמים בעלי קצב זהה מבצעים עבודה, ושואלים על הזמן הדרוש למספר קטן יותר של גורמים כאלה לבצע עבודה זהה. לכן זו בעיית הספק. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

טבלת הספק-זמן-עבודה - מסרטטים תחילה את הטבלה (שורה לסבל בודד ושורה לקבוצה החדשה), מוצאים את הספק הסבל הבודד, את הספק הקבוצה החדשה, ומשם את הזמן המבוקש.
יחס ישר / יחס הפוך - מתאימה כאן מכיוון שבשני התרחישים מדובר באותה עבודה בדיוק, וכל ההבדל ביניהם הוא במספר הסבלים; במצב כזה אפשר לעבור מהנתון למבוקש בפקטור יחיד, בלי לחשב הספקים. הצומת שמכריע בדרך הזו הוא קביעת אופי הקשר בין שני הגדלים המשתנים: ישר או הפוך.

טבלת הספק-זמן-עבודה:

נסרטט תחילה את הטבלה, עם שורה לנתון (

10

סבלים), שורה לסבל אחד, ושורה ל-

4

הסבלים, ונמלא אותה צעד-צעד. נבחר את העבודה כפריקת משאית אחת שלמה, ונסמנה

1

	הספק (משאיות לשעה)	זמן (שעות)	עבודה (משאיות)
10 סבלים	¹⁄₂	2	1
סבל אחד	¹⁄₂₀	20	1
4 סבלים	⁴⁄₂₀ = ¹⁄₅	5	1

עמודת ההספק: הנתון הוא ש-

10

סבלים פורקים משאית (

1

) בשעתיים, ולכן הספקם המשותף הוא

\dfrac{1}{2}

משאית לשעה. הספק סבל בודד קטן פי

10

\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{20}

. הספק

4

סבלים גדול פי

4

4 \cdot \dfrac{1}{20} = \dfrac{1}{5}

. עמודת הזמן (המבוקש): לפי נוסחת ההספק, הזמן הוא העבודה חלקי ההספק. עבור

4

הסבלים:

\displaystyle \dfrac{1}{\dfrac{1}{5}} = 5

זו התשובה, וניתן להקיף.

יחס ישר / יחס הפוך:

שני הגדלים שמשתנים בשאלה הם מספר הסבלים וזמן הפריקה, ולפני כל חישוב עלינו להכריע מהו אופי הקשר ביניהם. יש שתי אפשרויות:

יחס ישר: גודל אחד גדל פי פקטור ← גם השני גדל פי אותו פקטור (המנה שלהם קבועה) יחס הפוך: גודל אחד גדל פי פקטור ← השני קטן פי אותו פקטור (המכפלה שלהם קבועה)

קביעת אופי הקשר: כל הסבלים עובדים בקצב זהה וקבוע, ולכן כל סבל פורק בכל שעה אותו חלק מהמשאית. סך העבודה הוא בדיוק מכפלת שני הגדלים:

מספר הסבלים × מספר השעות = סך העבודה בשעות-סבל

בשני התרחישים נפרקת משאית שלמה אחת, ולכן סך העבודה הוא גודל קבוע. מכיוון שמכפלת שני הגדלים היא הקבועה, ולא המנה שלהם, מספר הסבלים וזמן הפריקה נמצאים ביחס הפוך ולא ביחס ישר. גם ההיגיון מאשר זאת: פחות סבלים אינם יכולים לקצר את הפריקה אלא רק להאריך אותה. זיהוי הפקטור: מספר הסבלים קטן מעשרה לארבעה, כלומר פי:

\displaystyle \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}

החלת הפקטור: ביחס הפוך, משהתמעט מספר הסבלים פי

\dfrac{2}{5}

, הזמן מתחלק באותו פקטור:

\displaystyle 2 \div \dfrac{2}{5} = 2 \cdot \dfrac{5}{2} = 5

אותה תשובה.

שאלה 2·בעיות מילוליותקלה

שלוש מדפסות זהות מדפיסות יחד חוברת שלמה ב-

12

דקות. בכמה דקות ידפיסו שש מדפסות כאלה את אותה חוברת?

א.4
ב.6התשובה הנכונה
ג.18
ד.24

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון מספר גופים העובדים יחד בקצב זהה והזמן שבו הם משלימים עבודה שלמה, ומבקשים את הזמן עבור מספר גופים אחר. לכן זו בעיית הספק. בתשובות מספרים שלמים מרווחים, שניים מהם קטנים מ-

12

ושניים גדולים ממנו.

דרכי פתרון אפשריות

טבלת הספק-זמן-עבודה: רושמים את ההספק המשותף של שלוש המדפסות, גוזרים ממנו הספק של מדפסת בודדת, מכפילים בשש, ומהפכים לזמן. זו הדרך הקנונית.
יחס הפוך: מספר המדפסות והזמן נמצאים ביחס הפוך, ולכן הכפלת מספר המדפסות מחצה את הזמן. הקיצור תקף כאן מפני שכל המדפסות באותו קצב.
מבנה התשובות מכריע כבר חצי מן השאלה: שש מדפסות עובדות מהר יותר משלוש, ולכן התשובה חייבת להיות קטנה מ- $12$ . שתי התשובות הגדולות, $18$ ו- $24$ , נפסלות לפני כל חישוב.

טבלת הספק-זמן-עבודה:

גורם	עבודה	זמן (דקות)	הספק (חוברת לדקה)
שלוש מדפסות	1	12	1/12
מדפסת אחת	1	36	1/36
שש מדפסות	1	?	6/36

שלוש מדפסות משלימות חוברת ב-

12

דקות, ולכן ההספק המשותף שלהן הוא

\dfrac{1}{12}

חוברת לדקה. ההספק של מדפסת אחת הוא שליש מזה, כלומר

\dfrac{1}{36}

. שש מדפסות מספקות פי שש מכך:

\displaystyle 6 \times \dfrac{1}{36} = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}

ההספק המשותף הוא

\dfrac{1}{6}

חוברת לדקה, ולכן הזמן להשלמת חוברת שלמה הוא

6

דקות. זו התשובה, וניתן להקיף. יחס הפוך: מספר המדפסות הוכפל משלוש לשש, ולכן הזמן נחלק בשניים:

12 \div 2 = 6

. אותה תשובה, בשלב אחד. הערה למי שבחר

24

: זהו

12

כפול שתיים, כלומר יחס ישר. תוספת עובדים מקצרת את הזמן ואינה מאריכה אותו.

שאלה 3·בעיות מילוליותבינונית

צבעי מנוסה צובע חדר בדיוק ב-

6

שעות. שוליה צובע את אותו חדר בדיוק ב-

12

שעות. בכמה שעות יצבעו השניים יחד שני חדרים, אם כל אחד עובד בקצב הקבוע שלו?

א.4
ב.8התשובה הנכונה
ג.9
ד.18

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון לנו הזמן שבו כל אחד משני גורמים משלים לבדו עבודה אחת, ושואלים על הזמן הדרוש לשניהם לבצע יחד שתי עבודות כאלה. לכן זו בעיית הספק משותף. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

טבלת הספק-זמן-עבודה - מסרטטים תחילה את הטבלה, מציבים לכל צובע עבודה $1$ (חדר שלם) ואת זמנו, מחשבים את הספקו (עבודה חלקי זמן), מחברים את ההספקים להספק משותף, ומבודדים ממנו את הזמן המשותף.

טבלת הספק-זמן-עבודה:

נסרטט תחילה את הטבלה, עם שורה לכל צובע ושורה להספק המשותף. נציב לכל צובע עבודה

1

(חדר שלם) ואת הזמן הנתון:

	הספק (חדר לשעה)	זמן (שעות)	עבודה (חדרים)
מנוסה	$\frac{1}{6}$	6	1
שוליה	$\frac{1}{12}$	12	1
שניהם יחד	$\frac{1}{4}$	8	2

עמודת ההספק: הספק כל צובע הוא העבודה חלקי הזמן - המנוסה

\frac{1}{6}

חדר לשעה (חדר אחד ב-

6

שעות), והשוליה

\frac{1}{12}

חדר לשעה. ההספק המשותף הוא סכום ההספקים:

\displaystyle \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}

עמודת הזמן (המבוקש): העבודה המבוקשת היא שני חדרים (

2

), והזמן המשותף הוא העבודה חלקי ההספק המשותף:

\displaystyle \frac{2}{\frac{1}{4}} = 8

זו התשובה, וניתן להקיף.

שאלה 4·בעיות מילוליותקשה

צינור אחד ממלא בריכה בשעתיים, וצינור שני ממלא את אותה בריכה בשלוש שעות. כמה זמן ייקח למלא את הבריכה אם שני הצינורות פתוחים יחד?

א.6/5 שעותהתשובה הנכונה
ב.3/2 שעות
ג.5/2 שעות
ד.5 שעות

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים שני גורמים שכל אחד משלים לבדו את אותה משימה בזמן ידוע, ושואלים כמה זמן תימשך המשימה כששניהם פועלים יחד. לכן זו בעיית הספק. בתשובות ערכים בשעות, רובם שברים.

דרכי פתרון אפשריות

הכלי המרכזי הוא טבלת הספק-זמן-עבודה. נציב את העבודה השלמה כ- $1$ , נחשב את הספק כל צינור כהופכי לזמנו, נחבר את ההספקים להספק המשותף, ולבסוף נחלק את העבודה בהספק המשותף לקבלת הזמן.

טבלת הספק-זמן-עבודה:

הקשר הוא:

הספק × זמן = עבודה

העבודה השלמה היא מילוי בריכה אחת, ולכן נציב עבודה

= 1

לכל צינור. הספק כל צינור הוא חלק הבריכה שהוא ממלא בשעה, כלומר העבודה חלקי זמנו. נסרטט טבלת הספק-זמן-עבודה, שורה לכל צינור ושורה למשותף:

	הספק (חלק לשעה)	זמן (שעות)	עבודה (בריכות)
צינור א'	$\dfrac{1}{2}$	2	1
צינור ב'	$\dfrac{1}{3}$	3	1
משותף	$\dfrac{5}{6}$	$\dfrac{6}{5}$	1

עמודת ההספק: הספק כל צינור הוא העבודה חלקי זמנו - צינור א'

\dfrac{1}{2}

בריכה לשעה, וצינור ב'

\dfrac{1}{3}

בריכה לשעה. ההספק המשותף הוא סכום ההספקים:

\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}

עמודת הזמן (המבוקש): הזמן המשותף הוא העבודה חלקי ההספק המשותף (בשעות):

\displaystyle \frac{1}{\frac{5}{6}} = \frac{6}{5}

זו התשובה, וניתן להקיף.

שאלה 5·בעיות מילוליותקשה מאוד

ברז א' ממלא בריכה בשעתיים. כאשר פותחים את ברז א' ואת ברז ב' יחד, הבריכה מתמלאת ב-80 דקות. בכמה זמן ממלא ברז ב' לבדו את הבריכה?

א.4 שעותהתשובה הנכונה
ב.3 שעות
ג.שעתיים
ד.6 שעות

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים זמן מילוי של ברז אחד לבדו וזמן מילוי של שני הברזים יחד, ומבקשים את זמן המילוי של הברז השני לבדו. הזמנים נתונים ביחידות מעורבות (שעות ודקות), ובתשובות זמנים בשעות. לכן זו בעיית הספק.

דרכי פתרון אפשריות

פתרון אלגברי - כל ברז תורם הספק קבוע (חלק-בריכה לשעה), וההספק המשותף הוא סכום ההספקים. נחשב את ההספק המשותף, נחסר את ההספק הידוע, ומההספק שנותר נחזיר את הזמן. התובנה המקדימה: יש להמיר את שני הזמנים לאותה יחידה (שעות) לפני חיבור ההספקים.

פתרון אלגברי:

תחילה נמיר את הזמן המשותף לשעות:

80

דקות הן

\dfrac{80}{60} = \dfrac{4}{3}

שעה. נסדר את ההספקים בטבלה (ההספק הוא אחד חלקי זמן-המילוי):

הגורם	זמן מילוי לבד (שעות)	הספק (בריכה לשעה)
ברז א'	$2$	$\dfrac{1}{2}$
שני הברזים יחד	$\dfrac{4}{3}$	$\dfrac{3}{4}$
ברז ב'	$B$	$\dfrac{1}{B}$

ההספק המשותף שווה לסכום ההספקים של שני הברזים:

\displaystyle \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{B} = \dfrac{3}{4}

נבודד את ההספק החסר - נחסר

\dfrac{1}{2}

משני האגפים:

\displaystyle \dfrac{1}{B} = \dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{4}

נהפוך את שני האגפים ונקבל את זמן המילוי של ברז ב' לבדו:

\displaystyle B = 4

כלומר ברז ב' ממלא את הבריכה לבדו ב-

4

שעות. זו התשובה, וניתן להקיף.

שאלה 6·בעיות מילוליותקלה מאוד

ברז ממלא בריכה בקצב קבוע. בתום

4

שעות מילא הברז שליש מן הבריכה. בכמה שעות ימלא הברז את הבריכה כולה?

א.7
ב.8
ג.12התשובה הנכונה
ד.16

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתון החלק מן העבודה שגורם יחיד ביצע בזמן נתון, ושואלים כמה זמן יידרש לו להשלים את העבודה כולה. לכן זו בעיית הספק. בתשובות מספרים שלמים קרובים זה לזה, מ-

7

ועד

16

דרכי פתרון אפשריות

טבלת הספק-זמן-עבודה - מסרטטים תחילה את הטבלה, ובה שורה למצב הנתון ושורה לעבודה השלמה. מן השורה הראשונה מחשבים את הספק הברז, ובעזרתו את הזמן הדרוש לעבודה השלמה.

טבלת הספק-זמן-עבודה:

נסרטט את הטבלה, ונבחר את העבודה כמילוי בריכה אחת שלמה, כלומר

1

. השורה הראשונה היא הנתון, והשורה השנייה היא המבוקש:

	הספק (בריכות לשעה)	זמן (שעות)	עבודה (בריכות)
הנתון	¹⁄₁₂	4	¹⁄₃
הבריכה כולה	¹⁄₁₂	?	1

ההספק הוא העבודה חלקי הזמן, ולכן מן השורה הראשונה:

\displaystyle \dfrac{1}{3} : 4 = \dfrac{1}{12}

כלומר בכל שעה ממלא הברז חלק אחד מתוך שנים-עשר מן הבריכה. הזמן לעבודה השלמה הוא העבודה חלקי ההספק:

\displaystyle 1 : \dfrac{1}{12} = 12

הברז ימלא את הבריכה כולה ב-

12

שעות, וניתן להקיף. (דרך מהירה יותר להסתכל על אותו חישוב: שליש מן הבריכה נמשך

4

שעות, ולכן הבריכה כולה, שהיא שלושה שלישים, נמשכת פי

3

זמן.) פסילה: (1)

7

- חיבר את

4

ואת

3

במקום להכפיל. (2)

8

- חישב כמה זמן נותר למילוי שני השלישים הנותרים, ולא את הזמן הכולל. (4)

16

- הכפיל את

4

בעצמו.

שאלה 7·בעיות מילוליותקלה

3

מדפסות הפועלות בקצב זהה וקבוע מדפיסות יחד

60

עמודים בשעה. בכמה שעות ידפיסו

4

מדפסות כאלה יחד

160

עמודים?

א.2התשובה הנכונה
ב.4
ג.5
ד.8

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונה לנו כמות עבודה שמבצעים כמה גורמים בעלי קצב זהה בזמן נתון, ושואלים על הזמן הדרוש לגורמים בכמות אחרת לבצע כמות עבודה אחרת. לכן זו בעיית הספק. בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

טבלת הספק-זמן-עבודה - הדרך המתאימה לבעיית הספק: מסרטטים תחילה את הטבלה (שורה למדפסת בודדת ושורה ל- $4$ המדפסות), מוצאים את הספק המדפסת הבודדת, את ההספק המשותף, ומשם את הזמן המבוקש.
יחס ישר / יחס הפוך - מכיוון שהמדפסות בעלות קצב זהה, מספר המדפסות והעבודה ביחס ישר, וכמות העבודה והזמן ביחס ישר אף הם; מתאימים את הגורמים פעם אחר פעם.

טבלת הספק-זמן-עבודה:

נסרטט תחילה את הטבלה, עם שורה לנתון (

3

מדפסות), שורה למדפסת אחת, ושורה ל-

4

המדפסות יחד, ונמלא אותה צעד-צעד:

	הספק (עמ' לשעה)	זמן (שעות)	עבודה (עמ')
3 מדפסות	60	1	60
מדפסת אחת	20	1	20
4 מדפסות יחד	80	2	160

עמודת ההספק: הנתון הוא ש-

3

מדפסות מדפיסות

60

עמודים בשעה, ולכן הספק מדפסת אחת הוא

\frac{60}{3} = 20

, והספק

4

מדפסות גדול פי

4

4 \cdot 20 = 80

. עמודת הזמן (המבוקש): לפי נוסחת ההספק (הספק × זמן = עבודה), הזמן הוא העבודה חלקי ההספק. עבור

4

המדפסות:

\displaystyle \frac{160}{80} = 2

זו התשובה, וניתן להקיף.

יחס ישר / יחס הפוך:

נתון ש-

3

מדפסות מדפיסות

60

עמודים בשעה. נעבור ל-

4

מדפסות: מספר המדפסות והעבודה לאותו זמן הם ביחס ישר, ולכן בשעה אחת

4

מדפסות מדפיסות:

\displaystyle 60 \cdot \frac{4}{3} = 80

כעת כמות העבודה והזמן ביחס ישר: אם בשעה אחת מודפסים

80

עמודים, אז להדפסת

160

עמודים (פי

2

) דרוש פי

2

זמן:

\displaystyle \frac{160}{80} = 2

אותה תשובה.

שאלה 8·בעיות מילוליותבינונית

בריכה ריקה מתמלאת משני ברזים ומתרוקנת מפתח ניקוז שבתחתיתה. הברז הראשון ממלא את הבריכה בשלוש שעות, הברז השני ממלא אותה בשש שעות, ופתח הניקוז מרוקן בריכה מלאה בארבע שעות. כל השלושה נפתחים בו-זמנית כשהבריכה ריקה. בכמה שעות תתמלא הבריכה?

א.2
ב.3
ג.4התשובה הנכונה
ד.6

▸ הצג פתרון מלא

איך מזהים

נתונים לנו הזמנים שבהם שני ברזים ממלאים את הבריכה ופתח ניקוז מרוקן אותה, וכל השלושה פתוחים יחד, ושואלים בכמה זמן תתמלא הבריכה. לכן זו בעיית הספק משותף עם גורם מרוקן (הספק שלילי). בתשובות מספרים שלמים.

דרכי פתרון אפשריות

טבלת הספק-זמן-עבודה - הדרך המתאימה לבעיית הספק: מסרטטים תחילה את הטבלה, מחשבים את הספק כל אחד משני הברזים (חיובי) ואת הספק הניקוז (שלילי, שכן הוא מרוקן), מחברים להספק נטו, ומבודדים ממנו את זמן המילוי.

טבלת הספק-זמן-עבודה:

נסרטט תחילה את הטבלה, עם שורה לכל ברז, שורה לפתח הניקוז, ושורה להספק הנטו. נציב עבודה

1

(בריכה שלמה) ואת הזמנים הנתונים; לפתח הניקוז ההספק שלילי שכן הוא מוציא מים:

	הספק (בריכה לשעה)	זמן (שעות)	עבודה (בריכות)
ברז ראשון	¹⁄₃	3	1
ברז שני	¹⁄₆	6	1
פתח ניקוז	−¹⁄₄	4	1
נטו (יחד)	¹⁄₄	4	1

עמודת ההספק: הברז הראשון ממלא

\dfrac{1}{3}

בריכה לשעה, הברז השני

\dfrac{1}{6}

בריכה לשעה, ופתח הניקוז מרוקן

\dfrac{1}{4}

בריכה לשעה. ההספק הנטו הוא סכום שני המילויים פחות הריקון:

\displaystyle \frac{1}{3} + \frac{1}{6} - \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{2}{12} - \frac{3}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}

עמודת הזמן (המבוקש): זמן המילוי הוא העבודה חלקי ההספק הנטו:

\displaystyle \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4

זו התשובה, וניתן להקיף.